ユークリッド空間上の点列が収束することの意味を、イプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。点列が収束することは、その点列の項の成分を項とする数列がいずれも収束することとして特徴づけることもできます。

収束列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が与えられたとき、\(v\)が限りなく大きくなるにつれて項\(x_{v}\)がある特定の点\(\alpha \in \mathbb{R} ^{n}\)に限りなく近づく場合には、この点列\(\{x_{v}\}\)は点\(\alpha\)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\alpha
\end{equation*}で表します。そして、このような点\(\alpha \)を点列\(\{x_{v}\}\)の極限(limit)と呼びます。ただし、点列の収束に関して議論を厳密に行うためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を正確に定義する必要があります。結論から言うと、点列の収束を厳密に定義するためにイプシロン・デルタ論法を利用します。

\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における点列\(\{x_{v}\}\)は数列に他なりません。つまり、点列は数列を一般化した概念ですので、逆に、以前に学んだイプシロン・デルタ論法による収束数列の定義を一般化する形で収束点列を厳密に定義します。さて、\(\mathbb{R}\)における数列\(\{x_{v}\}\)がある実数\(\alpha \in \mathbb{R}\)へ収束すること、すなわち\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\alpha \)が成り立つこととは、イプシロン・デルタ論法を用いると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :(v\geq N\Rightarrow \left\vert x_{v}-\alpha \right\vert <\varepsilon )
\end{equation*}が成り立つこととして定式化されます。

数列の収束について復習する

ただし、\(1\)次元ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が実数の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)に対して定める距離は、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}となるため、先の収束数列の定義は、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},\alpha \right) <\varepsilon \right] \end{equation*}と言い換え可能です。これはユークリッド距離関数\(d\)を用いた収束数列の定義です。

そこで、上と同様の命題によって一般のユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が収束列であることを定義します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるユークリッド距離関数を\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R}\)で表すとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がある点\(\alpha \in \mathbb{R} ^{n}\)に収束することを、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},\alpha \right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義します。つまり、どのような正の実数\(\varepsilon \)を設定した場合においても、それに対してある番号\(N\)が存在して、点列\(\{x_{v}\}\)の\(N\)番目以降の任意の項\(x_{v}\)と点\(\alpha \)のユークリッド距離が\(\varepsilon \)より小さくなるということです。

ちなみに、距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R}\)とノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R}\)の間には、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)に収束することは、ノルムを利用して、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \left\Vert x_{v}-\alpha \right\Vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現することもできます。

ノルムについて復習する
例(収束列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が\(x_{v}=2-\frac{1}{v}\)で与えられているものとします。\(v\)が限りなく大きくなるにつれて\(\frac{1}{v}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(2\)ではないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}=2\)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\ \Rightarrow \ \left\Vert \left( 2-\frac{1}{v}\right) -2\right\Vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\begin{align*}
\left\Vert \left( 2-\frac{1}{v}\right) -2\right\Vert & =\left\vert \left( 2-\dfrac{1}{v}\right) -2\right\vert \quad \because \text{ノルムの定義} \\
& =\left\vert -\dfrac{1}{v}\right\vert \\
& =\dfrac{1}{v}\quad \because v>0
\end{align*}であることを踏まえた上で、不等式\(\left\Vert \left( 2-\frac{1}{v}\right) -2\right\Vert <\varepsilon \)すなわち、\begin{equation*}
\dfrac{1}{v}<\varepsilon
\end{equation*}を変形すると\(v>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(v\geq N\)を満たすような任意の\(v\)について\(\left\Vert \left( 2-\frac{1}{v}\right) -2\right\Vert <\varepsilon \)が成り立ちます。ゆえに\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}=2\)であることが示されました。
例(収束列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(v\)が限りなく大きくなるにつれて\(\frac{1}{2v}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(\left( 1,2\right) \)ではないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( 1,2\right) \)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\ \Rightarrow \ \left\Vert \left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right) -\left( 1,2\right) \right\Vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\begin{align*}
\left\Vert \left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right) -\left( 1,2\right) \right\Vert & =\sqrt{\left( -\frac{1}{2v}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{2v}\right) ^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
& =\sqrt{\frac{1}{2v^{2}}} \\
& =\frac{\sqrt{2}}{2v}
\end{align*}であることを踏まえた上で、不等式\(\left\Vert \left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right) -\left( 1,2\right) \right \Vert <\varepsilon \)すなわち、\begin{equation*}
\frac{\sqrt{2}}{2v}<\varepsilon
\end{equation*}を変形すると\(v>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(v\geq N\)を満たすような任意の\(v\)について\(\left\Vert \left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right) -\left( 1,2\right) \right\Vert <\varepsilon \)が成り立ちます。ゆえに\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( 1,2\right) \)であることが示されました。

 

収束列の極限の一意性

点列が収束するとき、その極限は常に一意的です。

命題(点列の極限の一意性)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が収束するとき、その極限は一意的である。
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次回は点列が収束することと数列が収束することの関係について学びます。
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