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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

絶対値関数の微分

目次

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絶対値関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は絶対値関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}であるということです。絶対値の定義より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\sqrt{x^{2}}=\left( x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は自然数ベキ関数\(x^{2}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であるため、\(\left\vert x\right\vert \)がゼロとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash\left\{ 0\right\} \)の周辺の任意の点において定義されている場合には点\(a\)において微分可能です。微分係数は以下の通りです。

命題(絶対値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)がゼロとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash \left\{0\right\} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{a}{\left\vert a\right\vert }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ a>0\right) \\
-1 & \left( if\ a<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となる。

証明

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上の命題では絶対値関数\(f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert \)が微分可能な点の候補から点\(0\)が除かれています。実際、絶対値関数は点\(0\)において微分可能ではありません。以下で確認します。点\(0\)より大きい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であることを踏まえると、\(f\)の点\(0\)における右側微分は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) -0}{h}\quad \because
f\left( x\right) =x \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるのに対し、点\(0\)より小さい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right)=-x\)であることを踏まえると、\(f\)の点\(0\)における左側微分は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-\left( 0+h\right) -\left( -0\right) }{h}\quad \because f\left( x\right) =-x \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。両者は異なるため\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

例(絶対値関数の微分)
絶対値関数は全区間上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ゼロとは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{x}{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めます。

例(絶対値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の微分より\(3x^{3}-2x^{2}+x+1\)は点\(a\)において微分可能です。さらに、\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\not=0\)であれば、絶対値関数の微分より\(\left\vert x\right\vert \)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において微分可能です。すると合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。つまり、\(f\)は以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 3x^{3}-2x^{2}+x+1\not=0\right\}
\end{equation*}上において微分可能であり、導関数\(f^{\prime}:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left\vert
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left\vert y\right\vert \right\vert
_{y=3x^{3}-2x^{2}+x+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{y}{\left\vert y\right\vert }\right\vert
_{y=3x^{3}-2x^{2}+x+1}\cdot \left( 9x^{2}-4x+1\right) \quad \because \text{絶対値関数と多項式関数の微分} \\
&=&\frac{3x^{3}-2x^{2}+x+1}{\left\vert 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert }\cdot
\left( 9x^{2}-4x+1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。具体的には、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
9x^{2}-4x+1 & \left( if\ 3x^{3}-2x^{2}+x+1>0\right) \\
-\left( 9x^{2}-4x+1\right) & \left( if\ 3x^{3}-2x^{2}+x+1<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

例(絶対値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の微分より\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)は点\(a\)において微分可能です。さらに、\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\not=0\)であれば、絶対値関数の微分より\(\left\vert x\right\vert \)は点\(\frac{2a+1}{\left(1-a\right) ^{3}}\)において微分可能です。すると合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。つまり、\(f\)は以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\not=0\right\}
\end{equation*}上において微分可能であり、導関数\(f^{\prime}:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left\vert \frac{2x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left\vert y\right\vert \right\vert _{y=\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}}\cdot \frac{d}{dx}\left[ \frac{2x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}\right] \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{y}{\left\vert y\right\vert }\right\vert _{y=\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}}\cdot \frac{2\left( 1-x\right) ^{3}-\left(
2x+1\right) 3\left( 1-x\right) ^{2}\left( -1\right) }{\left( 1-x\right) ^{6}}\quad \because \text{絶対値関数と多項式関数の微分} \\
&=&\frac{\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}}{\left\vert \frac{2x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}\right\vert }\cdot \frac{4x+5}{\left( x-1\right) ^{4}}
\end{eqnarray*}を定めます。具体的には、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{4x+5}{\left( x-1\right) ^{4}} & \left( if\ \frac{2x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}>0\right) \\
-\frac{4x+5}{\left( x-1\right) ^{4}} & \left( if\ \frac{2x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

絶対値関数の片側微分

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。加えて、絶対値関数は点\(0\)において微分可能ではない一方で、点\(0\)において片側微分可能です。

命題(絶対値関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{a}{\left\vert a\right\vert } & \left( if\ a\not=0\right) \\
1 & \left( if\ a=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となる。また、\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{a}{\left\vert a\right\vert } & \left( if\ a\not=0\right) \\
-1 & \left( if\ a=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となる。

例(絶対値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(1,2\right) \)を任意に選んだとき、絶対値関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{a}{\left\vert a\right\vert }
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(1\)に注目したとき、絶対値関数の右側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 1+0\right) =\frac{1}{\left\vert 1\right\vert }=1
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(2\)に注目したとき、絶対値関数の左側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 2-0\right) =\frac{2}{\left\vert 2\right\vert }=1
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(f\)は\(\left[ 1,2\right] \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{x}{\left\vert x\right\vert }=1
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(絶対値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x-1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(絶対値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x+1}{\left\vert x^{2}-1\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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