ユークリッド空間における点列が単調列(単調増加もしくは単調減少)であることの意味を定義します。これは単調数列を一般化した概念です。
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単調列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に関して、\begin{equation*}
x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この点列を単調増加列(monotonically increasing sequence)と呼びます。つまり、単調増加列の項は先へ行くにつれて大きくなることはあっても小さくなることはありません。また、\begin{equation*}
x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この点列を単調減少列(monotonically decreasing sequence)と呼びます。つまり、単調減少列の項は先へ行くにつれて小さくなることはあっても大きくなることはありません。単調増加列と単調減少列を総称して単調列(monotone sequence)と呼びます。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が単調列であることを示すための最もシンプルな方法は、隣り合う任意の2つの項を比較するというものです。具体的には、任意の番号\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation}
x_{v}\leq x_{v+1} \tag{1}
\end{equation}が成り立つとき、この点列は単調増加列です。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序の定義より、\(\left( 1\right) \)は、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( k\right) }\leq x_{v+1}^{\left( k\right) }
\end{equation*}が成り立つことと言い換え可能です。ただし、\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列です。

命題(単調増加列と単調増加数列の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が単調増加数列であることは、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が単調増加列であるための必要十分条件である。
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単調減少列についても同様です。つまり、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が与えられたとき、任意の番号\(v\)について、\begin{equation}
x_{v}\geq x_{v+1} \tag{2}
\end{equation}が成り立つとき、この点列は単調減少列です。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序の定義より、\(\left( 2\right) \)は、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( k\right) }\geq x_{v+1}^{\left( k\right) }
\end{equation*}が成り立つことと言い換え可能です。

命題(単調減少列と単調減少数列の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が単調減少数列であることは、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が単調減少列であるための必要十分条件である。
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例(単調列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( -\frac{1}{v},v^{2}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)に関しては、任意の番号\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 1\right) }=-\frac{1}{v}<-\frac{1}{v+1}=x_{v+1}^{\left(
1\right) }
\end{equation*}が成り立つため、この数列は単調増加です。第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、任意の番号\(v\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 2\right) }=v^{2}<\left( v+1\right) ^{2}=x_{v+1}^{\left(
2\right) }
\end{equation*}が成り立つため、この数列もまた単調増加です。したがって、先の命題より点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は単調増加です。
例(単調列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1,\left( -1\right) ^{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)に関しては、任意の番号\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 1\right) }=1=x_{v+1}^{\left( 1\right) }
\end{equation*}が成り立つため、この数列は単調増加かつ単調減少です。第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、例えば最初の3つの項に関して、\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\left( 2\right) } &=&-1<1=x_{2}^{\left( 2\right) } \\
x_{2}^{\left( 2\right) } &=&1>-1=x_{3}^{\left( 2\right) }
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は単調増加と単調減少のいずれでもありません。したがって、先の命題より点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は単調増加と単調減少のいずれでもありません。

次回は有界な単調列が必ず収束することを示します。

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