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1変数関数の微分

整数ベキ関数の微分

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整数ベキ関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は整数ベキ関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}と表すことができるということです。\(z>0\)の場合\(、 f\)は自然数ベキ関数となります。また、\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、\(f\)は定数関数になります。自然数ベキ関数や定数関数の微分についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)の場合について考えます。負の整数\(z\)はある自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定める関数\(f\)を分析対象にするということです。\(n\in \mathbb{N} \)です。ただし、ゼロで割ることは許されないため、この関数は点\(0\)において定義されないことに注意してください。\(0\not\in X\)です。

整数ベキ関数\(x^{-n}\)は定数関数\(1\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の商であるため、\(x^{-n}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の点において定義されている場合には点\(a\)において微分可能です。微分係数は以下の通りです。

命題(整数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-na^{-\left( n+1\right) }=-\frac{n}{a^{n+1}}
\end{equation*}となる。

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例(整数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとします。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。したがって、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-nx^{-\left( n+1\right) }=-\frac{n}{x^{n+1}}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義された整数ベキ関数\(x^{-n}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であるということです。
例(整数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の微分より\(x^{4}+2x^{2}+1\)は点\(a\)において微分可能であり、整数ベキ関数の微分より\(x^{-3}\)は点\(a^{4}+2a^{2}+1\)において微分可能であるため、合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( x^{4}+2x^{2}+1\right)
^{-3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{-3}\right) \right\vert
_{y=x^{4}+2x^{2}+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. -3y^{-4}\right\vert _{y=x^{4}+2x^{2}+1}\cdot \left(
4x^{3}+4x\right) \quad \because \text{多項式関数と整数ベキ関数の微分} \\
&=&-3\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-4}\cdot \left( 4x^{3}+4x\right) \\
&=&\frac{-3\left( 4x^{3}+4x\right) }{\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{4}} \\
&=&\frac{-12x\left( x^{2}+1\right) }{\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{4}}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(整数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{-4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の微分より\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)は点\(a\)において微分可能であり、整数ベキ関数の微分より\(x^{-4}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において微分可能であるため、合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \frac{x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{-4}\right) \right\vert _{y=\frac{x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}}\cdot \frac{d}{dx}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. -4y^{-5}\right\vert _{y=\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}}\cdot
\frac{1\left( 1-x\right) ^{3}-\left( x+1\right) 3\left( 1-x\right)
^{2}\left( -1\right) }{\left( 1-x\right) ^{6}}\quad \because \text{多項式関数と整数ベキ関数の微分} \\
&=&-4\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-5}\cdot \frac{\left( 1-x\right) +3\left( x+1\right) }{\left( 1-x\right) ^{4}} \\
&=&\frac{-8\left( 1-x\right) ^{11}\left( x+2\right) }{\left( x+1\right) ^{5}}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

整数ベキ関数の片側微分

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。

命題(整数ベキ関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =-na^{-\left( n+1\right) }=-\frac{n}{a^{n+1}}
\end{equation*}となる。また、\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =-na^{-\left( n+1\right) }=-\frac{n}{a^{n+1}}
\end{equation*}となる。

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例(負整数ベキ関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (0,1]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (0,1]\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、整数ベキ関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-5a^{-6}
\end{equation*}となります。定義域の端点\(1\)に注目したとき、整数ベキ関数の左側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 1-0\right) =-5\cdot 1^{-5}=-5
\end{equation*}となります。以上より、\(f\)は\((0,1]\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset (0,1]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (0,1]\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-5x^{-6}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(整数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\left( -7x\right) ^{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(整数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

証明

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問題(整数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-7}{x-5}\right) ^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\not=\sqrt{7}\wedge x\not=-\sqrt{7}\wedge x\not=5\right\}
\end{equation*}です。導関数を求めてください。

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