多変数関数の定数倍の偏微分
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。
関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、その点\(a\)において変数\(x_{k}\ \left(k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるならば、そこでの偏微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) =\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。以上の条件が成り立つとき、関数\(cf\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) &=&cf_{x_{k}}^{\prime
}\left( a\right) \\
&=&c\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}
\end{eqnarray*}として定まることが保証されます。
命題（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\left( cf\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) =cf_{x_{k}}^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
つまり、点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f\)の偏微分係数を定数\(c\)倍すれば、点\(a\)における\(cf\)の偏微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の偏微分可能性を検討する際には、偏微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が偏微分可能であることを検討すればよいということになります。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\begin{equation*}cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)が変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能である場合、先の命題より、関数\(cf\)もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\left( cf\right)_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) &=&cf_{x_{k}}^{\prime
}\left( x\right) \\
&=&c\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}
\end{eqnarray*}を定めます。
}\left( x\right) \\
&=&c\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるものとします。この場合、先の命題より、関数\begin{equation*}-f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\left( -f\right) _{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) =-f_{x_{k}}^{\prime
}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。
}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}\left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad
\because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 2x\right) \quad \because \text{多項式関数の偏微分} \\
&=&-x
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}\left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad
\because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 3y^{2}\right) \quad \because \text{多項式関数の偏微分} \\
&=&-\frac{3}{2}y^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}\left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad
\because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 2x\right) \quad \because \text{多項式関数の偏微分} \\
&=&-x
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}\left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad
\because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 3y^{2}\right) \quad \because \text{多項式関数の偏微分} \\
&=&-\frac{3}{2}y^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}\frac{\sin
\left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial x}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y^{3}\right) \right] \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \cos \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot 2xy^{3}\right] \quad \because \text{正弦関数の微分および多項式関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 2xy^{3}\right] \\
&=&\frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}\frac{\sin
\left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial y}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}y^{3}\right) \right] \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \cos \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot 3x^{2}y^{2}\right] \quad \because \text{正弦関数の微分および多項式関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 3x^{2}y^{2}\right] \\
&=&\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}\frac{\sin
\left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial x}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y^{3}\right) \right] \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \cos \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot 2xy^{3}\right] \quad \because \text{正弦関数の微分および多項式関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 2xy^{3}\right] \\
&=&\frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}\frac{\sin
\left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial y}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}y^{3}\right) \right] \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \left. \cos \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot 3x^{2}y^{2}\right] \quad \because \text{正弦関数の微分および多項式関数の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left[ \cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 3x^{2}y^{2}\right] \\
&=&\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{eqnarray*}を定めます。
多変数関数の定数倍の勾配ベクトル
先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。
命題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla \left( cf\right) \left( a\right) =c\nabla f\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を満たす。
例（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\begin{equation*}cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)が定義域\(X\)上で偏微分可能である場合、先の命題より、\(cf\)もまた定義域\(X\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left( cf\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla \left( cf\right) \left( x\right) &=&c\nabla f\left( x\right) \\
&=&c\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\left( c\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,c\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
&=&c\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\left( c\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,c\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で偏微分可能であるものとします。この場合、先の命題より、関数\begin{equation*}-f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた定義域\(X\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left( -f\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla \left( -f\right) \left( x\right) &=&-\nabla f\left( x\right) \\
&=&-\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\left( -\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,-\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
&=&-\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\left( -\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,-\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\nabla \left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 2x,3y^{2}\right) \\
&=&\left( -x,-\frac{3}{2}y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( -\frac{x^{2}+y^{3}+1}{2}\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\nabla \left( x^{2}+y^{3}+1\right) \quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 2x,3y^{2}\right) \\
&=&\left( -x,-\frac{3}{2}y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( \frac{\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\nabla \sin \left( x^{2}y^{3}\right) \quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( \frac{\partial }{\partial x}\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\right) \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( 2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right)
,3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi },\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\nabla \left( \frac{\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\pi }\nabla \sin \left( x^{2}y^{3}\right) \quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( \frac{\partial }{\partial x}\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\right) \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( 2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right)
,3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi },\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
問題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-e^{x^{2}+y^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\sin \left( 3x^{2}+xy^{2}+y+1\right) }{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\frac{\ln \left( x^{2}+y^{4}+1\right) }{e}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数関数の定数倍の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\left( x^{2}+y^{4}+1\right) ^{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】