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1変数関数の微分

関数の微分

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平均変化率

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。\(f\)の定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。例えば、\(a\)が\(X\)の内点であればそのような条件が満たされます。このような点を議論の対象とする理由については後述します。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left(x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、変数\(x\)を点\(a\)から\(h\)だけ動かした場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率(average rate of change)と呼びます。

図:平均変化率
図:平均変化率

平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left(a\right) }{h}\)は関数\(f\)のグラフ上の2つの点である\(\left(a,f\left( a\right) \right) \)と\(\left( a+h,f\left( a+h\right) \right) \)を端点とする線分の傾きに相当します(上図のグレーの線分の傾き)。通常、点\(a\)の位置や変数\(x\)を動かす距離\(h\)を変えれば平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)の大きさも変わります。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。変数\(x\)が点\(a\)から\(h\not=0\)だけ動いた場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&2a+h\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(1\)における平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h}=2\cdot 1+h=2+h
\end{equation*}であり、点\(-3\)における平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h}=2\cdot \left( -3\right)
+h=-6+h
\end{equation*}です。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。変数\(x\)が点\(a\)から\(h\not=0\)だけ動いた場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{\left( a+h\right) a}\right] \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{-h}{\left( a+h\right) a}\right] \\
&=&-\frac{1}{a\left( a+h\right) }\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(1\)における平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h}=-\frac{1}{1\cdot \left(
1+h\right) }=-\frac{1}{1+h}
\end{equation*}であり、点\(-3\)における平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h}=-\frac{1}{\left( -3\right)
\left( -3+h\right) }=-\frac{1}{3\left( -3+h\right) }
\end{equation*}です。

 

微分係数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。加えて、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとります。この極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その極限を\(f\)の\(a\)における微分係数(differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }(a),\quad \frac{df(a)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(a),\quad \left.
\frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。微分係数\(f^{\prime }\left(a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において微分可能(differentiable at \(a\))であると言います。

図:微分係数
図:微分係数

平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は上図の2つの点\(A,B_{1}\)を結んで得られる線分の傾きに相当します。\(h\)を\(0\)に近づけることは、線分の左側の端点\(A\)を固定したまま右側の端点を\(B_{1}\rightarrow B_{2}\rightarrow B_{3}\rightarrow \cdots \)へと移動させていくプロセスとして理解できます。\(h\)を\(0\)に限りなく近づけることは右側の端点を\(A\)に限りなく近づけることを意味しますが、この場合、問題としている線分は点\(A\)における関数\(f\)のグラフの接線に限りなく近づくため、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は点\(A\)における関数\(f\)のグラフの接線の傾きと近似的に等しくなります。詳細は後ほど議論します。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(a\in \mathbb{R} \)における平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=2a+h \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}2a+\lim_{h\rightarrow 0}h\quad \because \text{収束する関数の和} \\
&=&2a+0\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =2a \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、例えば、点\(1\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&2\cdot 1\quad \because \left( 2\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}であり、点\(-3\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( -3\right) &=&2\cdot \left( -3\right) \quad \because
\left( 2\right) \\
&=&-6
\end{eqnarray*}です。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)における平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=-\frac{1}{a\left( a+h\right)
} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\right] \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&-\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{1}{a\left( a+h\right) }\right] \quad
\because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&-\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{a}\right) \lim_{h\rightarrow
0}\left( \frac{1}{a+h}\right) \quad \because \text{収束する関数の積} \\
&=&-\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、例えば、点\(1\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&-\frac{1}{1^{2}}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であり、点\(-3\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( -3\right) &=&-\frac{1}{3^{2}}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&-\frac{1}{9}
\end{eqnarray*}です。

 

微分可能な点の候補に関する留意点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における微分可能性を定義する際に、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

関数\(f\)の点\(a\)における微分係数は以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。この極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が必ず1つの有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があります。言い換えると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(f\left( a+h\right) \)が定義されていることになるため、そのような任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) }{h}\)が有限な値へ収束するか検証できます。

 

関数は微分可能であるとは限らない

関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(f\left( a\right) \)が定義されていない場合には平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検証できず、したがって\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではないということです。

例(微分可能ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

関数\(f\)が点\(a\)において定義されている一方で、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合には、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)について\(f\left( a+h\right) \)が定義されているとは言えません。すると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において平均変化率\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されているとも言えず、この場合には\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検証できないため、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。

例(微分可能ではない関数)
有界な閉区間上に定義された関数\(f:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域上の点\(0\)における平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
\end{equation*}をとります。\(f\left( 0+h\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されておらず、したがって平均変化率\(\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\)もまた\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されていません。この場合、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(0\)へ限りなく近づく場合の\(\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\)の挙動を調べられないため、\(h\rightarrow 0\)の場合に\(\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\)が有限な実数へ収束するか検証できません。したがって\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。同様の理由により、\(f\)は点\(1\)においても微分可能ではありません。

関数\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合においても、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(微分可能ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において定義されているだけでなく、その周辺の任意の点においても定義されています。\(f\)の点\(0\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left\vert
h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため平均変化率\(\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\)は\(h\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しません。したがって、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではないことが明らかになりました。

 

微分係数の一意性

関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left(a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上で\(h\rightarrow 0\)とした場合の極限として定義されます。一般に、関数が収束する場合にはそこでの極限が1つの実数として定まるため、関数の極限として定義される微分係数もまた1つの実数として定まります。

命題(微分係数の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能であるとき、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \)は1つの実数として定まる。

 

導関数

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における微分係数に相当する有限な極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように微分係数は常に1つの実数として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left(x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の導関数(derivative)と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }(x),\quad \frac{df(x)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(x)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が微分可能ではない点が存在する場合、導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で微分可能(differentiable on \(X\))であるとか微分可能である(differentiable)などと言います。

例(導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。

例(導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めます。ちなみに、\(f\)は点\(0\)において微分可能でないため、\(f^{\prime }\)の導関数は点\(0\)において定義されません。
例(導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-x\)となるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\left( a+h\right) -\left( -a\right) }{h}\quad
\because f\left( x\right) =-x \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x\)となるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\left(
x\right) =x \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。一方、先に示したように、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。したがって\(f\)の導関数は\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =4x-9
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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