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DIFFERENTIATION OF SCALAR FIELDS

偏微分係数

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平均変化率

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとる写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を議論の対象とします。つまりこれは、それぞれの\(n\)次元ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in X\)に対して、実数\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}を1つずつ定める写像です。このような写像を正式にはスカラー場(scalar field)や多変数の実数値関数(real-valued function of several real variable)やベクトル変数の実数値関数(real-valued function of a vector variable)などと呼びます。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域の点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。このような点を議論の対象とする理由については後述します。いずれにせよ、スカラー場\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から特定の変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x_{k}\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}
\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、変数\(x\)を点\(a\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率(average rate of change)と呼びます。ちなみに、\begin{eqnarray*}
\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) &=&\left(
a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +\left( 0,\cdots
,0,h,0,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +h\left(
0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0\right) \\
&=&a+he_{k}
\end{eqnarray*}という変形が可能であることを踏まえると先の平均変化率を、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}とシンプルに表現できます。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルです。

図:平均変化率
図:平均変化率

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、変数\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは上図のように、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から\(x\)軸に平行に\(\left\vert h\right\vert \)だけ移動させたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率に相当します。同様に、一般のスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関しても、平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}とは、変数\(x\)を点\(a\in X\)から\(x_{k}\)軸に平行に\(\left\vert k\right\vert \)だけ移動させたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率に相当します。

例(平均変化率)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かしたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left(
a+h\right) b-ab}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{ab+hb-ab}{h} \\
&=&\frac{hb}{h} \\
&=&b
\end{eqnarray*}となります。一方、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かしたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{a\left(
b+h\right) -ab}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{ab+ah-ab}{h} \\
&=&\frac{ah}{h} \\
&=&a
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(\left( a,b\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h,1\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&1 \\
\frac{f\left( 1,1+h\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&1
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( a,b\right) =\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( -1+h,2\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&2 \\
\frac{f\left( -1,2+h\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&-1
\end{eqnarray*}です。
例(平均変化率)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かしたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left[ \left(
a+h\right) ^{2}+b^{3}\right] -\left( a^{2}+b^{3}\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&2a+h
\end{eqnarray*}となります。一方、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かしたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left[
a^{2}+\left( b+h\right) ^{3}\right] -\left( a^{2}+b^{3}\right) }{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{3b^{2}h+3bh^{2}+h^{3}}{h} \\
&=&3b^{2}+3bh+h^{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(\left( a,b\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、
\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h,1\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&2\cdot 1+h=2+h \\
\frac{f\left( 1,1+h\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&3\cdot 1^{2}+3\cdot
1\cdot h+h^{2}=3+3h+h^{2}
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( a,b\right) =\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( -1+h,2\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&2\left( -1\right)
+h=-2+h \\
\frac{f\left( -1,2+h\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&3\cdot 2^{2}+3\cdot
2\cdot h+h^{2}=12+6h+h^{2}
\end{eqnarray*}です。

 

偏微分係数

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。点\(a\)において変数\(x_{k}\)だけが\(h\not=0\)だけ変化したときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとります。この極限は存在する(有限な実数に収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この極限を\(f\)の\(a\)における\(x_{k}\)に関する偏微分係数(partial differential coefficient at \(a\) with respect to \(x_{k}\))と呼び、\begin{equation*}
f_{x_{k}}\left( a\right) ,\quad \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial
x_{k}},\quad \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( a\right) ,\quad \left.
\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f_{x_{k}}\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}\in
\mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( a\right) \)は定義されるということです。偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において\(x_{k}\)に関して偏微分可能(partial differentiable at \(a\) with respect to \(x_{k}\))であると言います。

例(偏微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{equation}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=b \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}b\quad \because \left( 1\right) \\
&=&b\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}
f_{x}\left( a,b\right) =b
\end{equation*}となります。やはり先に求めたように、\(\left( a,b\right) \)における変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{equation}
\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=a \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}a\quad \because \left( 2\right) \\
&=&a\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(y\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}
f_{y}\left( a,b\right) =a
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(\left( a,b\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、
\begin{eqnarray*}
f_{x}\left( 1,1\right) &=&1 \\
f_{y}\left( 1,1\right) &=&1
\end{eqnarray*}です。また、点\(\left( a,b\right) =\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}
f_{x}\left( -1,2\right) &=&2 \\
f_{y}\left( -1,2\right) &=&-1
\end{eqnarray*}です。
例(偏微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{equation}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=2a+h \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}
f_{x}\left( a,b\right) =2a
\end{equation*}となります。やはり先に求めたように、\(\left( a,b\right) \)における変数\(x_{2}\)に関する平均変化率は、\begin{equation}
\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=3b^{2}+3bh+h^{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 3b^{2}+3bh+h^{2}\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3b^{2}
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(y\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}
f_{y}\left( a,b\right) =3b^{2}
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(\left( a,b\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、
\begin{eqnarray*}
f_{x}\left( 1,1\right) &=&2\cdot 1=2 \\
f_{y}\left( 1,1\right) &=&3\cdot 1^{2}=3
\end{eqnarray*}です。また、点\(\left( a,b\right) =\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}
f_{x}\left( -1,2\right) &=&2\cdot \left( -1\right) =-2 \\
f_{y}\left( -1,2\right) &=&3\cdot 2^{2}=12
\end{eqnarray*}です。

以下の例が示唆するように、一般に、スカラー場は任意の点において任意の変数に関して偏微分可能であるとは限りません。

例(偏微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}
f\left( x,y\right) =x\left\vert x-y\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。ここで、\begin{equation}
a=b\not=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、そこでの変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left(
a+h\right) \left\vert \left( a+h\right) -b\right\vert -a\left\vert
a-b\right\vert }{h}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left( a+h\right) \left\vert h\right\vert }{h}\quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( a+h\right) \left\vert h\right\vert }{h}=a \\
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( a+h\right) \left\vert h\right\vert }{h}=-a
\end{eqnarray*}となりますが、\(a\not=0\)より両者は異なります。したがって平均変化率\(\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しないため、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。

 

偏微分可能な点の候補に関する留意点

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における偏微分可能性を定義する際に、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は以下の極限\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されますが、関数の極限の定義より、上の極限が存在するか否かを検討する際には、\(h\not=0\)を満たす十分小さい任意の実数\(h\)について、平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が定義されている必要があります。\(h\rightarrow 0\)の場合に平均変化率が収束することとは、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)に限りなく近づいた場合においても平均変化率が必ず特定の実数へ限りなく近づくことを意味しており、その検証を行うためには\(0\)に十分近い任意の\(h\)について平均変化率が定義されている必要があります。スカラー場\(f\)が定義域の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に十分近い任意の\(h\)について\(f\left( a+he_{k}\right) \)が定義されているため、平均変化率の定義より、この場合、\(h\not=0\)を満たす十分小さい任意の実数\(h\)において平均変化率が定義されていることが保証されるため問題は発生しません。

では、点\(a\)がスカラー場\(f\)の定義域\(X\)の点ではあるものの、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない場合にはどのような問題が起こるでしょうか。例えば、有界な閉区間の直積上に定義された2変数\(\left( x,y\right) \)のスカラー場\(f:\left[0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域の境界点\(\left( 0,0\right) \)における変数\(x\)に関する平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\frac{f\left( h,0\right)
-f\left( 0,0\right) }{h}
\end{equation*}をとると、\(f\left( h,0\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されておらず、したがって上の平均変化率もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されていません。この場合、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(h\)へ限りなく近づく場合の平均変化率の挙動を調べることができず、したがって、\(h\rightarrow 0\)の場合に平均変化率が収束するかどうかを調べることができません。言い換えると、\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であるかどうかを検討できないということです。

こうした問題を回避する場合に、多くの場合、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるものとして話を進めます。\(X\)が開集合である場合、その任意の点\(a\in X\)は\(X\)の内点であるため、\(X\)の部分集合であるような点\(a\)の近傍が存在するため、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることが保証されるからです。

 

微分係数としての偏微分係数

繰り返しになりますが、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}と定義されます。変数\(x_{k}\)がとり得る値の範囲を\(X_{k}\)で表記した上で、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x_{k}\right) =f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},x_{k},a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right)
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。これは\(f\)において変数\(x_{k}\)以外のそれぞれの変数\(x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots ,x_{n}\)の値を\(a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\)に固定することで得られる変数\(x_{k}\)に関する1変数関数です。この関数\(g\)の点\(a_{k}\)における微分係数をとると、\begin{eqnarray*}
\left. \frac{d}{dx_{k}}g\left( x_{k}\right) \right\vert _{x_{k}=a_{k}}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left( a_{k}+h\right) -g\left( a_{k}\right) }{h}\quad \because \text{微分係数の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&\frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( a\right) \quad \because \text{偏微分係数の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( a\right) =\left. \frac{d}{dx_{k}}g\left( x_{k}\right) \right\vert _{x_{k}=a_{k}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( a\right) =\left. \frac{d}{dx_{k}}f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},x_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) \right\vert
_{x_{k}=a_{k}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、スカラー場\(f\)において変数\(x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots ,x_{n}\)の値を\(a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\)に固定し、\(f\)をあたかも変数\(x_{k}\)に関する1変数関数とみなした上で点\(a_{k}\)における微分係数をとれば(上の式の右辺)、\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数(上の式の左辺)が得られるということです。つまり、スカラー場の偏微分係数を求めるプロセスは1変数関数の微分係数を求めるプロセスと実質的に等しいため、偏微分係数を求める際にその定義にさかのぼって考える必要はなく、1変数関数の微分に関する諸々の微分公式を利用できるということです。

例(微分係数としての偏微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選ぶと、そこでの\(f\)の変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial }{\partial x}f\left( a,b\right) &=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x,b\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{xb}{x^{2}+b^{2}+1}\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{\left( xb\right) ^{\prime }\left( x^{2}+b^{2}+1\right)
-xb\left( x^{2}+b^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{商の微分} \\
&=&\left. \frac{b\left( x^{2}+b^{2}+1\right) -xb\left( 2x\right) }{\left(
x^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{b\left( -x^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+b^{2}+1\right)
^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\frac{b\left( -a^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(x\)に関して偏微分可能です。同様に、変数\(y\)に関して、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial x}f\left( a,b\right) =\frac{a\left(
a^{2}-b^{2}+1\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{equation*}となりますが(確認してください)、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(y\)に関して偏微分可能です。

 

偏微分係数の一意性

繰り返しになりますが、スカラー場\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限として定義されます。一般に、関数が収束する場合にはそこでの極限が一意的に定まるため、関数の極限として定義される偏微分係数もまた一意的です。

命題(偏微分係数の一意性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとき、偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( a\right) \in \mathbb{R} \)は一意的に定まる。
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次回は偏導関数について学びます。

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