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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

微分係数

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平均変化率

実数空間\(\mathbb{R}\)もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとる写像\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を議論の対象とします。このような写像を正式には実変数の実数値関数(real-valued function of a real variable)や1変数の実数値関数(real-valued function of single real variable)などと呼びますが、以降ではシンプルに関数(function)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、その定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。加えて、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。このような点を議論の対象とする理由については後述します。いずれにせよ、関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から微小量\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、\(x\)が\(a\)から\(a+h\)まで変化するときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率(average rate of change)と呼びます。

図:平均変化率
図:平均変化率

平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は関数\(f\)のグラフ上の2つの点である\((a,f(a))\)と\((a+h,f(a+h))\)を結んで得られる線分の傾きに相当するため、これは上図のグレーの線分の傾きとして表されます。図からも明らかであるように、平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は\(a\)や\(h\)の水準に依存して変化します。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)が\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&2a+h\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(a=1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&2\cdot 1+h \\
&=&2+h
\end{eqnarray*}であり、点\(a=-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h} &=&2\cdot \left( -3\right)
+h \\
&=&-6+h
\end{eqnarray*}です。
例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)が\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{-h}{a\left( a+h\right) }}{h} \\
&=&\frac{-1}{a\left( a+h\right) }\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(a=1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\frac{-1}{1\cdot \left(
1+h\right) } \\
&=&\frac{-1}{1+h}
\end{eqnarray*}であり、点\(a=-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h} &=&\frac{-1}{\left(
-3\right) \left( -3+h\right) } \\
&=&\frac{1}{3\left( -3+h\right) }
\end{eqnarray*}です。

 

微分係数

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。加えて、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。変数\(x\)が点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率\begin{equation*}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとります。この極限は存在する(有限な実数に収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この極限を\(f\)の\(a\)における微分係数(differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}
f^{\prime }(a),\quad \frac{df(a)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(a),\quad \left.
\frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in
\mathbb{R}\end{equation*}を満たすものとして微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において微分可能(differentiable at \(a\))であると言います。

図:微分係数
図:微分係数

平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は上図の2つの点\(A,B_{1}\)を結んで得られる線分の傾きに相当します。\(h\)を\(0\)に近づけることは、線分の左側の端点\(A\)を固定したまま右側の端点を\(B_{1}\rightarrow B_{2}\rightarrow B_{3}\rightarrow \cdots \)へと移動させていくことを意味します。\(h\)を\(0\)に限りなく近づけることは右側の端点を\(A\)に限りなく近づけることを意味するため、結局、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は点\(A\)における関数\(f\)のグラフの接線の傾きとして近似的に表現できます。この点に関しては後ほど詳しく議論します。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)が\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率は、\begin{equation}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=2a+h \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}2a+\lim_{h\rightarrow 0}h\quad \because \text{収束する関数の和} \\
&=&2a+0\quad \because \text{定数関数、恒等関数の極限} \\
&=&2a
\end{eqnarray*}という有限な実数を得るため、\(f\)の点\(a\)における微分係数が存在し、それは、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(a=1\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 1\right) =2\cdot 1=2
\end{equation*}であり、点\(a=-3\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -3\right) =2\cdot \left( -3\right) =-6
\end{equation*}となります。
例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、変数\(x\)が\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率は、\begin{equation}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=-\frac{1}{a\left( a+h\right)
} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\right) \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&-\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{a\left( a+h\right) }\right) \quad
\because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&-\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{a}\right) \lim_{h\rightarrow
0}\left( \frac{1}{a+h}\right) \quad \because \text{収束する関数の積} \\
&=&-\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}\quad \because \text{定数関数、恒等関数の極限} \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}という有限な実数を得るため、\(f\)の点\(a\)における微分係数が存在し、それは、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(a=1\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 1\right) =-\frac{1}{1^{2}}=-1
\end{equation*}であり、点\(a=-3\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -3\right) =-\frac{1}{3^{2}}=-\frac{1}{9}
\end{equation*}となります。

以下の例が示唆するように、一般に、関数は微分可能であるとは限りません。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(x\)が点\(0\in \mathbb{R}\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}=\frac{\left\vert
h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}=\frac{\left\vert h\right\vert }{h}
\end{equation*}となります。このとき、点\(0\)における左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、平均変化率は\(h\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しません。したがって\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

 

平均変化率と微分係数の解釈

関数\(f\)が与えられたとき、変数\(x\)の値を\(a\)から\(h\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。そこで、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを関数\(f\)の点\(a\)における平均変化率と呼びました。\(x\)の値が\(a\)から\(h\)だけ変化していくという全体のプロセスの中の異なる複数の瞬間に注目したとき、それらの瞬間における\(f\left( x\right) \)の変化量は同じであるとは限りません。\(f\left( x\right) \)の値は同じペースで変化し続けているとは限らないからです。ただ、平均変化率について考える際には、それぞれの瞬間における\(f\left( x\right) \)の変化量の違いを無視し、プロセス全体において平均でどれくらいのペースで\(f\left( x\right) \)が変化したかに注目します。このような意味において、この指標は「平均変化率」と呼ばれます。一方、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(x\)の値が\(a\)と一致する瞬間における\(f\left( x\right) \)の値の変化を表します。このような意味において、微分係数は「瞬間変化率(instantaneous rate of change)」とも呼ばれます。両者の違いをより深く理解するためいくつか例を挙げます。

例(平均変化率と微分係数の違い)
ある地点から車を走らせ、経過時間(秒)と走行距離(メートル)の関係を観察した上で、両者の関係を関数\(f\)として整理しました。つまり、計測を始めた時点から\(x\)秒後における車の走行距離は\(f\left( x\right) \)メートルであるということです。このとき、平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。計測を始めた時点から\(a\)秒後を新たな出発点としたとき、そこからの\(h\)秒間で車は\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)メートルだけ走行します。この走行距離\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)をかかった時間\(h\)で割ったものが上の平均変化率です。この\(h\)秒間の間、車の移動速度は一定であったとは限りません。ただ、そのような違いを無視した上で、この\(h\)秒の間に車が平均でどれくらいのペースで走ったかを表す指標が上の平均変化率です。つまり、平均変化率は平均速度(average speed)に相当する概念です。ここで、かかった時間\(h\)を短くすれば、より短い経過時間の中での平均速度が得られます。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、微分係数\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとれば、それは計測を始めた時点から\(a\)秒後の時点における瞬間的な速度が得られます。つまり、微分係数は瞬間速度(instantaneous speed)に相当する概念です。
例(平均変化率と微分係数の違い)
ある商品を生産している工場において、その商品の生産量(個)と総生産費用(円)の関係を計測した上で、両者の関係を関数\(f\)として整理しました。つまり、その商品を\(x\)個生産するためには\(f\left( x\right) \)円の総費用がかかるということです。このとき、平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。その商品を\(a\)個生産した時点を新たな出発点としたとき、そこから追加的に\(h\)個の商品を生産するためには\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)円の追加費用が必要です。この追加費用\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)を追加的な生産量\(h\)で割ったものが上の平均変化率です。この\(h\)個の商品を生産する間、個々の商品の生産費用は一定であったとは限りません(機械の故障などアクシデントが起こる可能性)。ただ、そのような違いを無視した上で、\(h\)個の商品を生産する間の商品1個あたりの平均費用を表す指標が上の平均変化率です。つまり、平均変化率は平均費用に相当する概念です。ここで、商品の個数\(h\)を少なくすれば、より少ない商品を生産する上での平均費用が得られます。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、微分係数\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとれば、それは\(a\)個目の商品を生産した直後に追加的に商品を生産する際に必要な限界的な費用が得られます。つまり、微分係数は限界費用に相当する概念です。

 

微分可能な点の候補に関する留意点

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(a\in X\)における微分可能性を定義する際に、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(a\in X\)における微分係数は以下の極限\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。上の極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が必ずある1つの有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上のような検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合でも\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)の値が常に存在する必要があります。言い換えると、点\(0\)の周辺の任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が定義域上の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、点\(0\)の周辺の任意の\(h\)において\(f\left( a+h\right) \)が定義されているため、そのような\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されています。したがって、このような場合には\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が有限な値へ収束するかどうか検証が可能です。

では、点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の点ではあるものの、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点では定義されていない場合にはどのような問題が起こるでしょうか。例えば、有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R}\supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、定義域の端点である点\(s\)における平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( s+h\right) -f\left( s\right) }{h}
\end{equation*}をとると、\(f\left( s+h\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されておらず、したがって上の平均変化率もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されていません。この場合、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(h\)へ限りなく近づく場合の\(f\left( x\right) \)の挙動を調べることができず、したがって、\(h\rightarrow 0\)の場合に平均変化率が収束するかどうかを調べることができません。言い換えると、関数\(f\)が点\(s\)において微分可能であるかどうかを検討できないということです。関数\(f\)が定義域のもう一方の端点である\(t\)において微分可能であることを検討できない理由も同様です。ちなみに、有界な閉区間の端点における微分可能性を考える際には片側微分(one-sided differential)と呼ばれる概念を利用します。片側微分については場を改めて解説します

 

増分を用いない微分可能性の表現

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(a\in X\)における微分係数は、\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in
\mathbb{R}\quad \cdots (1)
\end{equation}として定義されます。ここで、\(x=a+h\)とおけば\(h=x-a\)が成り立つため、これを用いて平均変化率を書き換えると、\begin{equation*}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}となります。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}x& =\lim_{h\rightarrow 0}\left( a+h\right) \quad
\because x=a+h \\
& =a
\end{align*}であるため、\(h\rightarrow 0\)は\(x\rightarrow a\)を含意します。逆に、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}h &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( x-a\right) \quad
\because h=x-a \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}x-\alpha \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(x\rightarrow a\)は\(h\rightarrow 0\)を含意します。つまり、\(h\rightarrow 0\)と\(x\rightarrow a\)は互いに言い換え可能です。以上を踏まえると、微分係数の定義として\(\left( 1\right) \)の代わりに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}を採用しても一般性は失われません。

命題(増分を用いない微分可能性の表現)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、その定義域の点\(a\in X\)を任意に選ぶ。ただし、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}\in
\mathbb{R}\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であり、さらに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}が成り立つ。
例(増分を用いない微分可能性の表現)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の点\(a\in \mathbb{R}\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}
&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{2}-a^{2}}{x-a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{\left( x+a\right) \left( x-a\right) }{x-a} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( x+a\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}x+\lim_{x\rightarrow a}a\quad \because \text{収束する関数の和} \\
&=&a+a\quad \because \text{恒等関数、定数関数の極限} \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。

 

ライプニッツ流の微分可能性の表現

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(a\in X\)における微分係数は、\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in
\mathbb{R}\quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されます。ここで\(x\)の増分を\(\Delta x=h\)で表し、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分を\(\Delta y=f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)で表すならば、平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}と言い換えられます。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}\Delta x& =\lim_{h\rightarrow 0}h\quad \because \Delta
x=h \\
& =0
\end{align*}であるため、\(h\rightarrow 0\)は\(\Delta x\rightarrow 0\)を含意します。逆に、\begin{eqnarray*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}h &=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x\quad
\because \Delta x=h \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(\Delta x\rightarrow 0\)は\(h\rightarrow 0\)を含意します。つまり、\(h\rightarrow 0\)と\(\Delta x\rightarrow 0\)は互いに言い換え可能です。以上を踏まえると、微分係数の定義として\(\left( 1\right) \)の代わりに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}を採用しても一般性は失われません。これはライプニッツによる微分係数の表現です。

命題(ライプニッツ流の微分可能性の表現)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、その定義域の点\(a\in X\)を任意に選ぶ。ただし、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとする。その上で、\begin{equation*}
\Delta y=f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}とおく。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\in
\mathbb{R}\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であり、さらに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}が成り立つ。
例(ライプニッツ流の微分の表現)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の点\(a\in \mathbb{R}\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} &=&\lim_{\Delta
x\rightarrow 0}\frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x}
\\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\left( a+\Delta x\right) ^{2}-a^{2}}{\Delta x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{2}+2a\Delta x+\left( \Delta x\right)
^{2}-a^{2}}{\Delta x} \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left( 2a+\Delta x\right) \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}2a+\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x \\
&=&2a+0\quad \therefore \text{定数関数、恒等関数の極限} \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。

 

微分係数の一意性

繰り返しになりますが、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限として定義されます。一般に、関数が点において収束する場合にはそこでの極限が一意的に定まるため、関数の極限として定義される微分係数もまた一意的です。

命題(微分係数の一意性)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(a\in X\)において微分可能であるとき、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R}\)は一意的に定まる。

上の命題は、関数\(f\)が微分可能な点\(a\)において、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が1つの実数として定まるという主張です。関数\(f\)が異なる複数の点である\(a\)と\(a^{\prime }\)において微分可能であるとき、そこでの微分係数である\(f^{\prime }\left( a\right) \)と\(f^{\prime }\left( a^{\prime }\right) \)が常に一致するという主張ではありません。通常、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)の値は点\(a\)に応じて変化します。ただ、以下のような例外もあります。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R}\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\quad \because f^{\prime }\left( a\right) \text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1-1}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となり、これは\(a\)の値に依存せず\(0\)で一定です。つまり、この関数\(f\)は\(\mathbb{R}\)上の任意の点\(a\)において微分可能であるとともに、\(a\)の値によらず微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は\(0\)で一定です。

 

演習問題

問題(平均変化率)
以下の問いに答えてください。
  1. 関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
    f\left( x\right) =4x-9
    \end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R}\)における\(f\)の平均変化率を求めてください。
  2. 関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がはそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
    f\left( x\right) =3-x^{2}
    \end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R}\)における\(f\)の平均変化率を求めてください。
  3. 関数\(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ -2\right\} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -2\right\} \)に対して、\begin{equation*}
    f\left( x\right) =\frac{1}{x+2}
    \end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -2\right\} \)における\(f\)の平均変化率を求めてください。
  4. 関数\(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}
    f\left( x\right) =\frac{2x}{1-x}
    \end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1\right\} \)における\(f\)の平均変化率を求めてください。
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問題(微分係数)
以下の問いに答えてください。
  1. 関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
    f\left( x\right) =2x^{2}-16x+35
    \end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R}\)における\(f\)の微分係数を求めてください。
  2. 関数\(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}
    f\left( x\right) =\frac{x}{x+1}
    \end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1\right\} \)における\(f\)の微分係数を求めてください。
  3. 関数\(f:\mathbb{R}\supset \lbrack \frac{8}{5},+\infty )\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \lbrack \frac{8}{5},+\infty )\)に対して、\begin{equation*}
    f\left( x\right) =\sqrt{5x-8}
    \end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \lbrack \frac{8}{5},+\infty )\)における\(f\)の微分係数を求めてください。
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問題(微分の応用)
時間\(t\)は任意の非負の実数を値としてとるものとします。動いている物体を観察した上で、経過時間と(スタート地点から測った)移動距離の関係を関数\(f\)として整理しました。具体的には、時点\(t\)における移動距離が、\begin{equation*}
f\left( t\right) =\frac{t+1}{t+4}
\end{equation*}で与えられています。このとき以下の問いに答えてください。
  1. 時点\(t=s\)におけるこの物体の速度(瞬間速度)を求めてください。
  2. この物体が移動を止める時点は存在しますか?存在する場合にはその時点を明らかにし、存在しない場合にはその理由を説明してください。
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問題(微分の応用)
時間\(t\)は任意の非負の実数を値としてとるものとします。プールの中の水の量を観察した上で、経過時点と水の量の関係を関数\(f\)として整理しました。具体的には、時点\(t=0\)から時点\(t=6\)まで連続的に観測したところ、各時点\(t\)においてプールに入っている水の量は、\begin{equation*}
f\left( t\right) =10+5t-t^{2}
\end{equation*}であることが明らかになりました。このとき以下の問いに答えてください。
  1. 時点\(t=0\)において、プールの水は増えていますか、それとも減っていますか。理由とともに答えてください。
  2. 時点\(t=6\)において、プールの水は増えていますか、それとも減っていますか。理由とともに答えてください。
  3. プールの水の量が変化しない時点は存在しますか?存在する場合にはその時点を明らかにし、存在しない場合にはその理由を説明してください。
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次回は関数を微分することの意味を無限小と呼ばれる概念を用いながら解説します。

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