2階の微分係数と導関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)およびその周辺の任意の点において微分可能である場合、導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f^{\prime }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f^{\prime }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\frac{df^{\prime }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime
}\left( a+h\right) -f^{\prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定まりますが、これを\(f\)の点\(a\)における2階微分係数（second order differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime }(a),\quad f^{\left( 2\right) }(a),\quad \frac{d^{2}f(a)}{dx^{2}},\quad \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a),\quad \left. \frac{d^{2}f\left(
x\right) }{dx^{2}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime \prime }\left( a\right) =\frac{df^{\prime }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }\left( a+h\right) -f^{\prime }\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして2階微分係数\(f^{\prime \prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。2階微分係数\(f^{\prime \prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において2階微分可能（second order differentiable at \(a\)）であると言います。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が2階微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記する場合、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの2階微分係数\(f^{\prime\prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める\(f^{\prime }\)の導関数\begin{equation*}f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の2階導関数（second order derivative）と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime }(x),\quad f^{\left( 2\right) }(x),\quad \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}},\quad \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x)
\end{equation*}などで表記します。
\end{equation*}と表されるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}\quad \because \text{多項式関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\prime }\)もまた多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\\
&=&\frac{d}{dx}\left( c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}\right)
\\
&=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2}\quad
\because \text{多項式関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}e^{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&e^{x}\quad \because \text{指数関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\prime }\)もまた自然指数関数であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\\
&=&\frac{d}{dx}e^{x} \\
&=&e^{x}\quad \because \text{指数関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\ln \left( x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{x}\quad \because \text{対数関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\prime }\)は有理関数であるため\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\\
&=&\frac{d}{dx}\frac{1}{x} \\
&=&-\frac{1}{x^{2}}\quad \because \text{有理関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( x\right) \quad \because \text{正弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\prime }\)は余弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\\
&=&\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \\
&=&-\sin \left( x\right) \quad \because \text{余弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\sin \left( x\right) \quad \because \text{余弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\prime }\)は正弦関数の定数倍であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\\
&=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left( x\right) \right] \\
&=&-\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \\
&=&-\cos \left( x\right) \quad \because \text{正弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}であるとともに、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)は\(X\)上で微分可能であるため導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\tan \left( x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }\quad \because \text{正接関数の微分} \\
&=&1+\tan ^{2}\left( x\right) \quad \because 1+\tan ^{2}\left( x\right) =\frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\prime }\)は\(X\)上で微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\\
&=&\frac{d}{dx}\left[ 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] \\
&=&\frac{d}{dx}1+\frac{d}{dx}\tan ^{2}\left( x\right) \\
&=&0+\left. \frac{d}{dx}y^{2}\right\vert _{y=\tan \left( x\right) }\cdot
\frac{d}{dx}\tan \left( x\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 2y\right\vert _{y=\tan \left( x\right) }\cdot \frac{1}{\cos
^{2}\left( x\right) } \\
&=&2\tan \left( x\right) \left[ 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] \\
&=&2\tan \left( x\right) +2\tan ^{3}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
3階の微分係数と導関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)およびその周辺の任意の点において2階微分可能である場合、2階導関数\(f^{\prime \prime }\)は点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f^{\prime \prime }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f^{\prime \prime }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\frac{df^{\prime \prime }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime \prime }\left( a+h\right) -f^{\prime \prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定まりますが、これを\(f\)の点\(a\)における3階微分係数（third order differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }(a),\quad f^{\left( 3\right) }(a),\quad \frac{d^{3}f(a)}{dx^{3}},\quad \frac{d^{3}}{dx^{3}}f(a),\quad \left. \frac{d^{3}f\left( x\right) }{dx^{3}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime \prime \prime }(a)=\frac{df^{\prime \prime }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime \prime }\left( a+h\right) -f^{\prime
\prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして3階微分係数\(f^{\prime \prime \prime }\left(a\right) \)は定義されるということです。3階微分係数\(f^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において3階微分可能（third order differentiable at \(a\)）であると言います。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が3階微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記する場合、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの3階微分係数\(f^{\prime\prime \prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める\(f^{\prime\prime }\)の導関数\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の3階導関数（third order derivative）と呼び、\begin{equation*}f^{\prime \prime \prime }(x),\quad f^{\left( 3\right) }(x),\quad \frac{d^{3}f(x)}{dx^{3}},\quad \frac{d^{3}}{dx^{3}}f(x)
\end{equation*}などで表記します。
\end{equation*}と表されるということです。先に示したように、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)もまた多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime
}\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left( 2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right)
c_{n}x^{n-2}\right) \\
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3}\quad \because \text{多項式関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。先に示したように、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)もまた自然指数関数であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime
}\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}e^{x} \\
&=&e^{x}\quad \because \text{指数関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。先に示したように、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は有理関数であるため\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime
}\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&-\frac{d}{dx}\frac{1}{x^{2}} \\
&=&\frac{2}{x^{3}}\quad \because \text{有理関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。先に示したように、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は正弦関数の定数倍であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime
}\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left( x\right) \right] \\
&=&-\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \\
&=&-\cos \left( x\right) \quad \because \text{正弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。先に示したように、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は余弦関数の定数倍であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime
}\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left( x\right) \right] \\
&=&-\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \\
&=&\sin \left( x\right) \quad \because \text{余弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}であるとともに、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。先に示したように、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =1+\tan ^{2}\left( x\right)
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =2\tan \left( x\right) +2\tan ^{3}\left(
x\right)
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は\(X\)上で微分可能であるため3階導関数\(f^{\prime \prime \prime}:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime
}\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ 2\tan \left( x\right) +2\tan ^{3}\left( x\right) \right] \\
&=&2\cdot \frac{d}{dx}\tan \left( x\right) +2\cdot \frac{d}{dx}\tan
^{3}\left( x\right) \\
&=&2\cdot \frac{d}{dx}\tan \left( x\right) +2\cdot \left. \frac{d}{dy}y^{3}\right\vert _{y=\tan \left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\tan \left(
x\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&2\left[ 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] +2\cdot \left.
2y^{2}\right\vert _{y=\tan \left( x\right) }\cdot \left[ 1+\tan ^{2}\left(
x\right) \right] \\
&=&2\left[ 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] +2\cdot 2\tan ^{2}\left(
x\right) \cdot \left[ 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] \\
&=&2+8\tan ^{2}\left( x\right) +6\tan ^{4}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
n階の微分係数と導関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)およびその周辺の任意の点において\(n-1\)階微分可能である場合、\(n-1\)階導関数\(f^{\left( n-1\right) }\)は点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f^{\left( n-1\right) }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f^{\left( n-1\right) }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\frac{df^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\left( n-1\right) }\left( a+h\right) -f^{\left( n-1\right) }\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}と定まりますが、これを\(f\)の点\(a\)における\(n\)階微分係数（\(n\) th order differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }(a),\quad \frac{d^{n}f(a)}{dx^{n}},\quad \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(a),\quad \left. \frac{d^{n}f\left( x\right) }{dx^{n}}\right\vert
_{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\left( n\right) }(a)=\frac{df^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\left( n-1\right) }\left( a+h\right)
-f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして\(n\)階微分係数\(f^{\left( n\right) }\left( a\right) \)は定義されるということです。\(n\)階微分係数\(f^{\left( n\right) }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能（\(n\) th order differentiable at \(a\)）であると言います。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(n\)階微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記する場合、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの\(n\)階微分係数\(f^{\left( n\right) }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める\(f^{\left(n-1\right) }\)の導関数\begin{equation*}f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の\(n\)階導関数（\(n\) th order derivative）と呼び、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }(x),\quad \frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}},\quad \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)
\end{equation*}などで表記します。
\end{equation*}と表されるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots
+nc_{n}x^{n-1} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&24c_{4}+120c_{5}x+360c_{9}+\cdots
+n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) c_{n}x^{n-4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&e^{x} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\frac{1}{x^{2}} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{2}{x^{3}} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&-\frac{6}{x^{4}} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&-\cos \left( x\right) \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\sin \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\cos \left( x\right) \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\sin \left( x\right) \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}であるとともに、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&1+\tan ^{2}\left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2\tan \left( x\right) +2\tan
^{3}\left( x\right) \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&2+8\tan ^{2}\left( x\right)
+6\tan ^{4}\left( x\right) \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&16\tan \left( x\right) +49\tan
^{3}\left( x\right) +24\tan ^{5}\left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\ \left( =1,2,3,4\right) \)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\ \left( =1,2,3,4\right) \)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\ \left( =1,2,3,4\right) \)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)をそれぞれ求めてください。
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