ユークリッド空間上の点列が収束することの意味を、イプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。点列が収束することは、その点列の項の成分を項とする数列がいずれも収束することとして特徴づけることもできます。
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点列の収束

\(n\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とは無限個の点を順番に並べたもの\begin{equation*}
x_{1},x_{2},\cdots ,x_{v},\cdots
\end{equation*}ですが、\(v\)が大きくなるにつれて項\(x_{v}\)が特定の点\(\alpha \in \mathbb{R} ^{n}\)に限りなく近づく場合、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は点\(\alpha \)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\alpha
\end{equation*}で表します。また、このような点\(\alpha \)を点列\(\{x_{v}\}\)の極限(limit)と呼びます。ただ、点列の収束に関して厳密な議論を行うためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。

\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点列\(\{x_{v}\}\)は数列に他なりません。つまり、点列は数列を一般化した概念であるため、イプシロン・デルタ論法を用いた収束数列の定義を一般化する形で、\(n\)次元空間における収束点列の概念を厳密に定義します。

復習になりますが、\(\mathbb{R} \)における数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ収束することは、以下の命題\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :(v\geq N\Rightarrow \left\vert x_{v}-\alpha \right\vert <\varepsilon )
\tag{1}
\end{equation}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(\mathbb{R} \)における2つの点\(x,y\)の間のユークリッド距離は、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定義されるため、これを用いて\(\left( 1\right) \)を言い換えると、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :(v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},\alpha \right) <\varepsilon ) \tag{2}
\end{equation}となります。以上が\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ収束することの定義です。

そこで、\(\left( 2\right) \)と同様の命題により、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(\alpha \in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束することを定義します。具体的には、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点である\(x\)と\(y\)の間のユークリッド距離を\(d\left( x,y\right) \)で表すとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(\alpha \in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束することを、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :(v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},\alpha \right) <\varepsilon ) \tag{3}
\end{equation}が成り立つこととして定義します。つまり、どれほど小さい正の実数\(\varepsilon \)を任意に選んだ場合においても、それに対してある番号\(N\)が存在し、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(N\)項以降の任意の項\(x_{v}\)と点\(\alpha \)の間のユークリッド距離\(d\left( x_{v},\alpha \right) \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなるということです。ちなみに、\begin{eqnarray*}
x_{v} &=&\left( x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left( n\right)
}\right) \\
\alpha &=&\left( \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\right)
\end{eqnarray*}であるとき、\(x_{v}\)と\(\alpha \)の間のユークリッド距離は、\begin{equation*}
d\left( x_{v},\alpha \right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left(
i\right) }-\alpha _{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定義されます。

\(n\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点である\(x\)と\(y\)の間のユークリッド距離は、ノルムを用いて、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert
\end{equation*}という形で表現することもできるため、これを用いて\(\left( 3\right) \)を言い換えると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :(v\geq N\Rightarrow \left\Vert x_{v}-\alpha \right\Vert <\varepsilon )
\end{equation*}となります。これを点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(\alpha \)へ収束することの定義とすることもできます。

例(点列の収束)
\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=2-\frac{1}{v}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(v\)が限りなく大きくなるにつれて\(\frac{1}{v}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(2\)ではないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}=2\)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},2\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の定義とユークリッド距離\(d\)の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \left\vert \left( 2-\dfrac{1}{v}\right)
-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と言い換え可能です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}
\left\vert \left( 2-\dfrac{1}{v}\right) -2\right\vert & =\left\vert -\dfrac{1}{v}\right\vert \\
& =\dfrac{1}{v}\quad \because v>0 \\
& <\varepsilon
\end{align*}を解くと\(v>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を適当に選べば、\(v\geq N\)を満たすような任意の\(v\)について\(\left\vert \left( 2-\frac{1}{v}\right) -2\right\vert <\varepsilon \)が成り立つため、\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{n}=2\)が成り立つことが示されました。
例(点列の収束)
\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(v\)が限りなく大きくなるにつれて\(\frac{1}{2v}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(\left( 1,2\right) \)ではないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( 1,2\right) \)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},\left( 1,2\right) \right)
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の定義とユークリッド距離\(d\)の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2v}\right) -1\right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2v}\right) -2\right] ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\left( \frac{1}{2v}\right) ^{2}+\left( -\frac{1}{2v}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と言い換え可能です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}
\sqrt{\left( \frac{1}{2v}\right) ^{2}+\left( -\frac{1}{2v}\right) ^{2}}& =\sqrt{\frac{2}{4v^{2}}} \\
& =\frac{\sqrt{2}}{2v} \\
& <\varepsilon
\end{align*}を解くと\(v>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を適当に選べば、\(v\geq N\)を満たすような任意の\(v\)について\(\sqrt{\left( \frac{1}{2v}\right) ^{2}+\left( -\frac{1}{2v}\right) ^{2}}<\varepsilon \)が成り立つため、\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( 1,2\right) \)が成り立つことが示されました。

 

点列の極限の一意性

点列が収束するとき、その極限は一意的です。そのことを示すために、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が異なる2つの点\(\alpha ,\beta \)に収束するものと仮定します。\(\alpha \not=\beta \)ゆえ、ユークリッド距離の性質より\(d\left( \alpha ,\beta \right) >0\)が成り立ちます。収束の定義より、このとき、\begin{align*}
\forall \varepsilon & >0,\ \exists N_{1}\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :(v\geq N_{1}\Rightarrow d\left( x_{v},\alpha \right) <\varepsilon ) \\
\forall \varepsilon & >0,\ \exists N_{2}\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :(v\geq N_{2}\Rightarrow d\left( x_{v},\beta \right) <\varepsilon )
\end{align*}がともに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \{N_{1},N_{2}\}
\end{equation*}とおくと、\(v\geq N\)を満たす任意の\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
d\left( \alpha ,\beta \right) <d\left( \alpha ,\beta \right)
\end{equation*}が成り立つことが導かれますが(演習問題にします)、これは矛盾です。

命題(収束点列の極限の一意性)
\(n\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列が収束するとき、その極限は一意的である。
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点列の収束と座標数列の収束の関係

\(n\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left( n\right)
}\right) \in
\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}という\(n\)次元ベクトルであるため、その第\(k\)成分\(x_{v}^{\left( k\right) }\)を一般項とする数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が得られます。これを\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列と呼びます。\(k=1,2,\cdots ,n\)であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)からは\(n\)個の座標数列\begin{equation*}
\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} ,\cdots ,\left\{ x_{v}^{\left(
n\right) }\right\}
\end{equation*}が得られます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するものとします。その極限を\(\alpha =\left( \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)で表すとき、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( i\right)
}-\alpha _{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つということです。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)と点\(\alpha \)の第\(k\)成分\(\alpha _{k}\)にそれぞれ注目します。その上で、正の実数\(\varepsilon _{k}>0\)を任意に選ぶと、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}
\exists N_{k}\in
\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N_{k}\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left(
i\right) }-\alpha _{i}\right) ^{2}}<\varepsilon _{k}\right) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(v\geq N_{k}\)を満たす任意の\(v\)に対しては、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{v}^{\left( k\right) }-\alpha _{k}\right\vert &=&\sqrt{\left(
x_{v}^{\left( k\right) }-\alpha _{k}\right) ^{2}} \\
&\leq &\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( i\right) }-\alpha
_{i}\right) ^{2}} \\
&<&\varepsilon _{k}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon _{k}>0,\ \exists N_{k}\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N_{k}\Rightarrow \left\vert x_{v}^{\left( k\right) }-\alpha
_{k}\right\vert <\varepsilon _{k}\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されましたが、これは座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が実数\(\alpha _{k}\)へ収束することの定義に他なりません。同様の議論は\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の座標行列について成り立ちます。

命題(点列の収束と座標数列の収束の関係)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するならば、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)もまた収束するとともに、その極限は\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限の第\(k\)成分と一致する。
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上の命題の逆も成立します。実際、それぞれの\(k\)について、第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が収束するものとし、その極限である実数を\(\alpha _{k}\)で表します。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、\(\frac{\varepsilon }{n}\)もまた正の実数であるため、収束数列の定義より、それぞれの座標数列に関して、\begin{eqnarray*}
\exists N_{1} &\in &\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert x_{v}^{\left( 1\right) }-\alpha
_{1}\right\vert <\frac{\varepsilon }{n}\right) \\
&&\vdots \\
\exists N_{n} &\in &\mathbb{N} ,\ \forall v\in
\mathbb{N} :\left( v\geq N_{n}\Rightarrow \left\vert x_{v}^{\left( n\right) }-\alpha
_{n}\right\vert <\frac{\varepsilon }{n}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},\cdots ,N_{n}\right\}
\end{equation*}をとれば、\(v\geq N\)を満たす任意の\(v\)について、\begin{eqnarray*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( i\right) }-\alpha _{i}\right) ^{2}}
&\leq &\sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{v}^{\left( i\right) }-\alpha
_{i}\right\vert \\
&<&n\cdot \frac{\varepsilon }{n} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立ちます(確認してください)。したがって、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(\left( \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\right) \)へ収束することが示されました。

命題(点列の収束と座標数列の収束の関係)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が収束するならば、\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}となる。
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以上の2つの命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)がある点\(\alpha \)へ収束することは、その点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のそれぞれの座標数列が点\(\alpha \)の対応する成分へ収束することとして特徴づけられることが明らかになりました。したがって、\(n\)次元空間の点列の収束に関する議論は、数列の収束に関する議論に置き換えることができます。

命題(点列の収束と座標数列の収束の関係)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することと、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が収束することは必要十分であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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例(点列の収束と座標数列の収束の関係)
\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) }=\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( 1+\frac{1}{2v}\right) =1
\end{equation*}が成り立ち、第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right) }=\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( 2-\frac{1}{2v}\right) =2
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 1,2\right)
\end{equation*}となります。

次回は点列が有界であることと収束することの関係について学びます。

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