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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

関数の定数倍の偏微分(関数の定数倍の勾配ベクトル)

目次

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多変数関数の定数倍の偏微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(c\cdot f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺にある任意の点において定義されているならば、\(f\)が点\(a\)においてそれぞれの変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f\)が点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるならば、そこでの偏微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f_{x_{k}}\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。この場合、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) _{x_{k}}\left( a\right) =c\cdot f_{x_{k}}\left(
a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。

命題(偏微分可能な関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) _{x_{k}}\left( a\right) =c\cdot f_{x_{k}}\left(
a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を満たす。

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つまり、点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f\)の偏微分係数を\(c\)倍すれば、点\(a\)における\(c\cdot f\)の偏微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)の偏微分可能性を検討する際には、偏微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が偏微分可能であることを検討すればよいということになります。

例(偏微分可能な関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には偏導関数\(f_{x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んで関数\(c\cdot f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、上の命題より、\(c\cdot f\)もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\left( c\cdot f\right) _{x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) _{x_{k}}\left( x\right) =c\cdot f_{x_{k}}\left(
x\right)
\end{equation*}を定めます。

 

勾配ベクトルの定数倍

先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。

命題(勾配ベクトルの定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において偏微分可能であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla \left( c\cdot f\right) \left( a\right) =c\cdot \nabla f\left(
a\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(勾配ベクトルの定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が偏微分可能である場合には勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が存在します。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んで関数\(c\cdot f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、上の命題より、\(c\cdot f\)もまた偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left(c\cdot f\right) :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\nabla \left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot \nabla f\left(
x\right)
\end{equation*}を定めます。

次回は偏微分可能な関数どうしの和の偏微分可能性について解説します。

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