収束する点列の内積の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の2つの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、それらの一般項の内積\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{v}\cdot \boldsymbol{y}_{v} &=&x_{v}^{\left( 1\right)
}y_{v}^{\left( 1\right) }+\cdots +x_{v}^{\left( n\right) }y_{v}^{\left(
n\right) } \\
&=&\sum_{k=1}^{n}x_{v}^{\left( k\right) }y_{v}^{\left( k\right) }
\end{eqnarray*}を一般項とする\(\mathbb{R} \)上の数列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\cdot \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)が定義可能です。
点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に収束する場合には数列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\cdot \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上の点に収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{x}_{v}\cdot \boldsymbol{y}_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\cdot
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{y}_{v}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の内積の形をしている数列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\cdot \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\cdot \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限と\(\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の極限の内積をとれば\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\cdot \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列の内積の形をしている数列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\cdot \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、内積や点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と\(\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)を分けた上で、それらがそれぞれ収束することを確認すればよいということになります。
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{y}_{v}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}で与えられているものとします。\begin{eqnarray}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 1,\frac{1}{v}\right) &=&\left(
1,0\right) \quad \cdots (1) \\
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 2,\frac{2}{v^{2}}\right) &=&\left(
2,0\right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( 1,\frac{1}{v}\right) \cdot \left( 2,\frac{2}{v^{2}}\right) \quad
\because \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の定義}
\\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 1,\frac{1}{v}\right) \cdot
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 2,\frac{2}{v^{2}}\right) \quad \because
\text{内積の法則} \\
&=&\left( 1,0\right) \cdot \left( 2,0\right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&1\cdot 2+0\cdot 0 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( 1,\frac{1}{v}\right) \cdot \left( 2,\frac{2}{v^{2}}\right) \quad \because \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&2+\frac{2}{v^{3}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( 2+\frac{2}{v^{3}}\right) \\
&=&2+0 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の結果と整合的です。
演習問題
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{y}_{v}
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では点列の極限と数列の極限の関係を用いてこの命題を証明しましたが、イプシロン・エヌ論法を用いてこの命題を証明してください。
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