整数ベキ関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-na^{-n-1}
\end{equation*}が成り立つ。したがって導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-nx^{-n-1}
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{-3}\right) \right\vert
_{y=x^{4}+2x^{2}+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. -3y^{-4}\right\vert _{y=x^{4}+2x^{2}+1}\cdot \left(
4x^{3}+4x\right) \\
&=&-3\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-4}\cdot \left( 4x^{3}+4x\right) \\
&=&\frac{-3\left( 4x^{3}+4x\right) }{\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{4}} \\
&=&\frac{-12x\left( x^{2}+1\right) }{\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{4}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{-4}\)の合成関数であるため\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \frac{x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{-4}\right) \right\vert _{y=\frac{x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}}\cdot \frac{d}{dx}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. -4y^{-5}\right\vert _{y=\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}}\cdot
\frac{1\left( 1-x\right) ^{3}-\left( x+1\right) 3\left( 1-x\right)
^{2}\left( -1\right) }{\left( 1-x\right) ^{6}} \\
&=&-4\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-5}\cdot \frac{\left( 1-x\right) +3\left( x+1\right) }{\left( 1-x\right) ^{4}} \\
&=&\frac{-8\left( 1-x\right) ^{11}\left( x+2\right) }{\left( x+1\right) ^{5}}
\end{eqnarray*}を定めます。

質量\(M\)の天体の中心から距離\(r>0\)の位置にある質量\(m\)の物体には、\begin{equation*}F\left( r\right) =\frac{GMm}{r^{2}}
\end{equation*}の引力が働きます。ただし、\(G\)は万有引力定数です。\(F\)は微分可能であり、導関数\(F^{\prime }\)はそれぞれの\(r>0\)に対して、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( r\right) &=&\frac{d}{dr}\frac{GMm}{r^{2}} \\
&=&GMm\cdot \frac{d}{dr}r^{-2} \\
&=&-2GMmr^{-3} \\
&=&-\frac{2GMm}{r^{3}}
\end{eqnarray*}を定めます。これは減少関数ですが、以上の事実は距離\(r\)が増えると引力が減少することを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =-na^{-n-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =-nx^{-n-1}
   \end{equation*}を定める。
2. 点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =-na^{-n-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =-nx^{-n-1}
   \end{equation*}を定める。

球形の光源の半径が\(a\geq 0\)であるものとします。光源の中心からの距離が\(r\geq 0\)の位置における照度が、\begin{equation*}I\left( r\right) =\frac{C}{r^{2}}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(C>0\)は定数です。光源の表面における照度は、\begin{equation*}I\left( a\right) =\frac{C}{r^{2}}
\end{equation*}です。さらに、\(r=a\)において、\begin{eqnarray*}I_{+}^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dr}I\left( r\right)
\right\vert _{r=a} \\
&=&\left. \frac{d^{+}}{dr}\frac{C}{r^{2}}\right\vert _{r=a} \\
&=&\left. -\frac{2C}{r^{3}}\right\vert _{r=a} \\
&=&-\frac{2C}{a^{3}} \\
&<&0
\end{eqnarray*}ですが、以上の事実は、光源の表面からわずかに離れただけでも照度が急速に減少することを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\left( -7x\right) ^{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-7}{x-5}\right) ^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\not=\sqrt{7}\wedge x\not=-\sqrt{7}\wedge x\not=5\right\}
\end{equation*}です。導関数を求めてください。