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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

整数ベキ関数の微分

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整数ベキ関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が整数ベキ関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}と表すことができるということです。\(z>0\)の場合、\(f\)は自然数ベキ関数となります。また、\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、\(f\)は定数関数になります。自然数ベキ関数や定数関数の微分についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)の場合について考えます。負の整数\(z\)は自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定める整数ベキ関数\(f\)を分析対象にするということです。\(n\in \mathbb{N} \)です。ただし、ゼロで割ることは許されないため、この関数は点\(0\)において定義されないことに注意してください。\(0\not\in X\)です。

上の関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるかを検討できますが、\(f\)は自然数ベキ関数\(x^{n}\)と定数関数\(1\)の商であるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(負整数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-na^{-\left( n+1\right) }=-\frac{n}{a^{n+1}}
\end{equation*}となる。

証明

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例(負整数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。したがって、\(f\)は微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-nx^{-\left( n+1\right) }=-\frac{n}{x^{n+1}}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義された負整数ベキ関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であるということです。

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。

命題(負整数ベキ関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =-na^{-\left( n+1\right) }=-\frac{n}{a^{n+1}}
\end{equation*}となる。また、\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =-na^{-\left( n+1\right) }=-\frac{n}{a^{n+1}}
\end{equation*}となる。

証明

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例(負整数ベキ関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (0,1]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (0,1]\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(0<a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、負整数ベキ関数の微分より、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. x^{-5}\right\vert _{x=a} \\
&=&-5a^{-6}
\end{eqnarray*}となります。点\(1\)以下の周辺の任意の点\(x\)において\(f\)は定義されているため、負整数ベキ関数の左側微分より、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&\left. x_{-}^{-5}\right\vert _{x=1} \\
&=&-5\cdot 1^{-6}
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset (0,1]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (0,1]\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-5x^{-6}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

負整数ベキ関数との合成関数の微分

負整数ベキ関数が微分可能であるという事実と合成関数の微分を利用すると、より広範な関数を微分できるようになります。

非ゼロの実数を値としてとる関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。これは関数\(y=f\left(x\right) \)と負整数ベキ関数\(y^{-n}\)の合成関数である点に注意してください。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるかどうか検討できます。仮に\(f\)が点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。ここで注意したいことは、負整数ベキ関数は\(0\)以外の任意の点において微分可能であるため点\(f\left( a\right) \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)において微分可能であるという点です。すると合成関数の微分より、\(g\)は点\(a\)において微分可能であることが保証されます。

命題(負整数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。ただし\(n\in \mathbb{N} \)である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(g\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}g^{\prime }\left( a\right) =-n\cdot \left[ f\left( a\right) \right] ^{-\left( n+1\right) }\cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となる。

証明

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上の命題中の関数\(f\)が定義域上で微分可能であるならば、負整数ベキ関数との合成関数の導関数に関する以下の命題を得ます。

命題(負整数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。ただし\(n\in \mathbb{N} \)である。\(f\)が微分可能であるならば、\(g\)は微分可能であるとともに、その導関数\(g^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g^{\prime }\left( x\right) =-n\cdot \left[ f\left( x\right) \right] ^{-\left( n+1\right) }\cdot f^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定める。

例(多項式関数と負整数ベキ関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(m\in \mathbb{N} \)と非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{-m}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\not=0\right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)は多項式関数\(y=\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と負整数ベキ関数\(y^{-m}\)の合成関数です。多項式関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime }=\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}
\quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-m\cdot \left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{-\left( m+1\right) }\left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime } \\
&=&-m\cdot \left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{-\left( m+1\right)
}\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(有理関数と負整数ベキ関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)と多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{-n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\not=0\right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)は有理関数\(y=\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と負整数ベキ関数\(y^{-m}\)の合成関数です。有理関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime }=\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left( x\right) -g\left( x\right) \cdot
h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-n\cdot \left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{-\left( n+1\right) }\left[ \frac{g\left(
x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime } \\
&=&-n\cdot \left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{-\left( n+1\right) }\left[ \frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left(
x\right) -g\left( x\right) \cdot h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left(
x\right) \right] ^{2}}\right] \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(負整数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\left( -7x\right) ^{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(負整数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(負整数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-7}{x-5}\right) ^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\not=\sqrt{7}\wedge x\not=-\sqrt{7}\wedge x\not=5\right\}
\end{equation*}です。導関数を求めてください。

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次回は無理関数の微分について学びます。

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