多変数関数の特定の変数に関する平均変化率
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。\(f\)の定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)\)は中心が\(\boldsymbol{a}\)であり半径が\(\varepsilon\)であるような近傍です。このような点を議論の対象とする理由については後述します。
関数\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から特定の変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値は\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)から\(f\left(a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の変化量と\(x_{k}\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}を、変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率（average rate of change）と呼びます。ちなみに、\begin{eqnarray*}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) &=&\left(
a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +\left( 0,\cdots
,0,h,0,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +h\left(
0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0\right) \\
&=&\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}
\end{eqnarray*}という変形が可能であることを踏まえると、先の平均変化率を、\begin{equation*}
\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}とシンプルに表現することもできます。ただし、\(\boldsymbol{e}_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルです。
\end{equation*}であり、変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}です。
\end{equation*}であり、変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a,b+h,c\right) -f\left( a,b,c\right) }{h}
\end{equation*}であり、変数\(z\)に関する平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a,b,c+h\right) -f\left( a,b,c\right) }{h}
\end{equation*}です。
\end{equation*}と定義されますが、これは下図のように、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から\(x\)軸に平行に\(\left\vert h\right\vert \)だけ移動させた場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率に相当します。
一般の多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)についても同様です。つまり、\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かした場合の\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}と定義されますが、これは、変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から\(x_{k}\)軸に平行に\(\left\vert h\right\vert \)だけ移動させた場合の\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率に相当します。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かした場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left(
a+h\right) b-ab}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{ab+hb-ab}{h} \\
&=&\frac{hb}{h} \\
&=&b
\end{eqnarray*}となります。一方、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かした場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{a\left(
b+h\right) -ab}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{ab+ah-ab}{h} \\
&=&\frac{ah}{h} \\
&=&a
\end{eqnarray*}となります。以上を踏まえると、例えば、点\(\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 1+h,1\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&1 \\
\frac{f\left( 1,1+h\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&1
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( -1+h,2\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&2 \\
\frac{f\left( -1,2+h\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&-1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かした場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left[ \left(
a+h\right) ^{2}+b^{3}\right] -\left( a^{2}+b^{3}\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&2a+h
\end{eqnarray*}となります。一方、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かした場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left[
a^{2}+\left( b+h\right) ^{3}\right] -\left( a^{2}+b^{3}\right) }{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{3b^{2}h+3bh^{2}+h^{3}}{h} \\
&=&3b^{2}+3bh+h^{2}
\end{eqnarray*}となります。以上を踏まえると、例えば、点\(\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、 \begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h,1\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&2\cdot 1+h=2+h \\
\frac{f\left( 1,1+h\right) -f\left( 1,1\right) }{h} &=&3\cdot 1^{2}+3\cdot
1\cdot h+h^{2}=3+3h+h^{2}
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( -1+h,2\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&2\left( -1\right)
+h=-2+h \\
\frac{f\left( -1,2+h\right) -f\left( -1,2\right) }{h} &=&3\cdot 2^{2}+3\cdot
2\cdot h+h^{2}=12+6h+h^{2}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}と表現します。つまり、地点\(\left( x,y\right) \)における標高が\(f\left( x,y\right) \)であるということです。あなたの前方を\(y\)軸の正方向とみなし、後方を\(y\)軸の負方向とみなします。また、あなたから見て右側が\(x\)軸の正方向であり、左側が\(x\)軸の負方向です。あなたの現在位置が、\begin{equation*}\left( a,b,f\left( a,b\right) \right)
\end{equation*}であるものとします。前方に\(h>0\)メートルだけ移動すると、標高は、\begin{equation*}f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right)
\end{equation*}だけ変化します。平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは前方に\(h\)メートル移動した場合に\(1\)メートルあたり標高が平均してどれくらい変化したかを表す指標です。\(h<0\)の場合には後方への移動を表します。また、右側に\(h>0\)メートルだけ移動すると、標高は、\begin{equation*}f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right)
\end{equation*}だけ変化します。平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは右側に\(h\)メートル移動した場合に\(1\)メートルあたり標高が平均してどれくらい変化したかを表す指標です。\(h<0\)の場合には左側への移動を表します。
偏微分係数
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)を任意に選びます。関数\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かした場合の\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する1変数関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right)
}{h}
\end{equation*}をとります。この極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その極限を\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数（partial differential coefficient at \(\boldsymbol{a}\) with respect to \(x_{k}\)）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) ,\quad \frac{\partial
f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}},\quad \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( \boldsymbol{a}\right) ,\quad \left. \frac{\partial
f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f_{x_{k}}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left(
\boldsymbol{a}\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして偏微分係数\(f_{x_{k}}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は定義されるということです。偏微分係数\(f_{x_{k}}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能（partial differentiable at \(\boldsymbol{a}\) with respect to \(x_{k}\)）であると言います。
a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}であり、変数\(y\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}f_{y}^{\prime }\left( a,b\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}です。
a+h,b,c\right) -f\left( a,b,c\right) }{h}
\end{equation*}であり、変数\(y\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}f_{y}^{\prime }\left( a,b,c\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a,b+h,c\right) -f\left( a,b,c\right) }{h}
\end{equation*}であり、変数\(z\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}f_{z}^{\prime }\left( a,b,c\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a,b,c+h\right) -f\left( a,b,c\right) }{h}
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=b \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}b\quad \because \left( 1\right) \\
&=&b\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( a,b\right) =b
\end{equation*}となります。やはり先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \)における変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=a \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}a\quad \because \left( 2\right) \\
&=&a\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(y\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}f_{y}^{\prime }\left( a,b\right) =a
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、例えば、点\(\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、 \begin{eqnarray*}
f_{x}^{\prime }\left( 1,1\right) &=&1 \\
f_{y}^{\prime }\left( 1,1\right) &=&1
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( -1,2\right) &=&2 \\
f_{y}^{\prime }\left( -1,2\right) &=&-1
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=2a+h \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( a,b\right) =2a
\end{equation*}となります。やはり先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \)における変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=3b^{2}+3bh+h^{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 3b^{2}+3bh+h^{2}\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3b^{2}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(y\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}f_{y}^{\prime }\left( a,b\right) =3b^{2}
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、例えば、点\(\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、 \begin{eqnarray*}
f_{x}^{\prime }\left( 1,1\right) &=&2\cdot 1=2 \\
f_{y}^{\prime }\left( 1,1\right) &=&3\cdot 1^{2}=3
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( -1,2\right) &=&2\cdot \left( -1\right) =-2 \\
f_{y}^{\prime }\left( -1,2\right) &=&3\cdot 2^{2}=12
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}と表現します。つまり、地点\(\left( x,y\right) \)における標高が\(f\left( x,y\right) \)であるということです。あなたの前方を\(y\)軸の正方向とみなし、後方を\(y\)軸の負方向とみなします。また、あなたから見て右側が\(x\)軸の正方向であり、左側が\(x\)軸の負方向です。あなたの現在位置が、\begin{equation*}\left( a,b,f\left( a,b\right) \right)
\end{equation*}であるものとします。前方に\(h>0\)メートルだけ移動した場合の標高の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは前方に\(h\)メートル移動したときに\(1\)メートルあたり標高が平均してどれくらい変化したかを表す指標です。移動距離\(h\)を短くすれば、その短い移動距離の中での標高の平均的な変化が得られます。\(h\)を\(0\)に限りなく近づければ点\(\left( a,b\right) \)における変数\(y\)に関する偏微分係数\begin{equation*}f_{y}^{\prime }\left( a,b\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}が得られますが、これは地点\(\left( a,b\right) \)において地面が前後にどれくらい傾いているかを表す指標です。また、点\(\left( a,b\right) \)における変数\(x\)に関する偏微分係数\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( a,b\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}は、地点\(\left( a,b\right) \)において地面が左右にどれくらい傾いているかを表す指標です。
偏微分可能な点の候補に関する留意点
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(\boldsymbol{a}\in X\)における偏微分可能性を定義する際に、点\(\boldsymbol{a}\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の内点であることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。
関数\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は、以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right)
-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。この極限が有限な実数として定まることとは、平均変化率\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした場合に、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が必ず1つの有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の\(h\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が定義されている必要があります。つまり、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。点\(\boldsymbol{a}\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の内点である場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)および周辺の点において定義されていることになるため、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が有限な実数へ収束するか検討できます。
関数は偏微分可能であるとは限らない
関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されていない場合、すなわち\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)が定義されていない場合には平均変化率\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能であるか検討できず、したがって\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能ではありません。つまり、関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能ではないということです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x,y\)のいずれについても偏微分可能ではありません。
関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されている一方で、点\(\boldsymbol{a}\)が\(f\)の定義域の内点ではない場合には、点\(\boldsymbol{a}\)における平均変化率\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)は\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において定義されているとは言えません。したがって、この場合には\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能であるか検証できないため、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能ではありません。
f:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)の端点\(\left(0,0\right) \)は定義域の内点ではありません。実際、\(x<0\)または\(y<0\)を満たす任意の\(\left( x,y\right) \)において\(f\)は定義されていないため、点\(\left( 0,0\right) \)における変数\(x\)に関する平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\frac{f\left( h,0\right)
-f\left( 0,0\right) }{h}
\end{equation*}は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されておらず、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(0\)へ限りなく近づく場合の\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\)の挙動を調べることさえできません。したがって、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。
関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されており、なおかつ点\(\boldsymbol{a}\)が\(f\)の定義域の内点である場合においても、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation}を定めるものとします。その上で、\begin{equation}
a=b \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目します。この点\(\left( a,b\right) \)は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)の内点であるため、\(f\)が点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f\)の点\(\left( a,b\right) \)における変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left\vert
\left( a+h\right) -b\right\vert -\left\vert a-b\right\vert }{h}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため平均変化率\(\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}\)は\(h\rightarrow 0\)の場合に有限な実数へ収束しません。したがって、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能でないことが明らかになりました。
偏微分係数の一意性
多変数関数\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( \boldsymbol{a}\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上で\(h\rightarrow 0\)とした場合の極限として定義されます。一般に、関数が収束する場合にはそこでの極限が1つの実数として定まるため、関数の極限として定義される偏微分係数もまた1つの実数として定まります。
偏導関数
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)における偏微分係数に相当する有限な極限\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように偏微分係数は常に1つの実数として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in Y\)に対して、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(f_{x_{k}}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の変数\(x_{k}\)に関する偏導関数（partial derivative with respect to \(x_{k}\)）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) ,\quad \frac{\partial
f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}},\quad \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}などで表記します。
関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能ではない点が存在する場合、偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において変数\(x_{k}\)について偏微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で\(x_{k}\)に関して偏微分可能（partial differential with respect to \(x_{k}\) on \(X\)）であるとか変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能（partial differentiate with respect to \(x_{k}\)）であるなどと言います。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点はいずれも\(\mathbb{R} ^{2}\)の内点です。先に示したように、点\(\left( a,b\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、そこでの変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( a,b\right) =b
\end{equation*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めます。変数\(y\)に関する導関数の導出は演習問題にします。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点はいずれも\(\mathbb{R} ^{2}\)の内点です。先に示したように、点\(\left( a,b\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、そこでの変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( a,b\right) =2a
\end{equation*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =2x
\end{equation*}を定めます。変数\(y\)に関する導関数の導出は演習問題にします。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点はいずれも\(\mathbb{R} ^{2}\)の内点です。\(a>b\)を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x-y
\end{equation*}となるため、\begin{eqnarray*}
f_{x}^{\prime }\left( a,b\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left[ \left( a+h\right) -b\right] -\left(
a-b\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。\(a<b\)を満たす\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =y-x
\end{equation*}となるため、\begin{eqnarray*}
f_{x}^{\prime }\left( a,b\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left[ b-\left( a+h\right) \right] -\left(
b-a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。\(a=b\)を満たす\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、先に示したように\(f\)はそのような点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。以上より、\(f\)の変数\(x\)に関する偏導関数\(f_{x}^{\prime }\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=y\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(f_{x}^{\prime }\)はそれぞれの\(\left(x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x>y\right) \\
-1 & \left( if\ x<y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。変数\(y\)に関する導関数の導出は演習問題にします。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(x\)に関する偏導関数\(f_{x}^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}^{\prime }\)を求めてください。
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