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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

正弦関数(sin関数)の微分

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正弦関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が正弦関数であるものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において微分可能であるかを検討できますが、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}となります。

命題(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}となる。
証明

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例(正弦関数の微分)
正弦関数は全区間上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \)の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。つまり、正弦関数の導関数は余弦関数と一致します。

例(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}\)と指数関数\(\sin \left( x\right) \)の積として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( x^{2}\sin \left( x\right) \right)
^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x^{2}\right) ^{\prime }\sin \left( x\right) +x^{2}\left( \sin
\left( x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の積} \\
&=&2x\sin \left( x\right) +x^{2}\cos \left( x\right) \quad \because \text{多項式関数および正弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の商として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \frac{\sin \left( x\right) }{x^{2}+1}\right) ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( \sin \left( x\right) \right) ^{\prime }\left( x^{2}+1\right)
-\sin \left( x\right) \left( x^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{微分可能な関数の商} \\
&=&\frac{\cos \left( x\right) \cdot \left( x^{2}+1\right) -\sin \left(
x\right) \cdot 2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{多項式関数および正弦関数の微分} \\
&=&\frac{x^{2}\cos \left( x\right) +\cos \left( x\right) -2x\sin \left(
x\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x^{3}-3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{3}-3\)と正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \sin \left( x^{3}-3\right) \right)
^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( \sin \left( y\right) \right) ^{\prime }\right\vert
_{y=x^{3}-3}\cdot \left( x^{3}-3\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cos \left( y\right) \right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot \left(
3x^{2}\right) \quad \because \text{多項式関数および正弦関数の微分} \\
&=&\cos \left( x^{3}-3\right) \cdot \left( 3x^{2}\right) \\
&=&3x^{2}\cos \left( x^{3}-3\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{1}{x^{2}+1}\)と正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \sin \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\right) ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( \sin \left( y\right) \right) ^{\prime }\right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) ^{\prime }\quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cos \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \left[
\frac{\left( 1\right) ^{\prime }\left( x^{2}+1\right) -1\left(
x^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\right] \quad \because
\text{有理関数および正弦関数の微分} \\
&=&\cos \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) \cdot \left[ \frac{-2x}{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}}\right] \\
&=&\frac{-2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\cos \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( e^{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は自然指数関数\(e^{x}\)と正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \sin \left( e^{x}\right) \right)
^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( \sin \left( y\right) \right) ^{\prime }\right\vert
_{y=e^{x}}\cdot \left( e^{x}\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cos \left( y\right) \right\vert _{y=e^{x}}\cdot e^{x}\quad
\because \text{自然指数関数および正弦関数の微分} \\
&=&\cos \left( e^{x}\right) \cdot e^{x} \\
&=&e^{x}\cos \left( e^{x}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

正弦関数の片側微分

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。

命題(正弦関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}となる。

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例(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2\sin \left( x\right) +1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,\pi \right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため点\(a\)において微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&2\cdot \left. \left[ \sin \left( x\right) \right] ^{\prime }\right\vert _{x=a}+\left. \left( 1\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&2\cos \left( a\right) +0\quad \because \text{正弦関数および定数関数の微分} \\
&=&2\cos \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(\pi \)において通常の意味で微分可能ではありません。\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため点\(0\)において右側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&2\cdot \left. \left[ \sin \left( x\right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}+\left. \left( 1\right) _{+}^{\prime
}\right\vert _{x=0}\quad \because \text{右側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&2\cos \left( 0\right) +0\quad \because \text{正弦関数および定数関数の右側微分} \\
&=&2\cdot 1 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。また、\(f\)は点\(\pi \)以下の周辺の任意の点において定義されているため点\(\pi \)において左側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&2\cdot \left. \left[ \sin \left(
x\right) \right] _{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi }+\left. \left( 1\right)
_{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi }\quad \because \text{左側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&2\cos \left( \pi \right) +0\quad \because \text{正弦関数および定数関数の左側微分} \\
&=&2\cdot \left( -1\right) \\
&=&-2
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }\supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

例(正弦関数の微分)
単位円上を回転する点を横から見ると\(y\)軸に沿った上下運動だけが観察されます。点が単位円上を反時計回りに一定の速さで回転している場合、観察される上下運動はペースが一定の往復運動になります。このような運動を単振動(simple harmonic motion)と呼びます。点は単位円上を\(1\)周するのにちょうど\(1\)秒間かかるものとします。

$$\begin{array}{cccccccccc}\hline
時点t & 0 & \cdots & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{3}{4} & \cdots & 1 \\ \hline
単位円上の位置\left( x,y\right) & \left( 0,0\right) & \cdots & \left( 0,1\right) & \cdots & \left( -1,0\right) & \cdots & \left( 0,-1\right) & \cdots & \left( 0,0\right) \\ \hline
観察されるy座標 & 0 & \nearrow & 1 & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:周回運動と単振動

点は\(1\)秒間で\(2\pi \)ラジアン移動するため、時点\(t\in \left[ 0,1\right] \)までの移動距離は\(2\pi t\)です。したがって、時点\(t\)において観察される\(y\)座標は、\begin{equation*}f\left( t\right) =\sin \left( 2\pi t\right)
\end{equation*}となります。この\(f\)は正弦関数\(\sin \left( x\right) \)と単項式関数\(2\pi t\)の合成関数であるため、定義域の内部\(\left( 0,1\right) \)において微分可能であり、端点\(0\)において右側微分可能であり、端点\(1\)において左側微分可能であり、導関数\(f^{\prime}\left( t\right) :\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( t\right) &=&\left( \sin \left( 2\pi t\right) \right)
^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left[ \sin \left( y\right) \right] ^{\prime }\right\vert _{y=2\pi
t}\cdot \left( 2\pi t\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cos \left( y\right) \right\vert _{y=2\pi t}\cdot 2\pi \\
&=&2\pi \cos \left( 2\pi t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。導関数\(f^{\prime }\)のグラフは以下の通りです。

図:単振動の速度
図:単振動の速度

微分係数\(f^{\prime }\left( t\right) \)は時点\(t\)における上下運動の瞬間的な速度に相当します。時点\(t=\frac{1}{4},\frac{3}{4}\)において瞬間速度が\(0\)になりますが、これは点が最も高い場所(\(y=1\))に到達した瞬間と最も低い場所(\(y=-1\))に到達した瞬間に相当します。

 

演習問題

問題(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x^{2}+3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin ^{3}\left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{\sin \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\sin ^{3}\left( 2x^{4}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(正弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2\sin \left( 3x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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次回は余弦関数の微分について学びます。

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