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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

関数の微分

目次

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平均変化率

実数空間\(\mathbb{R}\)もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとる写像\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を議論の対象とします。このような写像を正式には実変数の実数値関数(real-valued function of a real variable)や1変数の実数値関数(real-valued function of single real variable)などと呼びますが、以降ではシンプルに関数(function)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。加えて、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。例えば、\(a\)が\(X\)の内点であればそのような条件が満たされます。このような点を議論の対象とする理由については後述します。いずれにせよ、関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から微小量\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、\(x\)が\(a\)から\(a+h\)まで変化するときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率(average rate ofchange)と呼びます。

図:平均変化率
図:平均変化率

平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は関数\(f\)のグラフ上の2つの点である\((a,f(a))\)と\((a+h,f(a+h))\)を結んで得られる線分の傾きに相当するため、これは上図のグレーの線分の傾きとして表されます。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。そこで、変数\(x\)が点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率をとると、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&2a+h\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=2a+h \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。例えば、点\(a=1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&2\cdot 1+h\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&2+h
\end{eqnarray*}であり、点\(a=-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h} &=&2\cdot \left( -3\right)
+h\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-6+h
\end{eqnarray*}です。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。そこで、変数\(x\)が点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率をとると、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{\left( a+h\right) a}\right] \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{-h}{\left( a+h\right) a}\right] \\
&=&-\frac{1}{a\left( a+h\right) }\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=-\frac{1}{a\left( a+h\right)
} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。例えば、点\(a=1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&-\frac{1}{1\cdot \left(
1+h\right) }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\frac{1}{1+h}
\end{eqnarray*}であり、点\(a=-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h} &=&-\frac{1}{\left(
-3\right) \left( -3+h\right) }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\frac{1}{3\left( -3+h\right) }
\end{eqnarray*}です。

 

微分係数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。加えて、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。変数\(x\)が点\(a\)から微小量\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率\begin{equation*}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとります。この極限は存在する(有限な実数に収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この極限を\(f\)の\(a\)における微分係数(differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }(a),\quad \frac{df(a)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(a),\quad \left.
\frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。微分係数\(f^{\prime }\left(a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において微分可能(differentiable at \(a\))であると言います。

図:微分係数
図:微分係数

平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は上図の2つの点\(A,B_{1}\)を結んで得られる線分の傾きに相当します。\(h\)を\(0\)に近づけることは、線分の左側の端点\(A\)を固定したまま右側の端点を\(B_{1}\rightarrow B_{2}\rightarrow B_{3}\rightarrow \cdots \)へと移動させていくことを意味します。\(h\)を\(0\)に限りなく近づけることは右側の端点を\(A\)に限りなく近づけることを意味するため、結局、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は点\(A\)における関数\(f\)のグラフの接線の傾きとして近似的に表現できます。詳細は後ほど議論します。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、変数\(x\)が点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=2a+h \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}2a+\lim_{h\rightarrow 0}h\quad \because \text{収束する関数の和} \\
&=&2a+0\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&2a
\end{eqnarray*}という有限な実数を得るため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =2a \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。例えば、点\(a=1\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&2\cdot 1\quad \because \left( 2\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}であり、点\(a=-3\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( -3\right) &=&2\cdot \left( -3\right) \quad \because
\left( 2\right) \\
&=&-6
\end{eqnarray*}です。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、変数\(x\)が点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=-\frac{1}{a\left( a+h\right)
} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\right] \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&-\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{1}{a\left( a+h\right) }\right] \quad
\because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&-\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{a}\right) \lim_{h\rightarrow
0}\left( \frac{1}{a+h}\right) \quad \because \text{収束する関数の積} \\
&=&-\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}という有限な実数を得るため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。例えば、点\(a=1\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&-\frac{1}{1^{2}}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であり、点\(a=-3\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( -3\right) &=&-\frac{1}{3^{2}}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&-\frac{1}{9}
\end{eqnarray*}です。

 

微分可能な点の候補に関する留意点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における微分可能性を定義する際に、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における微分係数は以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。上の極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が必ずある1つの有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上のような検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合でも\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)の値が常に存在する必要があります。言い換えると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が定義域上の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に限りなく近い\(h\)において\(f\left(a+h\right) \)が定義されているため、そのような任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されています。したがって、このような場合には\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が有限な値へ収束するか検証可能です。

では、点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の点ではあるものの、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点では定義されていない場合にはどのような問題が起こるでしょうか。例えば、有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域の端点である点\(s\)における平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( s+h\right) -f\left( s\right) }{h}
\end{equation*}をとると、\(f\left( s+h\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されておらず、したがって上の平均変化率もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されていません。この場合、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(h\)へ限りなく近づく場合の\(f\left( x\right) \)の挙動を調べることができず、したがって、\(h\rightarrow 0\)の場合に平均変化率が収束するか検証できません。言い換えると、関数\(f\)が点\(s\)において微分可能であるか検証できないということです。関数\(f\)が定義域のもう一方の端点である\(t\)において微分可能であるか検討できない理由も同様です。ちなみに、有界な閉区間の端点における微分可能性を考える際には、関数の片側極限にもとづいて定義される微分概念を利用します。詳細は場を改めて解説します。

 

関数は微分可能であるとは限らない

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における微分係数に相当する有限な極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。以上を踏まえた上で、関数は点において微分可能であるとは限らないことを例を通じて確認します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\)がそもそも\(f\)の定義域\(X\)の点ではない場合、すなわち\(f\left( a\right) \)が定義されていない場合、平均変化率\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義不可能です。したがって、そもそも極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が定義不可能であり、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できません。この場合、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。

例(微分可能ではない)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点では定義されていない場合、すなわち\(0\)に限りなく近い\(h\)について\(f\left( a+h\right) \)が定義されていない場合、そのような\(h\)において平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義不可能です。したがって、そもそも極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が定義不可能であるため、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できません。この場合、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。

例(微分可能ではない)
\(s<t\)を満たす実数\(s,t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、有界な閉区間\(\left[ s,t\right]\subset \mathbb{R} \)をとります。これを定義域とする任意の関数\(f:\left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は点\(s\)において微分可能ではありません。なぜなら、任意の\(h<0\)において\(f\left( s+h\right) \)は定義されていないからです。また、\(f\)は点\(t\)において微分可能ではありません。なぜなら、任意の\(h>0\)において\(f\left( a+t\right) \)は定義されていないからです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合でも、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(微分可能ではない)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)が点\(0\)において微分可能であるか検討可能です。変数\(x\)が点\(0\)から微小量\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left\vert
h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}
\end{eqnarray*}となります。このとき、点\(0\)における左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、平均変化率は\(h\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しません。したがって\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

 

微分係数の一意性

繰り返しになりますが、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限として定義されます。一般に、関数が点において収束する場合にはそこでの極限が1つの実数として定まるため、関数の極限として定義される微分係数もまた1つの実数として定まります。

命題(微分係数の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能であるとき、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \)は1つの実数として定まる。

 

導関数

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における微分係数に相当する有限な極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように微分係数は常に1つの実数として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left(x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の導関数(derivative)と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }(x),\quad \frac{df(x)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(x)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が微分可能ではない点が存在する場合、導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で微分可能(differentiable on \(X\))であるとか微分可能である(differentiable)などと言います。

例(導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検討可能です。先に示したように、\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}となります。したがって、\(f\)の導関数は\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。

例(導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検討可能です。先に示したように、\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。したがって、\(f\)の導関数は\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めます。

例(導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検討可能です。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-x\)となるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\left( a+h\right) -\left( -a\right) }{h}\quad
\because f\left( x\right) =-x \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x\)となるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\left(
x\right) =x \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、先に示したように\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。したがって\(f\)の導関数は\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =4x-9
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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問題(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3-x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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問題(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x^{2}-16x+35
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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問題(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x+2}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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問題(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x}{1-x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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問題(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack \frac{8}{5},+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack \frac{8}{5},+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{5x-8}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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次回は微分の意味を解説します。

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関連知識

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無限大における関数の極限

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DISCUSSION

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