多変数関数の微分
多変数関数（スカラー場）について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。
学習内容
偏微分
多変数関数をあたかも1変数関数のように見なした場合に得られる微分概念を偏微分と呼びます。1変数関数において微分可能性は連続性を含意するのに対し、多変数関数において偏微分性は連続性を含意しません。
偏微分の基本性質
偏微分の基本的な性質について解説します。
高階の偏微分
多変数が偏微分可能であるならば偏導関数が得られます。偏導関数もまた多変数関数であるためそれを偏微分できます。以降についても同様です。
方向微分
多変数関数の変数を特定のベクトルの方向へ移動する状況を想定した微分概念を方向微分と呼びます。偏微分と同様、方向微分もまた連続性を必ずしも含意しません。
方向微分の基本性質
方向微分の性質について解説します。
全微分
微分可能性から連続性を導くためには偏微分や方向微分とは異なる微分概念が要請されます。それを全微分と呼ばれる概念として定式化します。
全微分の基本性質
全微分の基本的な性質について解説します。
テイラーの定理
多変数関数を全微分することとは、もとの複雑な関数をシンプルな1次の多項式関数で近似することを意味します。それとは逆に、多変数関数を高次の多項式によって近似することにより近似の精度を高めようとするのがテイラーの定理の背景にある考え方です。
陰関数定理
多変数の方程式から定義される陰関数と呼ばれる概念を定義するとともに、関連して、陰関数定理と呼ばれる命題について解説します。
オイラーの定理
同次関数に関するオイラーの定理について解説します。
多変数関数の最適化
多変数関数の最大化や最小化について解説します。
関連分野
論理学は、数学における証明や推論の基礎となる分野です。命題論理や述語論理を通じて、論理式、真理値、量化記号、証明の考え方を体系的に解説します。大学数学や理論的な学問を学ぶための出発点となる教材を提供しています。
集合論は現代数学の共通言語です。集合、写像、関係、濃度、順序関係を中心に、数学のさまざまな分野を理解するための基礎概念を体系的に解説します。実数論、線形代数学、位相空間論などへ進むための土台を築きます。
ユークリッド空間は、現代数学における解析学と幾何学の出発点です。点列、位相、ベクトル値関数、多変数関数を通じて、高次元空間における極限・連続性・収束の概念を学びます。位相空間論や最適化理論へ進むための重要な基礎を体系的に解説します。
1変数関数の微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。
