ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の点列のすべての項からなる集合が有界であるとき、その点列は有界であると言います。点列が有界であることと、その任意の座標数列が有界であることは必要十分です。収束する点列は常に有界である一方で、有界な点列は収束するとは限りません。

点列が収束するならば、その点列の一般項をスカラー倍して得られるベクトルを一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のスカラー商として定義される点列も収束します。

ユークリッド空間上の収束点列が2つ任意に与えられたとき、それらの一般項どうしのベクトル和を一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のベクトル差として定義される点列もまた収束します。

ユークリッド空間上の収束点列どうしの内積として定義される数列は有限な実数へ収束します。

ユークリッド空間における 2 つの収束列が与えられたとき、任意番目の項について、一方の収束列の項が他方の収束列の項以上であるならば、それらの極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、ユークリッド空間における収束列についても、収束する数列と同様に、はさみうちの定理が成り立ちます。

ユークリッド空間上の収束点列が与えられたとき、その一般項のノルムを一般項とする数列が定義可能ですが、これは有限な実数へ収束します。