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多変数関数の微分

多変数関数の偏微分と1変数関数の微分の関係

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多変数関数の偏微分と1変数関数の微分の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。

関数\(f\)の定義域\(X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{k}\subset \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。つまり、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in X\Leftrightarrow x_{k}\in X_{k}
\end{equation*}を満たすものとして\(X_{k}\)を定義するということです。変数\(x_{k}\)以外のすべての変数を成分とするベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{-k}=\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots
,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、\(\boldsymbol{x}_{-k}\)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{-k}=X_{1}\times \cdots X_{k-1}\times X_{k+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(\boldsymbol{x}_{-k}\in X_{-k}\)です。このとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{k},\boldsymbol{x}_{-k}\right) \in X_{k}\times
X_{-k}=X
\end{equation*}が成り立ちます。

以上の表記を踏まえると、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かした場合の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right) -f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{h}
\end{equation*}と表現されるため、\(f\)が点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合、そこでの偏微分係数を、\begin{equation}\frac{\partial f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right)
-f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{h} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現できます。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)が与えられたとき、それぞれの実数\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}g\left( x_{k}\right) =f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right)
\end{equation*}を値として定める1変数関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。これは多変数関数\(f\)において変数\(x_{k}\)以外のすべての変数\(\boldsymbol{x}_{-k}\)の値を\(\boldsymbol{a}_{-k}\)に固定することにより得られる変数\(x_{k}\)に関する1変数関数です。関数\(g\)の変数\(x_{k}\)を点\(a_{k}\)から\(h\)だけ動かした場合の平均変化率は、\begin{equation}\frac{g\left( a_{k}+h\right) -g\left( a_{k}\right) }{h}=\frac{f\left(
a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right) -f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right)
}{h} \quad \cdots (2)
\end{equation}であるため、関数\(g\)が点\(a_{k}\)において微分可能である場合、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{dg\left( a_{k}\right) }{dx_{k}} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left(
a_{k}+h\right) -g\left( a_{k}\right) }{h}\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right)
-f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{h}\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&\frac{\partial f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\frac{dg\left( a_{k}\right) }{dx_{k}}
\end{equation*}となります。

命題(偏微分と微分の関係)
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X_{k}\times X_{-k}=X\)が与えられたとき、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x_{k}\right) =f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right)
\end{equation*}を定める1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(\left(a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることと、\(g\)が点\(a_{k}\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\frac{dg\left( a_{k}\right) }{dx_{k}}
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(g\)の定義を踏まえると、上の命題の主張を、\begin{equation}\frac{\partial f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{df\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert
_{x_{k}=a_{k}} \quad \cdots (3)
\end{equation}と表現できます。つまり、多変数関数\(f\)において変数\(x_{k}\)以外のすべての変数\(\boldsymbol{x}_{-k}\)の値を\(\boldsymbol{a}_{-k}\)に固定し、\(f\)をあたかも変数\(x_{k}\)に関する1変数とみなした上で点\(a_{k}\)における微分係数をとれば(\(\left( 3\right) \)の右辺)、\(f\)の点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数(\(\left( 3\right) \)の左辺)が得られます。多変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{x}_{-k}\right) \)を偏微分するプロセスは1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)を微分するプロセスと実質的に等しいため、多変数関数を偏微分する際には偏微分の定義にもとづいて考える必要はなく、1変数関数の微分に関する知識を動員できるということです。

例(2変数関数の偏微分と微分の関係)
2変数関数\(:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(\left( a,b\right)\in X\)が与えられたとき、先の命題より、以下の関係\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y} &=&\left. \frac{df\left(
a,y\right) }{dy}\right\vert _{y=b}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(3変数関数の偏微分と微分の関係)
3変数関数\(:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(\left(a,b,c\right) \in X\)が与えられたとき、先の命題より、以下の関係\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b,c\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
\frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial y} &=&\left. \frac{df\left(
a,y,c\right) }{dy}\right\vert _{y=b} \\
\frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial z} &=&\left. \frac{df\left(
a,b,z\right) }{dz}\right\vert _{z=c}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(偏微分と微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}x^{2}b^{3}\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2xb^{3}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{多項式の微分} \\
&=&2ab^{3}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点\(\left( a,b\right) \)において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =2xy^{3}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

例(偏微分と微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial }{\partial x}f\left( a,b\right) &=&\left. \frac{d}{dx}f\left(
x,b\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{xb}{x^{2}+b^{2}+1}\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{\left( xb\right) ^{\prime }\left( x^{2}+b^{2}+1\right)
-xb\left( x^{2}+b^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&\left. \frac{b\left( x^{2}+b^{2}+1\right) -xb\left( 2x\right) }{\left(
x^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{b\left( -x^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+b^{2}+1\right)
^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\frac{b\left( -a^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点\(\left( a,b\right) \)において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{y\left( -x^{2}+y^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

例(偏微分と微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\sin \left( x+xb\right) \right\vert _{x=a}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert _{z=x+xb}\cdot
\frac{d}{dx}\left( x+xb\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x+xb}\cdot \left(
1+b\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \text{正弦関数・多項式関数の微分} \\
&=&\left. \cos \left( x+xb\right) \cdot \left( 1+b\right) \right\vert _{x=a}
\\
&=&\left( 1+b\right) \cos \left( a+ab\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点\(\left( a,b\right) \)において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =\left( 1+y\right) \cos \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

例(偏微分と微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(a=b\)を満たす点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left\vert
\left( a+h\right) -b\right\vert -\left\vert a-b\right\vert }{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}\quad \because a=b
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため平均変化率\(\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}\)は\(h\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しません。したがって、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。一方、\(a\not=b\)を満たす点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{x}\left( a,b\right) &=&\left. \frac{df\left( x,b\right) }{dx}\right\vert
_{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left\vert x-b\right\vert \right\vert _{x=a}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left[ \left( x-b\right) ^{2}\right] ^{\frac{1}{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \left. \frac{d}{dz}z^{\frac{1}{2}}\right\vert _{z=\left(
x-b\right) ^{2}}\cdot \frac{d}{dx}\left( x-b\right) ^{2}\right\vert
_{x=a}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \left. \frac{1}{2}z^{-\frac{1}{2}}\right\vert _{z=\left(
x-b\right) ^{2}}\cdot 2\left( x-b\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{1}{2}\left[ \left( x-b\right) ^{2}\right] ^{-\frac{1}{2}}\cdot 2\left( x-b\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{x-b}{\left\vert x-b\right\vert }\right\vert _{x=a} \\
&=&\frac{a-b}{\left\vert a-b\right\vert }
\end{eqnarray*}となりますが、\(a\not=b\)ゆえにこれは有限な実数であるため\(f\)は点\(\left(a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=y\right\}
\end{equation*}上の任意の点において同様であるため\(f\)は\(Y \)上において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime}:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{x-y}{\left\vert x-y\right\vert }
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}^{\prime }\)を求めてください。
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問題(偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}^{\prime }\)を求めてください。
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問題(偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)を求めてください。
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問題(偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}^{\prime }\)を求めてください。
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問題(偏導関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(x\)に関する偏導関数\(f_{x}^{\prime }\)を求めてください。
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