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平均変化率

実数空間\(\mathbb{R}\)もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとる写像\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を議論の対象とします。このような写像を正式には実変数の実数値関数(real-valued function of a real variable)や1変数の実数値関数(real-valued function of single real variable)などと呼びますが、以降ではシンプルに関数(function)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意にとります。ただし、\(X^{i}\)は集合\(X\)の内部を表す記号であり、\(a\in X^{i}\)であること、すなわち\(a\)が\(X\)の内点であることとは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(X\)の部分集合であるような\(a\)を中心とする有界な開区間が存在するということです。定義域の内点を議論の対象にする理由は、後ほど解説します。

変数\(x\)の値を区間の内点\(a\in X^{i}\)から\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、\(x\)が\(a\)から\(a+h\)まで変化するときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率(average rate of change)と呼びます。

図:平均変化率

平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は関数\(f\)のグラフ上の2つの点である\((a,f(a))\)と\((a+h,f(a+h))\)を結んで得られる線分の傾きに相当するため、これは上図のグレーの線分の傾きとして表されます。図からも明らかであるように、平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は\(a\)や\(h\)の水準に依存して変化します。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}として定義されているとき、変数\(x\)が定義域\(\mathbb{R}\)の内点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&2a+h\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(a=1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&2\cdot 1+h \\
&=&2+h
\end{eqnarray*}となり、点\(a=-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h} &=&2\cdot \left( -3\right)
+h \\
&=&-6+h
\end{eqnarray*}となります。
例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}として定義されているとき、変数\(x\)が定義域\(\mathbb{R}\backslash \{0\}\)の内点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{-h}{a\left( a+h\right) }}{h} \\
&=&\frac{-1}{a\left( a+h\right) }\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(a=1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\frac{-1}{1\cdot \left(
1+h\right) } \\
&=&\frac{-1}{1+h}
\end{eqnarray*}となり、点\(a=-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h} &=&\frac{-1}{\left(
-3\right) \left( -3+h\right) } \\
&=&\frac{1}{3\left( -3+h\right) }
\end{eqnarray*}となります。

 

微分係数

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の変数\(x\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)が与えられたとき、\(a\)を固定して\(h\)を変数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとります。この極限は存在する(有限な実数に収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この極限を\(f\)の\(a\)における微分係数(differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}
f^{\prime }(a),\quad \frac{df(a)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(a),\quad \left.
\frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in
\mathbb{R}\end{equation*}を満たすものとして関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において微分可能(differentiable at \(a\))であると言います。

関数の極限について復習する
図:微分係数

平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)が上図の2つの点\(A,B_{1}\)を結んで得られる線分の傾きであるものとします。\(a\)を固定したまま\(h\)を\(0\)に近づけることは、線分の左側の端点\(A\)を固定したまま右側の端点を\(B_{1}\rightarrow B_{2}\rightarrow B_{3}\rightarrow \cdots \)へと移動させていくことを意味します。\(h\)を\(0\)に限りなく近づけることは右側の端点を\(A\)に限りなく近づけることを意味するため、結局、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は\(A\)における\(f\)のグラフの接線の傾きとして近似的に表現できます。この点に関しては後ほど詳しく議論します。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}と定義されているとき、変数\(x\)が定義域\(\mathbb{R}\)の内点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=2a+h
\end{equation*}であるため、\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) =2a
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(a=1\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 1\right) =2\cdot 1=2
\end{equation*}であり、点\(a=-3\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -3\right) =2\cdot \left( -3\right) =-6
\end{equation*}となります。この例が示唆するように、関数\(f\)の微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は点\(a\)に依存して変化します。
例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}として定義されているとき、変数\(x\)が定義域\(\mathbb{R}\backslash \{0\}\)の内点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{-1}{a\left( a+h\right)
}
\end{equation*}であるため、\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-1}{a\left(
a+h\right) }=-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(a=1\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 1\right) =-\frac{1}{1^{2}}=-1
\end{equation*}であり、点\(a=-3\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -3\right) =-\frac{1}{\left( -3\right) ^{2}}=-\frac{1}{9}
\end{equation*}となります。

以下の例が示唆するように、一般に、関数は定義域の任意の内点において微分可能であるとは限りません。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}で定義されているものとします。変数\(x\)が定義域\(\mathbb{R}\)の内点である\(0\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{equation*}
g\left( h\right) =\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}=\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}
\end{equation*}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}g\left( h\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}g\left( h\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(g\left( h\right) \)は点\(0\)において収束しません。したがって、もとの関数\(f\)は点\(0\)において微分可能でないことが明らかになりました。

 

平均変化率と微分係数の解釈

関数\(f\left( x\right) \)が与えられたとき、変数\(x\)の値を\(a\)から\(h\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。そこで、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを関数\(f\)の点\(a\)における平均変化率と呼びました。\(x\)の値が\(a\)から\(h\)だけ変化していくという全体のプロセスの中の異なる複数の瞬間に注目したとき、それらの瞬間における\(f\left( x\right) \)の変化量は同じであるとは限りません。\(f\left( x\right) \)の値は同じペースで変化し続けているとは限らないからです。ただ、平均変化率について考える際には、それぞれの瞬間における\(f\left( x\right) \)の変化量の違いを無視し、プロセス全体において平均でどれくらいのペースで\(f\left( x\right) \)が変化したかに注目します。このような意味において、この指標は「平均変化率」と呼ばれます。一方、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(x\)の値が\(a\)と一致する瞬間における\(f\left( x\right) \)の値の変化を表します。このような意味において、微分係数は「瞬間変化率(instantaneous rate of change)」とも呼ばれます。両者の違いをより深く理解するためいくつか例を挙げます。

例(平均変化率と微分係数の違い)
ある地点から車を走らせ、経過時間(秒)と走行距離(メートル)の関係を観察した上で、両者の関係を関数\(f\)として整理しました。つまり、計測を始めた時点から\(x\)秒後における車の走行距離は\(f\left( x\right) \)メートルであるということです。このとき、平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。計測を始めた時点から\(a\)秒後を新たな出発点としたとき、そこからの\(h\)秒間で車は\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)メートルだけ走行します。この走行距離\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)をかかった時間\(h\)で割ったものが上の平均変化率です。この\(h\)秒間の間、車の移動速度は一定であったとは限りません。ただ、そのような違いを無視した上で、この\(h\)秒の間に車が平均でどれくらいのペースで走ったかを表す指標が上の平均変化率です。つまり、平均変化率は平均速度(average speed)に相当する概念です。ここで、かかった時間\(h\)を短くすれば、より短い経過時間の中での平均速度が得られます。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、微分係数\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとれば、それは計測を始めた時点から\(a\)秒後の時点における瞬間的な速度が得られます。つまり、微分係数は瞬間速度(instantaneous speed)に相当する概念です。
例(平均変化率と微分係数の違い)
ある商品を生産している工場において、その商品の生産量(個)と総生産費用(円)の関係を計測した上で、両者の関係を関数\(f\)として整理しました。つまり、その商品を\(x\)個生産するためには\(f\left( x\right) \)円の総費用がかかるということです。このとき、平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。その商品を\(a\)個生産した時点を新たな出発点としたとき、そこから追加的に\(h\)個の商品を生産するためには\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)円の追加費用が必要です。この追加費用\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)を追加的な生産量\(h\)で割ったものが上の平均変化率です。この\(h\)個の商品を生産する間、個々の商品の生産費用は一定であったとは限りません(機械の故障などアクシデントが起こる可能性)。ただ、そのような違いを無視した上で、\(h\)個の商品を生産する間の商品1個あたりの平均費用を表す指標が上の平均変化率です。つまり、平均変化率は平均費用に相当する概念です。ここで、商品の個数\(h\)を少なくすれば、より少ない商品を生産する上での平均費用が得られます。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、微分係数\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとれば、それは\(a\)個目の商品を生産した直後に追加的に商品を生産する際に必要な限界的な費用が得られます。つまり、微分係数は限界費用に相当する概念です。

 

微分可能な点の候補として定義域の内点を採用する理由

今度はややテクニカルな話題です。関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(a\)における微分可能性を定義する際に、その点\(a\)が定義域\(X\)の内点であることを前提として話を進めましたが、その理由を解説します。繰り返しになりますが、定義域\(X\)の任意の内点\(a\in X^{i}\)は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset X
\tag{1}
\end{equation}を満たすものとして定義されます。関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}とは、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)中の\(a\)を固定し、平均変化率を\(h\)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限です。つまり、平均変化率を、\begin{equation*}
g\left( h\right) =\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}とおいた上での極限\(\lim\limits_{h\rightarrow a}g\left( h\right) \)として微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は定義されます。ただし、関数の極限の定義より、この極限\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}g\left( h\right) \)の存在を検討するためにはそもそも関数\(g\left( h\right) \)が\(0\)に限りなく近い任意の\(h\not=0\)において定義されていなければなりません。

点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の内点である場合、すなわち\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、\(f\left( x\right) \)は区間\(\left( a-\varepsilon ,\alpha +\varepsilon \right) \)に属する任意の点において定義されているため、\(f\left( a+h\right) \)は\(0\)に限りなく近い任意の\(h\not=0\)において定義されています。したがって、この場合には\(g\left( h\right) \)もまた\(0\)に限りなく近い任意の\(h\not=0\)において定義されているため、極限\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}g\left( h\right) \)が存在するかどうかを検討できます。では、点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の内点でない場合にはどのようなことが起こるでしょうか。

例えば、閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R}\supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、定義域の端点\(s,t\)はいずれも定義域の内点ではなく境界点です。そこで、仮に点\(s\)における平均変化率\begin{equation*}
g\left( h\right) =\frac{f\left( s+h\right) -f\left( s\right) }{h}
\end{equation*}をとった場合、そもそも\(f\left( x\right) \)は\(s\)よりも小さい点において定義されていないため、\(f\left( s+h\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されていません。したがって、この場合の\(g\left( h\right) \)は\(0\)に限りなく近い任意の\(h\not=0\)において定義されているとは言えないため、極限\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}g\left( h\right) \)の存在を検討できません。\(f\)の\(t\)における微分可能性を検討できない理由も同様です。ちなみに、閉区間の端点における微分可能性を考える際には片側微分(one-sided differential)と呼ばれる概念を利用します。これについては場を改めて解説します。

 

増分を用いない微分可能性の表現

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の内点\(a\in X^{i}\)における微分係数は、\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in
\mathbb{R}\tag{1}
\end{equation}を満たすものとして定義されます。ここで、\(x=a+h\)とおけば\(h=x-a\)が成り立つため、これを用いて平均変化率を書き換えると、\begin{equation*}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}となります。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}x& =\lim_{h\rightarrow 0}\left( a+h\right) \quad
\because x=a+h \\
& =a
\end{align*}であるため、\(h\rightarrow 0\)は\(x\rightarrow a\)を含意します。逆に、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}h &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( x-a\right) \quad
\because h=x-a \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}x-\alpha \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(x\rightarrow a\)は\(h\rightarrow 0\)を含意します。つまり、\(h\rightarrow 0\)と\(x\rightarrow a\)は互いに言い換え可能です。以上を踏まえると、微分係数の定義として\(\left( 1\right) \)の代わりに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}を採用しても一般性は失われません。

命題(増分を用いない微分可能性の表現)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が内点\(a\in X^{i}\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}\in \mathbb{R}\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であり、さらに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}が成り立つ。
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ライプニッツ流の微分可能性の表現

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の内点\(a\in X^{i}\)における微分係数は、\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\tag{1}
\end{equation}と定義されます。ここで\(x\)の増分を\(\Delta x=h\)で表し、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分を\(\Delta y=f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)で表すならば、平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}と言い換えられます。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}\Delta x& =\lim_{h\rightarrow 0}h\quad \because \Delta
x=h \\
& =0
\end{align*}であるため、\(h\rightarrow 0\)は\(\Delta x\rightarrow 0\)を含意します。逆に、\begin{eqnarray*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}h &=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x\quad
\because \Delta x=h \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(\Delta x\rightarrow 0\)は\(h\rightarrow 0\)を含意します。つまり、\(h\rightarrow 0\)と\(\Delta x\rightarrow 0\)は互いに言い換え可能です。以上を踏まえると、微分係数の定義として\(\left( 1\right) \)の代わりに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}を採用しても一般性は失われません。これはライプニッツによる微分係数の表現です。

命題(ライプニッツ流の微分可能性の表現)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と内点\(a\in X^{i}\)が与えられたとき、\begin{equation*}
\Delta y=f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}とおく。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\in
\mathbb{R}\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であり、さらに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}が成り立つ。
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微分係数の一意性

繰り返しになりますが、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は、\(f\)の点\(a\)における平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限として定義されます。一般に、関数が収束する場合には極限は一意的に定まるため、関数の極限として定義される微分係数もまた一意的です。

命題(微分係数の一意性)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるとき、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R}\)は一意的に定まる。
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上の命題は、関数\(f\)が微分可能な点\(a\)において、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が1つの実数として定まるという主張です。関数\(f\)が異なる複数の点である\(a\)と\(a^{\prime }\)において微分可能であるとき、そこでの微分係数である\(f^{\prime }\left( a\right) \)と\(f^{\prime }\left( a^{\prime }\right) \)が常に一致するという主張ではありません。通常、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)の値は点\(a\)に応じて変化します。ただ、以下のような例外もあります。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =1
\end{equation*}と定義されているとき、定義域\(\mathbb{R}\)の内点\(a\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1-1}{h} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となり、これは\(a\)の値に依存せず\(0\)で一定です。つまり、この関数\(f\)は\(\mathbb{R}\)の任意の内点\(a\)において微分可能であるとともに、\(a\)の値によらず微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は\(0\)で一定です。

次回は関数を微分することの意味を無限小と呼ばれる概念を用いながら解説します。

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