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点列の極限

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点列の極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とは無限個の点を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{v},\cdots
\end{equation*}ですが、\(v\)が大きくなるにつれて項\(x_{v}\)が特定の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)に限りなく近づく場合、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は点\(a\)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a
\end{equation*}で表します。また、このような点\(a\)を点列\(\{x_{v}\}\)の極限(limit)と呼びます。ただ、点列の収束に関して厳密な議論を行うためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。

例(点列の極限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\left( x_{v}\right) =\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(v\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{2v}\)は減少し続けて最終的には\(0\)に限りなく近づくため、この点列\(\left( x_{v}\right) \)は点\(\left( 1,2\right) \)へ収束します。つまり、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

点列の収束に関して厳密な議論を行うためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。結論から言うと、数列の極限の場合と同様に、点列の収束を厳密に定義するためにはイプシロン・デルタ論法を利用します。

 

点列の極限の厳密な定義

繰り返しになりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} =\left\{x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a
\end{equation*}が成り立つこととは、\(v\)が大きくなるにつれて項\(x_{v}\)が\(a\)に限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の項\(x_{v}\)が点\(a\)に限りなく近いと言うためには、\(x_{v}\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x_{v}\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。その上で、\begin{equation}d\left( x_{v},a\right) <\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( i\right) }-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x_{v}\)と\(a\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(v\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(v\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の項\(x_{v}\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のある項から先の任意の項\(x_{v}\)について、\(x_{v}\)と\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある番号\(N\)が存在して、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項\(x_{v}\)について\(\left( 1\right) \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},a\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(v\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の項\(x_{v}\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(a\)に収束することとは、\(v\)が大きくなるにつれて項\(x_{v}\)が\(a\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、限りなく小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、\(v\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の項\(x_{v}\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 2\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},a\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (3)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( i\right)
}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できます。そこで、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合、\(\left\{ x_{v}\right\} \)は\(a\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a
\end{equation*}と表現します。以上が点列が収束することの厳密な定義です。

例(点列の極限)
1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)に収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} \)においては、\begin{equation*}d\left( x_{v},a\right) =\left\vert x_{v}-a\right\vert
\end{equation*}という関係が成り立つため、これを用いて上の定義を言い換えると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \left\vert x_{v}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となりますが、これは数列の極限の定義に他なりません。つまり、点列の極限は数列の極限の一般化です。以上を踏まえた上で、一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=2-\frac{1}{v}
\end{equation*}として与えられる\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することを示します。\(v\)が限りなく大きくなるにつれて\(\frac{1}{v}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(2\)ではないかと予想できます。そこで、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}=2
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},2\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを証明します。先の議論よりこれは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \left\vert \left( 2-\dfrac{1}{v}\right)
-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と言い換え可能です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}\left\vert \left( 2-\dfrac{1}{v}\right) -2\right\vert & =\left\vert -\dfrac{1}{v}\right\vert \\
& =\dfrac{1}{v}\quad \because v>0 \\
& <\varepsilon
\end{align*}を解くと\(v>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を適当に選べば、\(v\geq N\)を満たすような任意の\(v\)について\(\left\vert \left( 2-\frac{1}{v}\right) -2\right\vert <\varepsilon \)が成り立つため、\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{n}=2\)が成り立つことが示されました。
例(点列の極限)
2次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} =\left\{ \left(x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right) \right\} \)が点\(a=\left( \alpha _{1},\alpha _{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味しますが、距離の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\left( x_{v}^{\left( 1\right)
}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{v}^{\left( 2\right) }-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と言い換え可能です。以上を踏まえた上で、一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}として与えられる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することを示します。\(v\)が限りなく大きくなるにつれて\(\frac{1}{2v}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(\left( 1,2\right) \)ではないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty}x_{v}=\left( 1,2\right) \)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},\left( 1,2\right) \right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを証明します。先の議論よりこれは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2v}\right) -1\right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2v}\right) -2\right] ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\left( \frac{1}{2v}\right) ^{2}+\left( -\frac{1}{2v}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と言い換え可能です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}\sqrt{\left( \frac{1}{2v}\right) ^{2}+\left( -\frac{1}{2v}\right) ^{2}}& =\sqrt{\frac{2}{4v^{2}}} \\
& =\frac{\sqrt{2}}{2v} \\
& <\varepsilon
\end{align*}を解くと\(v>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を適当に選べば、\(v\geq N\)を満たすような任意の\(v\)について\(\sqrt{\left( \frac{1}{2v}\right)^{2}+\left( -\frac{1}{2v}\right) ^{2}}<\varepsilon \)が成り立つため、\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty}x_{v}=\left( 1,2\right) \)が成り立つことが示されました。

 

点列の極限の一意性

数列が有限な実数へ収束するとき、その極限は必ず1つの実数として定まります。ユークリッド空間上の点列についても同様です。つまり、点列が収束するとき、その極限はユークリッド空間上の1つの点として定まります。言い換えると、ユークリッド空間上の点列が異なる2つのユークリッド空間上の点に収束することはありません。

命題(点列の極限の一意性)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列が収束するとき、その極限は一意的である。
証明
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演習問題

問題(点列の極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとします。このとき、一般項が、\begin{equation*}y_{v}=x_{v}+\alpha
\end{equation*}で与えられる点列\(\left\{y_{v}\right\} \)は点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束することを証明してください。
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問題(点列の極限)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \frac{3}{2v},-\frac{3}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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次回は数列を使ってユークリッド空間上の点列の収束判定を行う方法について解説します。

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