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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

多変数関数の偏微分

目次

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平均変化率

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とし、実数を値として多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域上の点\(a=\left( a_{1},\cdots,a_{n}\right) \in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。例えば、\(a\)が\(X\)の内点であればそのような条件が満たされます。このような点を議論の対象とする理由については後述します。いずれにせよ、関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から特定の変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left(a\right) \)から\(f\left( a_{1},\cdots,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x_{k}\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、変数\(x\)を点\(a\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率(average rate of change)と呼びます。

ちなみに、\begin{eqnarray*}
\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) &=&\left(
a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +\left( 0,\cdots
,0,h,0,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +h\left(
0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0\right) \\
&=&a+he_{k}
\end{eqnarray*}という変形が可能であることを踏まえると先の平均変化率を、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}とシンプルに表現できます。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルです。

図:平均変化率
図:平均変化率

変数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、変数\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは上図のように、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から\(x\)軸に平行に\(\left\vert h\right\vert \)だけ移動させたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率に相当します。同様に、一般の多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関しても、平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}とは、変数\(x\)を点\(a\in X\)から\(x_{k}\)軸に平行に\(\left\vert k\right\vert \)だけ移動させたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率に相当します。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かしたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left(
a+h\right) b-ab}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{ab+hb-ab}{h} \\
&=&\frac{hb}{h} \\
&=&b
\end{eqnarray*}となります。一方、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かしたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{a\left(
b+h\right) -ab}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{ab+ah-ab}{h} \\
&=&\frac{ah}{h} \\
&=&a
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(\left(a,b\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 1+h,1\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&1 \\
\frac{f\left( 1,1+h\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&1
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( a,b\right) =\left(-1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( -1+h,2\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&2 \\
\frac{f\left( -1,2+h\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&-1
\end{eqnarray*}です。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かしたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left[ \left(
a+h\right) ^{2}+b^{3}\right] -\left( a^{2}+b^{3}\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&2a+h
\end{eqnarray*}となります。一方、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かしたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left[
a^{2}+\left( b+h\right) ^{3}\right] -\left( a^{2}+b^{3}\right) }{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{3b^{2}h+3bh^{2}+h^{3}}{h} \\
&=&3b^{2}+3bh+h^{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(\left(a,b\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、 \begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h,1\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&2\cdot 1+h=2+h \\
\frac{f\left( 1,1+h\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&3\cdot 1^{2}+3\cdot
1\cdot h+h^{2}=3+3h+h^{2}
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( a,b\right) =\left(-1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( -1+h,2\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&2\left( -1\right)
+h=-2+h \\
\frac{f\left( -1,2+h\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&3\cdot 2^{2}+3\cdot
2\cdot h+h^{2}=12+6h+h^{2}
\end{eqnarray*}です。

 

偏微分係数

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a=\left(a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。点\(a\)において変数\(x_{k}\)だけが\(h\not=0\)だけ変化したときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとります。この極限は存在する(有限な実数へ収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この極限を\(f\)の\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数(partial differential coefficient at \(a\) with respect to \(x_{k}\))と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}}\left( a\right) ,\quad \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial
x_{k}},\quad \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( a\right) ,\quad \left.
\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f_{x_{k}}\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( a\right) \)は定義されるということです。偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能(partialdifferentiable at \(a\) with respect to \(x_{k}\))であると言います。

例(偏微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=b \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}b\quad \because \left( 1\right) \\
&=&b\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}f_{x}\left( a,b\right) =b
\end{equation*}となります。やはり先に求めたように、\(\left( a,b\right) \)における変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=a \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}a\quad \because \left( 2\right) \\
&=&a\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(y\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}f_{y}\left( a,b\right) =a
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(\left(a,b\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、 \begin{eqnarray*}
f_{x}\left( 1,1\right) &=&1 \\
f_{y}\left( 1,1\right) &=&1
\end{eqnarray*}です。また、点\(\left( a,b\right)=\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{x}\left( -1,2\right) &=&2 \\
f_{y}\left( -1,2\right) &=&-1
\end{eqnarray*}です。

例(偏微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=2a+h \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}f_{x}\left( a,b\right) =2a
\end{equation*}となります。やはり先に求めたように、\(\left( a,b\right) \)における変数\(x_{2}\)に関する平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=3b^{2}+3bh+h^{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 3b^{2}+3bh+h^{2}\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3b^{2}
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(y\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}f_{y}\left( a,b\right) =3b^{2}
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(\left(a,b\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、 \begin{eqnarray*}
f_{x}\left( 1,1\right) &=&2\cdot 1=2 \\
f_{y}\left( 1,1\right) &=&3\cdot 1^{2}=3
\end{eqnarray*}です。また、点\(\left( a,b\right)=\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{x}\left( -1,2\right) &=&2\cdot \left( -1\right) =-2 \\
f_{y}\left( -1,2\right) &=&3\cdot 2^{2}=12
\end{eqnarray*}です。

 

偏微分可能な点の候補に関する留意点

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における偏微分可能性を定義する際に、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。上の極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)が必ずある1つの有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上のような検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合でも\(\frac{f\left( a+he_{k}\right)-f\left( a\right) }{h}\)の値が常に存在する必要があります。言い換えると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he_{k}\right)-f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が定義域上の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に限りなく近い\(h\)において\(f\left( a+he_{k}\right) \)が定義されているため、そのような任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されています。したがって、このような場合には\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left(a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)が有限な値へ収束するか検証可能です。

多くの場合、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるものとして話を進めます。\(X\)が開集合である場合、その任意の点\(a\in X\)は\(X\)の内点であるため、\(f\)が点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。

 

関数は偏微分可能であるとは限らない

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、点\(a\)がそもそも\(f\)の定義域\(X\)の点ではない場合、すなわち\(f\left( a\right) \)が定義されていない場合、平均変化率\(\frac{f\left(a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義不可能です。したがって、そもそも極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が定義不可能であり、\(f\)が点\(a\)において偏微分可能であるか検討できません。この場合、\(f\)は点\(a\)において任意の変数について偏微分可能ではありません。

例(偏微分可能ではない)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0,0\right\} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0,0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x,y\)のいずれについても偏微分可能ではありません。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点では定義されていない場合、すなわち\(0\)に限りなく近い\(h\)について\(f\left( a+he_{k}\right) \)が定義されていない場合、そのような\(h\)において平均変化率\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義不可能です。したがって、そもそも極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が定義不可能であるため、\(f\)が点\(a\)において偏微分可能であるか検討できません。この場合、\(f\)は点\(a\)において任意の変数について偏微分可能ではありません。

例(偏微分可能ではない)
有界な閉区間の直積上に定義された2変数関数\(f\left( x,y\right) :\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域の境界点\(\left( 0,0\right) \)における変数\(x\)に関する平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\frac{f\left( h,0\right)
-f\left( 0,0\right) }{h}
\end{equation*}をとると、\(f\left( h,0\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されておらず、したがって平均変化率\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left(0,0\right) }{h}\)もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されていません。この場合、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(h\)へ限りなく近づく場合の\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left(0,0\right) }{h}\)の挙動を調べることができず、したがって、\(h\rightarrow 0\)の場合に\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\)が有限な実数へ収束するか検討できません。言い換えると、\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であるかを検討できないということです。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合でも、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(偏微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}f\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において定義されています。ここで、\begin{equation}a=b \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、そこでの変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left\vert
\left( a+h\right) -b\right\vert -\left\vert a-b\right\vert }{h}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため平均変化率\(\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}\)は\(h\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しません。したがって、\(f\)は\(a=b\)を満たす任意の点\(\left(a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。変数\(y\)に関してはどうでしょうか(演習問題)。

 

偏微分と微分の関係

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域\(X\)において変数\(x_{k}\)がとり得る値の範囲を\(X_{k}\)で表記します。つまり、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\in X\Leftrightarrow x_{k}\in X_{k}
\end{equation*}です。変数\(x_{k}\)以外のすべての変数からなるを、\begin{equation*}x_{-k}=\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、それらの変数の定義域からなる直積を、\begin{equation*}
X_{-k}=X_{1}\times \cdots X_{k-1}\times X_{k+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(x_{-k}\in X_{-k}\)です。以上の表記を踏まえると、\(f\)の点\(a\in X\)すなわち点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \in X_{k}\times X_{-k}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数を、\begin{equation}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{h} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現できます。その一方で、上の点\(a=\left(a_{k},a_{-k}\right) \)が与えられたとき、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x_{k}\right) =f\left( x_{k},a_{-k}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。これは多変数関数\(f\)において変数\(x_{k}\)以外のすべての変数\(x_{-k}\)の値を\(a_{-k}\)に固定することで得られる変数\(x_{k}\)に関する1変数関数です。\(g\)の点\(a_{k}\in X_{k}\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{dg\left( a_{k}\right) }{dx_{k}} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left(
a_{k}+h\right) -g\left( a_{k}\right) }{h}\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left(
x_{k},a_{-i}\right) }{h}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}\frac{dg\left( a_{k}\right) }{dx_{k}}=\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}} \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立ちます。つまり、多変数関数\(f\)において変数\(x_{k}\)以外のすべての変数\(x_{-k}\)の値を\(a_{-k}\)に固定し、\(f\)をあたかも変数\(x_{k}\)に関する1変数とみなした上で点\(a_{k}\)における微分係数をとれば(\(\left( 2\right) \)の左辺)、\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数(\(\left( 2\right) \)の右辺)が得られるということです。つまり、多変数関数の偏微分係数を求めるプロセスは1変数関数の微分係数を求めるプロセスと実質的に等しいため、偏微分係数を求める際には定義にさかのぼって考える必要はなく、1変数関数の微分に関する諸々の微分公式を利用できます。

例(微分係数としての偏微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選ぶと、そこでの\(f\)の変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial }{\partial x}f\left( a,b\right) &=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x,b\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{xb}{x^{2}+b^{2}+1}\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{\left( xb\right) ^{\prime }\left( x^{2}+b^{2}+1\right)
-xb\left( x^{2}+b^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&\left. \frac{b\left( x^{2}+b^{2}+1\right) -xb\left( 2x\right) }{\left(
x^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{b\left( -x^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+b^{2}+1\right)
^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\frac{b\left( -a^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(x\)に関して偏微分可能です。同様に、変数\(y\)に関して、\begin{equation*}\frac{\partial }{\partial x}f\left( a,b\right) =\frac{a\left(
a^{2}-b^{2}+1\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{equation*}となりますが(演習問題)、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(y\)に関して偏微分可能です。

 

偏微分係数の一意性

繰り返しになりますが、多変数関数\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(f_{x_{k}}\left(a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限として定義されます。一般に、関数が収束する場合にはそこでの極限が1つの実数として定まるため、関数の極限として定義される偏微分係数もまた1つの実数として定まります。

命題(偏微分係数の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとき、偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( a\right) \in \mathbb{R} \)は1つの実数として定まる。

 

偏導関数

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における偏微分係数に相当する有限な極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように偏微分係数は常に1つの実数として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( x\right)\in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f_{x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の変数\(x_{k}\)に関する偏導関数(partial derivative with respect to \(x_{k}\))と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}}\left( x\right) ,\quad \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial
x_{k}},\quad \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能ではない点が存在する場合、偏導関数\(f_{x_{k}}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の偏導関数\(f_{x_{k}}\)は、もとの関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と偏導関数\(f_{x_{k}}\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において変数\(x_{k}\)について偏微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で\(x_{k}\)に関して偏微分可能(partial differential withrespect to \(x_{k}\) on \(X\))であるとか変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能(partial differentiate withrespect to \(x_{k}\))であるなどと言います。

例(偏導関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}x^{2}b^{3}\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2xb^{3}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{多項式の微分} \\
&=&2ab^{3}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}\left( x,y\right) =2xy^{3}
\end{equation*}を定めます。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)の導出は演習問題にします。
例(偏導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選ぶと、そこでの\(f\)の変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial }{\partial x}f\left( a,b\right) &=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x,b\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{xb}{x^{2}+b^{2}+1}\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{\left( xb\right) ^{\prime }\left( x^{2}+b^{2}+1\right)
-xb\left( x^{2}+b^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&\left. \frac{b\left( x^{2}+b^{2}+1\right) -xb\left( 2x\right) }{\left(
x^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{b\left( -x^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+b^{2}+1\right)
^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\frac{b\left( -a^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}\left( x,y\right) =\frac{y\left( -x^{2}+y^{2}+1\right) }{\left(
x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)の導出は演習問題にします。
例(偏導関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\sin \left( x+xb\right) \right\vert _{x=a}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert _{z=x+xb}\cdot
\frac{d}{dx}\left( x+xb\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x+xb}\cdot \left(
1+b\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \text{正弦関数・多項式関数の微分} \\
&=&\left. \cos \left( x+xb\right) \cdot \left( 1+b\right) \right\vert _{x=a}
\\
&=&\left( 1+b\right) \cos \left( a+ab\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}\left( x,y\right) =\left( 1+y\right) \cos \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めます。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)の導出は演習問題にします。

 

演習問題

問題(偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)を求めてください。
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問題(偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)を求めてください。
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問題(偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)を求めてください。
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関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)を求めてください。
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問題(偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(x\)に関する偏導関数\(f_{x}\)を求めてください。
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次回は勾配ベクトル(グラディエント)について解説します。

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関連知識

スカラー場
スカラー場(多変数関数)の定義

ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとるような写像をスカラー場やベクトル変数の実数値関数、多変数関数などと呼びます。

偏微分
勾配ベクトル(グラディエント)

多変数関数が定義域上の点においてすべての変数に関して偏微分可能である場合、その点におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数を成分とするベクトルが存在します。これを勾配ベクトル(グラディエント)と呼びます。

スカラー場の連続性
偏微分可能性と連続性

1変数関数に関しては微分可能性や偏微分可能性が連続性を含意する一方、2つ以上の変数を持つ多変数関数に関しては、偏微分可能性は連続性を必ずしも含意しません。

偏微分
高階の偏微分

多変数関数の偏導関数が偏微分可能である場合には偏導関数の偏導関数が得られますが、これを2階の偏導関数と呼びます。同様に、3階の偏導関数、4階の偏導関数なども定義可能です。これらを高階の偏導関数と呼びます。

ヘッセ行列
ヘッセ行列

多変数関数が任意の2つの変数の組み合わせに関して2階偏微分可能である場合には、2階偏微分係数を成分として持つ正方行列が定義可能です。これをヘッセ行列と呼びます。

偏微分
多変数関数の連続微分可能性

多変数関数が偏微分可能であることに加えてすべての変数に関する偏導関数が連続である場合、その関数は連続微分可能であると言います。

偏微分
偏微分の順序(クレローの定理)

開集合上に定義されたn階連続微分可能な多変数関数に関しては、n個の変数の順序によらず、n階偏導関数はすべて一致します。これをクレローの定理と呼びます。

偏微分
多変数関数の全微分と偏微分の関係

多変数関数が全微分可能である場合には偏微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。ただ、多変数関数が連続微分可能である場合には全微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。

スカラー場の微分