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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

高階の微分

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2階の微分係数と導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において微分可能であるとき、導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f^{\prime }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f^{\prime }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left. \frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right) \right\vert
_{x=a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }\left( a+h\right) -f^{\prime
}\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の点\(a\)における2階微分係数(second order differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime }(a),\quad f^{\left( 2\right) }(a),\quad \frac{d^{2}f(a)}{dx^{2}},\quad \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a),\quad \left. \frac{d^{2}f\left(
x\right) }{dx^{2}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime \prime }\left( a\right) =\left. \frac{d}{dx}f^{\prime }\left(
x\right) \right\vert _{x=a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }\left(
a+h\right) -f^{\prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして2階微分係数\(f^{\prime \prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。2階微分係数\(f^{\prime \prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において2階微分可能(second order differentiable at \(a\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において2階微分可能であるとき、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の導関数\(f^{\prime \prime }\)が点\(a\)において定義されていることになります。この\(f^{\prime \prime }\)を\(f\)の2階導関数(second order derivative)と呼びます。

例(2階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{m}c_{k}x^{k}
\end{equation*}と表されるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\sum_{k=0}^{m}kc_{k}x^{k-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime }\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f^{\prime }\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。さらに\(f^{\prime }\)もまた多項式関数であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( a\right) &=&\frac{d^{2}}{dx^{2}}f\left( a\right)
\\
&=&\left. \frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right) \right\vert _{x=a}\quad
\because \text{2階微分係数の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \sum_{k=0}^{m}kc_{k}x^{k-1}\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left. \sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right) c_{k}x^{k-2}\right\vert
_{x=a}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&\sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right) c_{k}a^{k-2}
\end{eqnarray*}となります。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様の議論が成立するため、\(f\)の2階導関数は\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =\sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right)
c_{k}x^{k-2}
\end{equation*}を定めます。
例(2階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数指数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime }\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f^{\prime }\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。さらに\(f^{\prime }\)もまた自然数指数関数であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( a\right) &=&\frac{d^{2}}{dx^{2}}f\left( a\right)
\\
&=&\left. \frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right) \right\vert _{x=a}\quad
\because \text{2階微分係数の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}e^{x}\right\vert _{x=a}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left. e^{x}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{自然数指数関数の微分} \\
&=&e^{a}
\end{eqnarray*}となります。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様の議論が成立するため、\(f\)の2階導関数は\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めます。
例(2階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は正弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime }\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f^{\prime }\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。さらに、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( a\right) &=&\frac{d^{2}}{dx^{2}}f\left( a\right)
\\
&=&\left. \frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right) \right\vert _{x=a}\quad
\because \text{2階微分係数の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \right\vert _{x=a}\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\left. -\sin \left( x\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \text{余弦関数の微分} \\
&=&-\sin \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様の議論が成立するため、\(f\)の2階導関数は\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

 

3階微分係数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において2階微分可能であるとき、2階導関数\(f^{\prime \prime }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f^{\prime \prime }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f^{\prime\prime }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left. \frac{d}{dx}f^{\prime \prime }\left( x\right) \right\vert
_{x=a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime \prime }\left( a+h\right)
-f^{\prime \prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の点\(a\)における3階微分係数(third orderdifferential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }(a),\quad f^{\left( 3\right) }(a),\quad \frac{d^{3}f(a)}{dx^{3}},\quad \frac{d^{3}}{dx^{3}}f(a),\quad \left. \frac{d^{3}f\left( x\right) }{dx^{3}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime \prime \prime }(a)=\left. \frac{d}{dx}f^{\prime \prime }\left(
x\right) \right\vert _{x=a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime \prime
}\left( a+h\right) -f^{\prime \prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして3階微分係数\(f^{\prime \prime \prime }\left(a\right) \)は定義されるということです。3階微分係数\(f^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において3階微分可能(third order differentiable at \(a\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において3階微分可能であるとき、\(f\)の2階導関数\(f^{\prime \prime }\)の導関数\(f^{\prime\prime \prime }\)が点\(a\)において定義されていることになります。この\(f^{\prime \prime\prime }\)を\(f\)の3階導関数(third order derivative)と呼びます。

例(3階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{m}c_{k}x^{k}
\end{equation*}と表されるということです。先に確認したように\(f\)の2階導関数は\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime \prime }\left( x\right) =\sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right)
c_{k}x^{k-2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f^{\prime \prime }\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。さらに\(f^{\prime \prime }\)もまた多項式関数であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( a\right) &=&\frac{d^{3}}{dx^{3}}f\left(
a\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dx}f^{\prime \prime }\left( x\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because \text{3階微分係数の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right)
c_{k}x^{k-2}\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left. \sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right) \left( k-2\right)
c_{k}x^{k-3}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&\sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right) \left( k-2\right) c_{k}a^{k-3}
\end{eqnarray*}となります。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様の議論が成立するため、\(f\)の3階導関数は\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) =\sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right)
\left( k-2\right) c_{k}x^{k-3}
\end{equation*}を定めます。
例(3階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数指数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるということです。先に確認したように\(f\)の2階導関数は\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime \prime }\left( x\right) =e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f^{\prime \prime }\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。さらに\(f^{\prime \prime }\)もまた自然数指数関数であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( a\right) &=&\frac{d^{3}}{dx^{3}}f\left(
a\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dx}f^{\prime \prime }\left( x\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because \text{3階微分係数の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}e^{x}\right\vert _{x=a}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left. e^{x}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{自然数指数関数の微分} \\
&=&e^{a}
\end{eqnarray*}となります。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様の議論が成立するため、\(f\)の3階導関数は\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めます。
例(3階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は正弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。先に確認したように\(f\)の2階導関数は\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f^{\prime \prime }\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。さらに、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( a\right) &=&\frac{d^{3}}{dx^{3}}f\left(
a\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dx}f^{\prime \prime }\left( x\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because \text{3階微分係数の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left[ -\sin \left( x\right) \right] \right\vert
_{x=a}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\left( \left. \frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \right\vert _{x=a}\right)
\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\left( \left. \cos \left( x\right) \right\vert _{x=a}\right) \quad
\because \text{正弦関数の微分} \\
&=&-\cos \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様の議論が成立するため、\(f\)の3階導関数は\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) =-\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

 

\(n\)階の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において\(n-1\)階微分可能であるとき、\(n-1\)階導関数\(f^{\left( n-1\right) }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f^{\left( n-1\right) }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f^{\left(n-1\right) }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left. \frac{d}{dx}f^{\left( n-1\right) }\left( x\right) \right\vert
_{x=a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\left( n-1\right) }\left( a+h\right)
-f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の点\(a\)における\(n\)階微分係数(third order differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }(a),\quad \frac{d^{n}f(a)}{dx^{n}},\quad \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(a),\quad \left. \frac{d^{n}f\left( x\right) }{dx^{n}}\right\vert
_{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\left( n\right) }(a)=\left. \frac{d}{dx}f^{\left( n-1\right) }\left(
x\right) \right\vert _{x=a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\left( n-1\right)
}\left( a+h\right) -f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして\(n\)階微分係数\(f^{\left( n\right) }\left( a\right) \)は定義されるということです。\(n\)階微分係数\(f^{\left( n\right) }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能(third order differentiable at \(a\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能であるとき、\(f\)の\(n-1\)階導関数\(f^{\left( n-1\right) }\)の導関数\(f^{\left( n\right) }\)が点\(a\)において定義されていることになります。この\(f^{\left(n\right) }\)を\(f\)の\(n\)階導関数(second order derivative)と呼びます。

例((n)階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{m}c_{k}x^{k}
\end{equation*}と表されるということです。先と同様の議論を繰り返すことにより、任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{m}kc_{k}x^{k-1} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right)
c_{k}x^{k-2} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{m}k\left(
k-1\right) \left( k-2\right) c_{k}x^{k-3} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right)
\left( k-2\right) \left( k-3\right) c_{k}x^{k-4} \\
f^{\left( 5\right) }\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{m}k\left( k-1\right)
\left( k-2\right) \left( k-3\right) \left( k-4\right) c_{k}x^{k-5} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。
例((n)階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数指数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるということです。先と同様の議論を繰り返すことにより、任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\left( 5\right) }\left( x\right) &=&e^{x} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。
例((n)階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は正弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。先と同様の議論を繰り返すことにより、任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&-\cos \left( x\right) \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\sin \left( x\right) \\
f^{\left( 5\right) }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において無限階微分可能です。

 

演習問題

問題(高階の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{7}-6x^{4}+8x^{3}-12x+18
\end{equation*}を定めるものとします。\(4\)階の導関数\(f^{\left(4\right) }\)を求めてください。
証明

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問題(高階の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =4\sqrt[5]{x^{3}}-\frac{1}{8x^{2}}-\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(4\)階の導関数\(f^{\left(4\right) }\)を求めてください。
証明

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問題(高階の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =7\sin \left( \frac{x}{3}\right) +\cos \left( 1-2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(4\)階の導関数\(f^{\left(4\right) }\)を求めてください。
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次回は高階の片側微分(半微分)について学びます。

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