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点列の内積の極限

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収束する点列の内積の極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それらの一般項\(x_{v},y_{v}\)の内積\begin{equation*}x_{v}\cdot y_{v}=\sum_{k=1}^{n}x_{v}^{\left( k\right) }y_{v}^{\left(
k\right) }
\end{equation*}を一般項とする数列\(\left\{ x_{v}\cdot y_{v}\right\} \)が定義可能です。ただし、\(x_{v}^{\left(k\right) }\)は点\(x_{v}\)の第\(k\)成分であり、\(y_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(y_{v}\)の第\(k\)成分です。\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束する場合には\(\left\{ x_{v}\cdot y_{v}\right\} \)は有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}\cdot y_{v}\right)
=\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束する点列の内積の極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから点列\(\left\{ x_{v}\cdot y_{v}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに収束するならば\(\left\{ x_{v}\cdot y_{v}\right\} \)も収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}\cdot y_{v}\right)
=\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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つまり、収束する点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{y_{v}\right\} \)の内積の形をしている数列\(\left\{ x_{v}\cdot y_{v}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{v}\cdot y_{v}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{v}\right\} \)の極限の内積をとれば\(\left\{x_{v}\cdot y_{v}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列の内積の形をしている点列\(\left\{ x_{v}\cdot y_{v}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、内積や点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)を分けた上で、それらがそれぞれ収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する点列の内積の極限)
数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( 1,\frac{1}{v}\right) \cdot \left( 2,\frac{2}{v^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\begin{eqnarray}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1,\frac{1}{v}\right) &=&\left( 1,0\right)
\quad \cdots (1) \\
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2,\frac{2}{v^{2}}\right) &=&\left(
2,0\right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1,\frac{1}{v}\right) \cdot \left( 2,\frac{2}{v^{2}}\right) \quad \because
\left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1,\frac{1}{v}\right) \cdot
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2,\frac{2}{v^{2}}\right) \quad \because
\text{収束する点列の内積} \\
&=&\left( 1,0\right) \cdot \left( 2,0\right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&1\cdot 2+0\cdot 0 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
x_{v} &=&\left( 1,\frac{1}{v}\right) \cdot \left( 2,\frac{2}{v^{2}}\right)
\quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&2+\frac{2}{v^{3}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2+\frac{2}{v^{3}}\right) \\
&=&2+0 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の結果と整合的です。

次回は収束する点列のノルムとして定義される数列の収束可能性について解説します。

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