点列の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)とは\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である無限個の点、すなわち無限個のベクトルを順番に並べたもの\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots ,\boldsymbol{x}_{v},\cdots
\end{equation*}ですが、\(v\)が大きくなるにつれて項\(\boldsymbol{x}_{v}\)がある有限なベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ限りなく近づく場合、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は点\(\boldsymbol{a}\)に収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{equation*}で表記します。また、このような点\(\boldsymbol{a}\)を点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)の極限（limit）と呼びます。
}\right) \\
&=&\left( 1+\frac{1}{v},2-\frac{1}{v}\right)
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。\(v\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{v}\)は減少し続けて最終的には\(0\)に限りなく近づくため、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は点\(\left( 1,2\right) \)へ収束します。つまり、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
点列の収束に関して厳密な議論を行うためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。結論から言うと、数列の極限の場合と同様に、点列の収束を厳密に定義するためにはイプシロン・エヌ論法を利用します。
点列の極限の厳密な定義
繰り返しになりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{equation*}が成り立つこととは、\(v\)が大きくなるにつれて項\(\boldsymbol{x}_{v}\)が点\(\boldsymbol{a}\)へ限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。なお、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を議論の舞台としているため、距離を測る際にはユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を利用することになります。
まず、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の項\(\boldsymbol{x}_{v}\)が点\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近いと言うためには、\(\boldsymbol{x}_{v}\)と\(\boldsymbol{a}\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(\boldsymbol{x}_{v}\)と\(\boldsymbol{a}\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。その上で、\begin{equation}d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( i\right) }-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(\boldsymbol{x}_{v}\)と\(\boldsymbol{a}\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。
次に問題になるのは「\(v\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(v\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の項\(\boldsymbol{x}_{v}\)と点\(\boldsymbol{a}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることは、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のある項から先の任意の項\(\boldsymbol{x}_{v}\)について、\(\boldsymbol{x}_{v}\)と\(\boldsymbol{a}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある番号\(N\)が存在して、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項\(\boldsymbol{x}_{v}\)について\(\left( 1\right) \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( i\right)
}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(v\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の項\(\boldsymbol{x}_{v}\)と点\(\boldsymbol{a}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。
最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\)に収束することとは、\(v\)が大きくなるにつれて項\(\boldsymbol{x}_{v}\)が\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の項\(\boldsymbol{x}_{v}\)と点\(\boldsymbol{a}\)の間の距離\(\varepsilon \)とそいてどれほど小さい値を任意に選んだ場合でも、\(v\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の項\(\boldsymbol{x}_{v}\)と点\(\boldsymbol{a}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 2\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon \right] \quad \cdots (3)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( i\right)
}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できます。そこで、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は\(\boldsymbol{a}\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{equation*}と表現します。さらにこのとき、\(\boldsymbol{a}\)を\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限（limit）と呼びます。以上が点列の極限の厳密な定義です。
},x_{v}^{\left( 2\right) }\right) \right\}
\end{equation*}と\(2\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{a}=\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられたとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\boldsymbol{a}\)へ収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、ユークリッド距離\(d\)の定義より、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\left( x_{v}^{\left( 1\right)
}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{v}^{\left( 2\right) }-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}であることを意味します。
},x_{v}^{\left( 2\right) },x_{v}^{\left( 3\right) }\right) \right\}
\end{equation*}と\(3\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{a}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が与えられたとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\boldsymbol{a}\)へ収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、ユークリッド距離\(d\)の定義より、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\left( x_{v}^{\left( 1\right)
}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{v}^{\left( 2\right) }-a_{2}\right) ^{2}+\left(
x_{v}^{\left( 3\right) }-a_{3}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}であることを意味します。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列が以下のベクトル\begin{equation*}
\left( 1,2\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}へ収束することを示します。点列の極限の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\left( 1,2\right)
\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( \left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right) ,\left( 1,2\right) \right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2v}\right) -1\right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2v}\right) -2\right] ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{4v^{2}}}<\varepsilon \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\sqrt{\frac{2}{4v^{2}}}<\varepsilon &\Leftrightarrow &\frac{\sqrt{2}}{2v}<\varepsilon \quad \because v\in \mathbb{N} \\
&\Leftrightarrow &v>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\quad \because v\in \mathbb{N} \text{かつ}\varepsilon >0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sqrt{\frac{2}{4v^{2}}}<\varepsilon \Leftrightarrow v>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえた上で\(\left( 1\right) \)を示します。そこで、\(\varepsilon>0\)を任意に選びます。それに対して、アルキメデスの性質より、\begin{equation}N>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon } \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。すると、\(v\geq N\)を満たす任意の\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}v\geq N &\Rightarrow &v>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\quad \because \left(
3\right) \\
&\Rightarrow &\sqrt{\frac{2}{4v^{2}}}<\varepsilon \quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。つまり、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
上の例から分かるように、イプシロン・デルタ論法を用いて点列が収束することを示す作業は面倒です。もう少し使いやすい収束判定方法があるため、それについては後ほど解説します。
\end{equation*}が成立するため、これを用いて先の定義を言い換えると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \left\vert x_{v}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。これは数列の極限の定義に他なりません。つまり、点列の極限は数列の極限の一般化です。
点列は有限なベクトルへ収束するとは限らない
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)とベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\boldsymbol{a}\)へ収束することを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。したがって、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\boldsymbol{a}\)へ収束しないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\wedge d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right) \geq
\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束することとは、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が何らかの有限なベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束しないこととは、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がいかなるベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)へも収束しないこと、すなわち、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\wedge d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right) \geq
\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
点列は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
}\right) =\left( v,v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列が有限なベクトルへ収束しないことを示します。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{2},\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\wedge d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right) \geq
\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを示すことになります。ベクトル\(\boldsymbol{a}=\left( a_{1},a_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。その上で、\begin{equation*}\varepsilon =1
\end{equation*}に注目します。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それに対して、以下の条件\begin{equation}v\geq N\wedge \sqrt{\left( v-a_{1}\right) ^{2}+\left( v-a_{2}\right) ^{2}}>1
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすほど十分大きい\(v\in \mathbb{N} \)に注目します。このとき、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right) &=&\sqrt{\left(
x_{v}^{\left( 1\right) }-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{v}^{\left( 2\right)
}-a_{2}\right) ^{2}}\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( v-a_{1}\right) ^{2}+\left( v-a_{2}\right) ^{2}}\quad
\because \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の定義}
\\
&>&1\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
点列の極限の一意性
ユークリッド空間上の点列が収束する場合、その極限は必ず1つのベクトルとして定まります。つまり、点列が異なる複数のベクトルへ収束する事態は起こり得ません。
演習問題
\end{equation*}として与えられる点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)はゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束することを証明してください。
}\right) =\left( \frac{3}{2v},-\frac{3}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、これらの点列の第\(m\)項以降は互いに等しいということです。このとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束することと\(\left\{ y_{v}\right\} \)が収束することは必要十分であるとともに、さらにこのとき、両者の極限について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\lim_{v\rightarrow \infty
}y_{v}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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