ユークリッド空間における点列が単調列(単調増加もしくは単調減少)であることの意味を定義します。これは単調数列を一般化した概念です。

単調列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の項が、\begin{equation*}
x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots
\end{equation*}を満たすならば、\(\{x_{v}\}\)を単調増加列(monotonically increasing sequence)と呼びます。逆に、\begin{equation*}
x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots
\end{equation*}を満たすならば、\(\{x_{v}\}\)を単調減少列(monotonically decreasing sequence)と呼びます。

単調増加列と単調減少列を総称して単調列(monotone sequence)と呼びます。

\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が単調増加列であることは、これが単調増加数列であることを意味します。また、\(\{x_{v}\}\)が単調減少列であることは、これが単調減少数列であることを意味します。したがって、単調増加列は単調増加数列を一般化した概念です。

単調数列について復習する

 

単調列と単調数列の関係

\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項は、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v},\cdots ,x_{n}^{v}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}という\(n\)次元ベクトルであるため、それぞれの番号\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)に関して、\(x_{k}^{v}\)を一般項とする数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N}}\)が得られます。数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N}}\)は点列\(\{x_{v}\}\)の各項の第\(k\)成分からなる数列であり、点列\(\{x_{v}\}\)からはこのような数列が\(n\)個だけ得られるということです。この事実と\(\mathbb{R} ^{n}\)における順序\(\leq \)の定義を踏まえると、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\{x_{v}\}\)が単調増加列であること、すなわち、\begin{equation*}
x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立つことは、\(\{x_{v}\}\)から得られる\(n\)個の数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\ \left( k=1,2,\cdots ,n\right) \)がいずれも単調増加数列であること、すなわち、\begin{equation*}
\forall k\in \{1,2,\cdots ,n\}:x_{k}^{1}\leq x_{k}^{2}\leq x_{k}^{3}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立つこととして表現可能です。

命題(単調増加列と単調増加数列の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\{x_{v}\}\)が与えられたとき、その一般項\(x_{v}\)の第\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)成分である\(x_{k}^{v}\)を一般項とする数列を\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N}}\)で表す。このとき、任意の\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)に関する数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)が単調増加数列であることは、点列\(\{x_{v}\}\)が単調増加列であるための必要十分条件である。
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単調増加列の場合と同様に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\{x_{v}\}\)が単調減少列であることは、\(\{x_{v}\}\)から得られる\(n\)個の数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\ \left( k=1,2,\cdots ,n\right) \)がいずれも単調減少数列であることとして表現可能です。

命題(単調減少列と単調減少数列の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\{x_{v}\}\)が与えられたとき、その一般項\(x_{v}\)の第\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)成分である\(x_{k}^{v}\)を一般項とする数列を\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)で表す。このとき、任意の\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)に関する数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)が単調減少数列であることは、点列\(\{x_{v}\}\)が単調減少列であるための必要十分条件である。
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例(単調列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が\(x_{v}=v^{2}\)として与えられるとき、任意の\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{v}=v^{2}<\left( v+1\right) ^{2}=x_{v+1}
\end{equation*}が成り立つため、\(\{x_{v}\}\)は単調増加列です。
例(単調列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( -\frac{1}{v},v^{2}\right)
\end{equation*}として与えられるとき、数列\(\{x_{1}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)は任意の\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{1}^{v}=-\frac{1}{v}<-\frac{1}{v+1}=x_{1}^{v+1}
\end{equation*}を満たすため単調増加数列です。もう一方の数列\(\{x_{2}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)もまた任意の\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{2}^{v}=v^{2}<\left( v+1\right) ^{2}=x_{2}^{v+1}
\end{equation*}を満たすため単調増加数列です。したがって上の命題より\(\{x_{v}\}\)は単調増加列です。
例(単調列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( 1,\left( -1\right) ^{v}\right)
\end{equation*}として与えられるとき、数列\(\{x_{1}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)は任意の\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{1}^{v}=1=x_{1}^{v+1}
\end{equation*}を満たすため単調増加かつ単調減少な数列です。もう一方の数列\(\{x_{2}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)に関しては、例えば最初の 3 つの項\(x_{2}^{1},x_{2}^{2},x_{2}^{3}\)について、\begin{eqnarray*}
x_{2}^{1} &=&-1<1=x_{2}^{2} \\
x_{2}^{2} &=&1>-1=x_{2}^{3}
\end{eqnarray*}を満たすため単調増加と単調減少のいずれでもありません。したがって上の命題より\(\{x_{v}\}\)は単調列ではありません。

次回は有界な単調列が必ず収束することを示します。
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