実数の区間上に定義された関数が区間上の点において微分可能であることの意味を定義します。また、区間の内点を微分可能な点の候補とする理由を解説します。

平均変化率

実数の集合\(\mathbb{R}\)もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとる写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を議論の対象とします。このような写像を正式には実変数の実数値関数(real-valued function of a real variable)や1変数の実数値関数(real-valued function of single real variable)などと呼びますが、以降ではシンプルに関数(function)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意にとります。ただし、\(X^{i}\)は集合\(X\)の内部を表す記号であり、\(a\in X^{i}\)であること、すなわち\(a\)が\(X\)の内点であることとは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つことを意味します。定義域の内点を議論の対象にする理由は、後ほど解説します。

変数\(x\)の値を区間の内点\(a\in X^{i}\)から\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right)\)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、\(x\)が\(a\)から\(a+h\)まで変化するときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率(average rate of change)と呼びます。

内点について復習する
図:平均変化率

平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は関数\(f\)のグラフ上の2つの点\((a,f(a)),\ (a+h,f(a+h))\)を結んで得られる線分の傾きに相当するため、これは上図のグレーの線分の傾きとして表されます。図からも明らかであるように、平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は\(a\)や\(h\)の水準に依存して変化します。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)として定義されているとき、変数\(x\)が内点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right) ^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&2a+h\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}となります。より具体的には、例えば\(a=1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&2\cdot 1+h \\
&=&2+h
\end{eqnarray*}となり、\(a=-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h} &=&2\cdot \left( -3\right) +h \\
&=&-6+h
\end{eqnarray*}などとなります。
例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =\frac{1}{x}\)として定義されているとき、変数\(x\)が内点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{-h}{a\left( a+h\right) }}{h} \\
&=&\frac{-1}{a\left( a+h\right) }\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}となります。より具体的には、例えば\(a=1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\frac{-1}{1\cdot \left( 1+h\right) } \\
&=&\frac{-1}{1+h}
\end{eqnarray*}となり、\(a=-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h} &=&\frac{-1}{\left( -3\right) \left( -3+h\right) } \\
&=&\frac{1}{3\left( -3+h\right) }
\end{eqnarray*}などとなります。

 

微分係数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の変数\(x\)が内点\(a\in X^{i}\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)が与えられたとき、\(a\)を固定して\(h\)を変数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとります。この極限は存在するとは限りませんが、仮に存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}
\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall h\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert h\right\vert <\delta \ \Rightarrow \ \left\vert \frac{f(a+h)-f(a)}{h}-c\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、この極限\(c\)を\(f\)の\(a\)における微分係数(differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}
f^{\prime }(a),\quad \frac{df(a)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(a),\quad \left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。また、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合には\(f\)は\(a\)において微分可能(differentiable at \(a\))であると言います。

関数の極限について復習する
図:微分係数

平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)が上図の2つの点\(A,B_{1}\)を結んで得られる線分の傾きであるとしましょう。\(a\)を固定したまま\(h\)を\(0\)に近づけることは、線分の左側の端点\(A\)を固定したまま右側の端点を\(B_{1}\rightarrow B_{2}\rightarrow B_{3}\rightarrow \cdots \)へと移動させていくことを意味します。\(h\)を\(0\)に限りなく近づけることは右側の端点を\(A\)に限りなく近づけることを意味するため、結局、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は\(A\)における\(f\)のグラフの接線の傾きとして近似的に表現できます。この点に関しては後ほど詳しく議論します。

例(微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)として定義されているとき、変数\(x\)が内点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=2a+h
\end{equation*}ですので、\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) =2a
\end{equation*}となります。したがって、例えば\(a=1\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 1\right) =2\cdot 1=2
\end{equation*}であり、\(a=-3\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -3\right) =2\cdot \left( -3\right) =-6
\end{equation*}などとなります。
例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =\frac{1}{x}\)として定義されているとき、変数\(x\)が内点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化するときの平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{-1}{a\left( a+h\right) }
\end{equation*}ですので、\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-1}{a\left( a+h\right) }=-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。したがって、例えば\(a=1\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 1\right) =-\frac{1}{1^{2}}=-1
\end{equation*}であり、\(a=-3\)における微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -3\right) =-\frac{1}{\left( -3\right) ^{2}}=-\frac{1}{9}
\end{equation*}などとなります。

 

定義域の内点を微分可能な点の候補とする理由

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(\alpha \)における微分可能性を定義する際に、その点\(\alpha \)が定義域\(X\)の内点であることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

繰り返しになりますが、定義域\(X\)の任意の内点\(a\in X^{i}\)は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset X \tag{1}
\end{equation}を満たすものとして定義されます。

内点について復習する

微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)とは、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)において\(a\)を固定して、これを\(h\)に関する関数とみなした上での、\(h\rightarrow 0\)のときの極限です。つまり、平均変化率を\(g\left( h\right) =\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)とおいたとき、この関数\(g\left( h\right) \)の\(h\rightarrow 0\)のときの極限\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}g\left( h\right) \)として微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は定義されます。ただし、関数の極限の定義より、極限\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}g\left( h\right) \)の存在を検討するためには、そもそも関数\(g\left( h\right) =\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)は\(0\)に限りなく近い任意の\(h\not=0\)において定義されていなければなりません。

点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の内点である場合、すなわち\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、\(f\left( x\right) \)は区間\(\left( a-\varepsilon ,\alpha +\varepsilon \right) \)に属する任意の点において定義されているため、\(f\left( a+h\right) \)は\(0\)に限りなく近い任意の\(h\not=0\)において定義されています。したがって、この場合には\(g\left( h\right) =\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた\(0\)に限りなく近い任意の\(h\not=0\)において定義されているため、極限\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}g\left( h\right) \)が存在するかどうかを検討できます。

では、点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の内点でない場合にはどのようなことが起こるでしょうか。例えば、閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、定義域の端点\(s,t\)はいずれも定義域の内点ではなく境界点です。そこで、仮に\(a=s\)における平均変化率\(g\left( h\right) =\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{f\left( s+h\right) -f\left( s\right) }{h}\)をとった場合、そもそも\(f\left( x\right) \)は\(s\)よりも小さい点において定義されていないため、\(f\left( a+h\right) =f\left( s+h\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されていません。したがって、この場合には\(g\left( h\right) =\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)は\(0\)に限りなく近い任意の\(h\not=0\)において定義されているとは言えないため、極限\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}g\left( h\right) \)の存在を検討することができません。\(f\)の\(t\)における微分可能性を検討できない理由も同様です。なお、閉区間の端点における微分可能性を考える際には片側微分(one-sided differential)と呼ばれる概念を利用します。これについては場を改めて解説します。

 

増分を用いない微分可能性の表現

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の内点\(a\in X^{i}\)における微分係数は、\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \tag{1}
\end{equation}と定義されます。ここで\(x=a+h\)とおけば\(h=x-a\)が成り立つため、これを用いて平均変化率を書き換えると、\begin{equation*}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}となります。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}x& =\lim_{h\rightarrow 0}\left( a+h\right) \quad \because x=a+h \\
& =a
\end{align*}であるため、\(h\rightarrow 0\)は\(x\rightarrow a\)を含意します。逆に、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}h &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( x-a\right) \quad \because h=x-a \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}x-\alpha \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(x\rightarrow a\)は\(h\rightarrow 0\)を含意します。つまり、\(h\rightarrow 0\)と\(x\rightarrow a\)は互いに言い換え可能です。以上を踏まえると、微分係数の定義として\(\left( 1\right) \)の代わりに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}を採用しても一般性は失われません。

 

ライプニッツ流の微分可能性の表現

再び繰り返しますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の内点\(a\in X^{i}\)における微分係数は、\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \tag{1}
\end{equation}と定義されます。ここで\(x\)の増分を\(\Delta x=h\)で表し、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分を\(\Delta y=f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)で表すならば、平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}と言い換えられます。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}\Delta x& =\lim_{h\rightarrow 0}h\quad \because \Delta x=h \\
& =0
\end{align*}であるため、\(h\rightarrow 0\)は\(\Delta x\rightarrow 0\)を含意します。逆に、\begin{eqnarray*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}h &=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x\quad \because \Delta x=h \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(\Delta x\rightarrow 0\)は\(h\rightarrow 0\)を含意します。つまり、\(h\rightarrow 0\)と\(\Delta x\rightarrow 0\)は互いに言い換え可能です。以上を踏まえると、微分係数の定義として\(\left( 1\right) \)の代わりに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}を採用しても一般性は失われません。これはライプニッツによる微分係数の表現です。

 

微分係数の一意性

一般に、関数が収束する場合には極限が一意的に定まります。微分係数は関数の極限として定義されるため、微分係数が存在する場合には一意的です。

命題(微分係数の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるとき、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R}\)は一意的に定まる。
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次回は無限小を用いた微分の表現について学びます。
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