多変数関数の定数倍の偏微分
これまで学んできた偏微分可能な関数に定数を掛けても、その関数の滑らかさは失われません。また、偏微分係数は定数倍するだけで求めることができます。この性質は、多項式関数・三角関数・指数関数などを組み合わせて複雑な関数を微分するときに繰り返し利用される基本法則です。
実数\(c\in \mathbb{R} \)と多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =cf\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める多変数関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)を選んだとき、\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、両者の偏微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial \left( cf\right) \left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=c\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}が成立します。
したがって、何らかの多変数関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の偏微分可能性を検討する際には、偏微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が偏微分可能であることを検討すればよいということになります。さらに、関数\(f\)が偏微分可能である場合、\(f\)の偏微分係数の定数\(c\)倍をとれば、関数\(cf\)の偏微分係数が得られます。
命題（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial \left( cf\right) \left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=c\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を満たす。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が\(X\)上で変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるならば、先の命題より\(cf\)もまた\(X\)上で変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとともに、偏導関数\(\frac{\partial \left( cf\right) }{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial \left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}=c\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上で変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるものとします。この場合、先の命題より、関数\begin{equation*}-f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial \left( -f\right) }{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial \left( -f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}=-\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad
\because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 2x\right) \\
&=&-x
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}\left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad
\because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 3y^{2}\right) \\
&=&-\frac{3}{2}y^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad
\because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 2x\right) \\
&=&-x
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}\left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad
\because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 3y^{2}\right) \\
&=&-\frac{3}{2}y^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial x}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y^{3}\right) \right] \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \cos \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot 2xy^{3}\right] \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 2xy^{3}\right] \\
&=&\frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial y}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}y^{3}\right) \right] \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \cos \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot 3x^{2}y^{2}\right] \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 3x^{2}y^{2}\right] \\
&=&\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial x}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y^{3}\right) \right] \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \cos \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot 2xy^{3}\right] \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 2xy^{3}\right] \\
&=&\frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial y}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}y^{3}\right) \right] \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \cos \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot 3x^{2}y^{2}\right] \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 3x^{2}y^{2}\right] \\
&=&\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{eqnarray*}を定めます。
多変数関数の定数倍の勾配ベクトル
先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。
命題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において偏微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla \left( cf\right) \left( \boldsymbol{a}\right) =c\nabla f\left(
\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}を満たす。
\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}を満たす。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が\(X\)上で偏微分可能であるならば、先の命題より\(cf\)もまた\(X\)上で偏微分可能であるとともに、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\nabla \left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =c\nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定めます。
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上で偏微分可能であるものとします。この場合、先の命題より、関数\begin{equation*}-f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left( -f\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\nabla \left( -f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =-\nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定めます。
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right)
\\
&=&-\nabla \left( \frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \\
&=&-\left( x,\frac{3}{2}y^{2}\right) \\
&=&\left( -x,-\frac{3}{2}y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right)
\\
&=&-\nabla \left( \frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \\
&=&-\left( x,\frac{3}{2}y^{2}\right) \\
&=&\left( -x,-\frac{3}{2}y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( \frac{\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right) \\
&=&\frac{1}{\pi }\nabla \sin \left( x^{2}y^{3}\right) \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( 2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right)
,3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi },\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( \frac{\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right) \\
&=&\frac{1}{\pi }\nabla \sin \left( x^{2}y^{3}\right) \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( 2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right)
,3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi },\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\begin{equation*}cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)が定義域\(X\)上で偏微分可能である場合、先の命題より、\(cf\)もまた定義域\(X\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left( cf\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla \left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) &=&c\nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right) \\
&=&c\left( \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\left( c\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,c\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\boldsymbol{x}\right) \\
&=&c\left( \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\left( c\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,c\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で偏微分可能であるものとします。この場合、先の命題より、関数\begin{equation*}-f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた定義域\(X\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left( -f\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla \left( -f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) &=&-\nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right) \\
&=&-\left( \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\left( -\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,-\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\boldsymbol{x}\right) \\
&=&-\left( \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\left( -\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,-\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\nabla \left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 2x,3y^{2}\right) \\
&=&\left( -x,-\frac{3}{2}y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\nabla \left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 2x,3y^{2}\right) \\
&=&\left( -x,-\frac{3}{2}y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( \frac{\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\nabla \sin \left( x^{2}y^{3}\right) \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( 2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right)
,3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi },\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( \frac{\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\nabla \sin \left( x^{2}y^{3}\right) \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( 2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right)
,3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi },\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
問題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-e^{x^{2}+y^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\sin \left( 3x^{2}+xy^{2}+y+1\right) }{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\frac{\ln \left( x^{2}+y^{4}+1\right) }{e}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\left( x^{2}+y^{4}+1\right) ^{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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