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多変数関数の微分

多変数関数の差の偏微分

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多変数関数の差の偏微分

定義域を共有する2つの多変数関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるならば、そこでの偏微分係数に相当する有限な実数\(f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right),g_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) \)が存在します。この場合、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が、\begin{equation*}\left( f-g\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) =f_{x_{k}}^{\prime
}\left( a\right) -g_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial \left( f-g\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}}=\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}-\frac{\partial g\left( a\right)
}{\partial x_{k}}
\end{equation*}と定まります。

命題(偏微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\ \left(k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\left( f-g\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) =f_{x_{k}}^{\prime
}\left( a\right) -g_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

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つまり、点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f\)の偏微分係数と\(g\)の偏微分係数の差をとれば、点\(a\)における\(f-g\)の偏微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)の偏微分可能性を検討する際には、偏微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、\(f\)と\(g\)がともに偏微分可能であることを検討すればよいということになります。

例(偏微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots,n\right) \)に関して偏微分可能である場合には偏導関数\begin{eqnarray*}f_{x_{k}}^{\prime } &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g_{x_{k}}^{\prime } &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在します。関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、先の命題より\(f-g\)もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるため、偏導関数\begin{equation*}\left( f-g\right) _{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在して、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) =f_{x_{k}}^{\prime
}\left( x\right) -g_{x_{k}}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。\(n=2\)の場合、これは、\begin{equation*}\frac{\partial \left( f-g\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}}=\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}-\frac{\partial g\left( x\right)
}{\partial x_{k}}\quad \left( k=1,2\right)
\end{equation*}となります。

例(偏微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots,n\right) \)に関して偏微分可能であるものとします。実数\(c_{1},c_{2}\in \mathbb{R} \)を選んだ上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c_{1}f-c_{2}g\right) \left( x\right) =c_{1}f\left( x\right)
-c_{2}g\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(\left( c_{1}f-c_{2}g\right)\left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、その偏導関数\begin{equation*}\left( c_{1}f-c_{2}g\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( c_{1}f-c_{2}g\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) &=&\left(
c_{1}f\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) +\left( c_{2}g\right)
_{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) \quad \because \text{偏微分可能な関数の差} \\
&=&c_{1}f_{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) -c_{2}g_{x_{k}}^{\prime }\left(
x\right) \quad \because \text{偏微分可能な関数の定数倍}
\end{eqnarray*}を定めます。\(n=2\)の場合、これは、\begin{equation*}\frac{\partial \left( c_{1}f-c_{2}g\right) \left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{k}}=c_{1}\frac{\partial f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial
x_{k}}-c_{2}\frac{\partial g\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{k}}\quad
\left( k=1,2\right)
\end{equation*}となります。

 

勾配ベクトルのベクトル差

先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。

命題(勾配ベクトルのベクトル差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla \left( f-g\right) \left( a\right) =\nabla f\left( a\right) -\nabla
g\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(勾配ベクトルのベクトル差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに偏微分可能である場合には勾配ベクトル場\begin{eqnarray*}\nabla f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n} \\
\nabla g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}が存在します。関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、先の命題より\(f-g\)もまた偏微分可能であるため、勾配ベクトル場\begin{equation*}\nabla \left( f-g\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が存在して、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\nabla \left( f-g\right) \left( x\right) =\nabla f\left( x\right) -\nabla
g\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。\(n=2\)の場合、これは、\begin{equation*}\left( \frac{\partial \left( f-g\right) \left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial
x_{1}},\frac{\partial \left( f-g\right) \left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial
x_{2}}\right) =\left( \frac{\partial f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial
x_{1}},\frac{\partial f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}\right)
-\left( \frac{\partial g\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}},\frac{\partial g\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}\right)
\end{equation*}となります。

例(勾配ベクトルのベクトル差)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに偏微分可能であるものとします。実数\(c_{1},c_{2}\in \mathbb{R} \)を選んだ上で関数\begin{equation*}\left( c_{1}f-c_{2}g\right) \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた偏微分可能であるため勾配ベクトル場\begin{equation*}
\nabla \left( c_{1}f-c_{2}g\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が存在して、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\nabla \left( c_{1}f-c_{2}g\right) \left( x\right) =c_{1}\nabla f\left(
x\right) -c_{2}\nabla g\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。\(n=2\)の場合、これは、\begin{eqnarray*}&&\left( \frac{\partial \left( c_{1}f-c_{2}g\right) \left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}},\frac{\partial \left(
c_{1}f-c_{2}g\right) \left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}\right) \\
&=&c_{1}\left( \frac{\partial f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}},\frac{\partial f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}\right)
-c_{2}\left( \frac{\partial g\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}},\frac{\partial g\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}\right)
\end{eqnarray*}となります。

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