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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

関数の差の偏微分(関数の差の勾配ベクトル)

目次

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多変数関数の差の偏微分

定義域を共有する2つの多変数関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺にある任意の点において定義されているならば、\(f,g\)が点\(a\)においてそれぞれの変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots,n\right) \)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f,g\)がともに点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるならば、そこでの偏微分係数に相当する有限な実数\begin{eqnarray*}f_{x_{k}}\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \\
g_{x_{k}}\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在します。この場合、\(f-g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が、\begin{equation*}\left( f-g\right) _{x_{k}}\left( a\right) =f_{x_{k}}\left( a\right)
-g_{x_{k}}\left( a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。

命題(偏微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\left( f-g\right) _{x_{k}}\left( a\right) =f_{x_{k}}\left( a\right)
-g_{x_{k}}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

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つまり、点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f\)の偏微分係数と\(g\)の偏微分係数を足せば、点\(a\)における\(f-g\)の偏微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f+g\)の偏微分可能性を検討する際には、偏微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、\(f\)と\(g\)がともに偏微分可能であることを検討すればよいということになります。

例(偏微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には偏導関数\(f_{x_{k}},g_{x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、上の命題より、\(f-g\)もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\left( f-g\right) _{x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) _{x_{k}}\left( x\right) =f_{x_{k}}\left( x\right)
-g_{x_{k}}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

 

勾配ベクトルの差

先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。

命題(勾配ベクトルの差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において偏微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla \left( f-g\right) \left( a\right) =\nabla f\left( a\right) -\nabla
g\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(勾配ベクトルの差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がともに偏微分可能である場合には勾配ベクトル場\(\nabla f,\nabla g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれ存在します。関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、上の命題より\(f-g\)もまた偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left( f-g\right) :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\nabla \left( f-g\right) \left( x\right) =\nabla f\left( x\right) -\nabla
g\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

次回は偏微分可能な関数どうしの積の偏微分可能性について解説します。

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