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関数の微分

関数の高階微分

目次

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2階の微分係数と導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において微分可能である場合、導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f^{\prime }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f^{\prime }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }\left( a+h\right) -f^{\prime }\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の点\(a\)における2階微分係数(second orderdifferential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime }(a),\quad f^{\left( 2\right) }(a),\quad \frac{d^{2}f(a)}{dx^{2}},\quad \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a),\quad \left. \frac{d^{2}f\left(
x\right) }{dx^{2}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime \prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime
}\left( a+h\right) -f^{\prime }\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして2階微分係数\(f^{\prime \prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。2階微分係数\(f^{\prime \prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において2階微分可能(second order differentiable at \(a\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が2階微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの2階微分係数\(f^{\prime\prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める\(f^{\prime} \)の導関数\begin{equation*}f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の2階導関数(second order derivative)と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime }(x),\quad f^{\left( 2\right) }(x),\quad \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}},\quad \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x)
\end{equation*}などで表記します。

例(多項式関数の2階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表されるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots
+c_{n}x^{n}\right) ^{\prime }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}\quad \because \text{多項式関数の微分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime }\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left( c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots
+nc_{n}x^{n-1}\right) ^{\prime }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2}\quad
\because \text{多項式関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(指数関数の2階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数指数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation}f\left( x\right) =e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( e^{x}\right) ^{\prime }\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&e^{x}\quad \because \text{指数関数の微分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f^{\prime }\left( x\right) =e^{x} \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime }\)もまた\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left( e^{x}\right) ^{\prime }\quad
\because \left( 2\right) \\
&=&e^{x}\quad \because \text{指数関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正弦関数の2階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は正弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation}f\left( x\right) =\sin \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \sin \left( x\right) \right) ^{\prime
}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\cos \left( x\right) \quad \because \text{正弦関数の微分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime }\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left( \cos \left( x\right) \right)
^{\prime }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\sin \left( x\right) \quad \because \text{余弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(余弦関数の2階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は余弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation}f\left( x\right) =\cos \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \cos \left( x\right) \right) ^{\prime
}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\sin \left( x\right) \quad \because \text{余弦関数の微分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f^{\prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime }\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left( -\sin \left( x\right) \right)
^{\prime }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\left( \sin \left( x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\left( \cos \left( x\right) \right) \quad \because \text{正弦関数の微分} \\
&=&-\cos \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正接関数の2階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は正接関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation}f\left( x\right) =\tan \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であるということです。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{equation*}です。\(f\)は\(X\)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:X\rightarrow \mathbb{R} \)は存在し、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \tan \left( x\right) \right) ^{\prime
}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }\quad \because \text{正接関数の微分} \\
&=&1+\tan ^{2}\left( x\right) \quad \because 1+\tan ^{2}\left( x\right) =\frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f^{\prime }\left( x\right) =1+\tan ^{2}\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime }\)は\(X\)上で微分可能であるため2階導関数\(f^{\prime \prime}:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left( 1+\tan ^{2}\left( x\right)
\right) ^{\prime }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left( 1\right) ^{\prime }+\left( \tan ^{2}\left( x\right) \right)
^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の和} \\
&=&0+2\cdot \tan \left( x\right) \cdot \left( \tan \left( x\right) \right)
^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&2\tan \left( x\right) \left( 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right) \quad
\because \left( 2\right) \\
&=&2\tan \left( x\right) +2\tan ^{3}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

3階の微分係数と導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において2階微分可能である場合、2階導関数\(f^{\prime \prime }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f^{\prime \prime }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f^{\prime\prime }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime \prime }\left( a+h\right) -f^{\prime
\prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の点\(a\)における3階微分係数(third orderdifferential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }(a),\quad f^{\left( 3\right) }(a),\quad \frac{d^{3}f(a)}{dx^{3}},\quad \frac{d^{3}}{dx^{3}}f(a),\quad \left. \frac{d^{3}f\left( x\right) }{dx^{3}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime \prime \prime }(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime \prime
}\left( a+h\right) -f^{\prime \prime }\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして3階微分係数\(f^{\prime \prime \prime }\left(a\right) \)は定義されるということです。3階微分係数\(f^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において3階微分可能(third order differentiable at \(a\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が3階微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの3階微分係数\(f^{\prime\prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める\(f^{\prime\prime }\)の導関数\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の3階導関数(third order derivative)と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }(x),\quad f^{\left( 3\right) }(x),\quad \frac{d^{3}f(x)}{dx^{3}},\quad \frac{d^{3}}{dx^{3}}f(x)
\end{equation*}などで表記します。

例(多項式関数の3階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。先に示したように\(f\)の2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime \prime }\left( x\right) =2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left(
2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2}\right)
^{\prime }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3}\quad \because \text{多項式関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(指数関数の3階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数指数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるということです。先に示したように\(f\)の2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime \prime }\left( x\right) =e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left( e^{x}\right) ^{\prime
}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&e^{x}\quad \because \text{指数関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正弦関数の3階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は正弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。先に示したように\(f\)の2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left( -\sin \left( x\right)
\right) ^{\prime }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\left( \sin \left( x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\left( \cos \left( x\right) \right) \quad \because \text{正弦関数の微分} \\
&=&-\cos \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(余弦関数の3階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は余弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。先に示したように\(f\)の2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\cos \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left( -\cos \left( x\right)
\right) ^{\prime }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\left( \cos \left( x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\left( -\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{余弦関数の微分} \\
&=&\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正接関数の3階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は正接関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{equation*}です。先に示したように\(f\)の3階導関数\(f^{\prime\prime }:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime \prime }\left( x\right) =2\tan \left( x\right) +2\tan ^{3}\left(
x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は\(X\)上で微分可能であるため3階導関数\(f^{\prime \prime \prime}:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left( 2\tan \left( x\right)
+2\tan ^{3}\left( x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( 2\tan \left( x\right) \right) ^{\prime }+\left( 2\tan ^{3}\left(
x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の和} \\
&=&2\left( \tan \left( x\right) \right) ^{\prime }+2\left( \tan ^{3}\left(
x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&2\left( \tan \left( x\right) \right) ^{\prime }+2\cdot 3\cdot \tan
^{2}\left( x\right) \cdot \left( \tan \left( x\right) \right) ^{\prime
}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&2\left( 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right) +6\tan ^{2}\left( x\right)
\cdot \left( 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right) \quad \because \left( \sin
\left( x\right) \right) ^{\prime }=1+\tan ^{2}\left( x\right) \\
&=&2+8\tan ^{2}\left( x\right) +6\tan ^{4}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

\(n\)階の微分係数と導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において\(n-1\)階微分可能である場合、\(n-1\)階導関数\(f^{\left( n-1\right) }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f^{\left( n-1\right) }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f^{\left(n-1\right) }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\left( n-1\right) }\left( a+h\right)
-f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の点\(a\)における\(n\)階微分係数(thirdorder differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }(a),\quad \frac{d^{n}f(a)}{dx^{n}},\quad \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(a),\quad \left. \frac{d^{n}f\left( x\right) }{dx^{n}}\right\vert
_{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\left( n\right) }(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\left( n-1\right)
}\left( a+h\right) -f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして\(n\)階微分係数\(f^{\left( n\right) }\left( a\right) \)は定義されるということです。\(n\)階微分係数\(f^{\left( n\right) }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能(third order differentiable at \(a\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(n\)階微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの\(n\)階微分係数\(f^{\left( n\right) }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める\(f^{\left(n-1\right) }\)の導関数\begin{equation*}f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の\(n\)階導関数(\(n\) th order derivative)と呼び、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }(x),\quad \frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}},\quad \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)
\end{equation*}などで表記します。

例(多項式関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots
+nc_{n}x^{n-1} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&24c_{4}+120c_{5}x+360c_{9}+\cdots
+n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) c_{n}x^{n-4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。

例(指数関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数指数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるということです。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&e^{x} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正弦関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は正弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&-\cos \left( x\right) \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\sin \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。

例(余弦関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は余弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\cos \left( x\right) \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\sin \left( x\right) \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。

例(正接関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は正接関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{equation*}です。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left(n\right) }:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&1+\tan ^{2}\left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2\tan \left( x\right) +2\tan
^{3}\left( x\right) \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&2+8\tan ^{2}\left( x\right)
+6\tan ^{4}\left( x\right) \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&16\tan \left( x\right) +49\tan
^{3}\left( x\right) +24\tan ^{5}\left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(高階の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{7}-6x^{4}+8x^{3}-12x+18
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\ \left( =1,2,3,4\right) \)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)をそれぞれ求めてください。
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問題(高階の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =4\sqrt[5]{x^{3}}-\frac{1}{8x^{2}}-\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\ \left( =1,2,3,4\right) \)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)をそれぞれ求めてください。
証明

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問題(高階の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =7\sin \left( \frac{x}{3}\right) +\cos \left( 1-2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\ \left( =1,2,3,4\right) \)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)をそれぞれ求めてください。
証明

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次回は高階微分可能な関数の定数倍として定義される関数の高階微分可能性について解説します。

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