媒介変数曲線の微分
媒介変数\(t\)が区間\(I\subset \mathbb{R} \)上の値をとり得る状況において、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。媒介変数\(t\)の値が変化すれば、それに応じて2つの変数\(x,y\)の値がともに変化します。では、2つの変数\(x,y\)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。
変数\(y\)の値が変数\(x\)の値に依存する形で定義されている場合には、すなわち、関数\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}が存在する場合には、この関数を変数\(x\)について微分して、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=\frac{df\left( x\right) }{dx}
\end{equation*}を得ることにより、変数\(x\)の変化が変数\(y\)に及ぼす影響を直接分析できます。一方、変数\(x,y\)の値がそれぞれ媒介変数\(t\)の値に依存する形で定義されている場合、すなわち、曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}が与えられている場合、2つの変数\(x,y\)の一方を他方によって表現できるとは限らないため、\(y\)を\(x\)についてそのまま微分できません。このような場合には、媒介変数\(t\)の値の変化がもたらす\(x\)の変化量と\(y\)の変化量の関係として微分\(\frac{dy}{dx}\)を定義する必要があります。具体的には以下の通りです。
曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。加えて、この曲線\(C\)を定義する2つの関数\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}は\(C^{1}\)級であるとともに、定義域の内点\(t_{0}\in I^{i}\)において、\begin{equation*}\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}\not=0
\end{equation*}が成り立つものとします。
以上の条件のもとでは逆関数定理が適用可能であるため、関数\(x\)は点\(t_{0}\)を中心とする何らかの近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right) =\left( t_{0}-\varepsilon
,t_{0}+\varepsilon \right)
\end{equation*}において全単射になります。具体的には、十分小さい半径\(\varepsilon>0\)をとれば、\begin{equation*}x:N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は単射になるため、この関数\(x\)の終集合を値域に制限して、\begin{equation*}x:N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right) \rightarrow x\left( N_{\varepsilon
}\left( t_{0}\right) \right)
\end{equation*}とすることにより\(x\)は全単射になります。すると、その逆関数\begin{equation*}x^{-1}:x\left( N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right) \right) \rightarrow
N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right)
\end{equation*}が存在することを保証できます。逆関数の定義より、点\(\left( t,x\right)\in N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right) \times x\left( N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right) \right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation}x=x\left( t\right) \Leftrightarrow t=x^{-1}\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成立します。さらに、逆関数定理より、逆関数\(x^{-1}\)もまた\(C^{1}\)級であるとともに、導関数\(\frac{dx^{-1}}{dx}:x\left( N_{\varepsilon }\left(t_{0}\right) \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in x\left(N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right) \right) \)に対して、\begin{equation}\frac{dx^{-1}\left( x\right) }{dx}=\frac{1}{\left. \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right\vert _{t=x^{-1}\left( x\right) }} \quad \cdots (3)
\end{equation}を定めます。
\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、点\(\left(t,x\right) \in N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right) \times x\left( N_{\varepsilon }\left( t_{0}\right) \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation}y=y\left( x^{-1}\left( x\right) \right) \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、\(y\)を\(x\)に関する関数として表現できるということです。そこで、この関数を\(x\)について微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{d}{dx}y\left( x^{-1}\left( x\right) \right) \quad
\because \left( 4\right) \\
&=&\left. \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right\vert _{t=x^{-1}\left( x\right)
}\cdot \frac{dx^{-1}\left( x\right) }{dx}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right\vert _{t=x^{-1}\left( x\right)
}\cdot \frac{1}{\left. \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right\vert
_{t=x^{-1}\left( x\right) }}\quad \because \left( 3\right) \\
&=&\frac{dy\left( x^{-1}\left( x\right) \right) }{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx\left( x^{-1}\left( x\right) \right) }{dt}} \\
&=&\frac{dy\left( t\right) }{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx\left( t\right) }{dt}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
\end{equation*}を得ます。
以上の議論を踏まえた上で、曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}が与えられたとき、媒介変数\(t\)に関する関数\(x,y:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がともに\(C^{1}\)級である場合には、\(y\)の\(x\)に関する導関数を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
\end{equation*}と定義します。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)は媒介変数\(t\)に関する関数であり、その定義域は、\begin{equation*}\left\{ t\in I\ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\}
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。それぞれの関数の導関数は、\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt} &=&\frac{d}{dt}\cos \left( t\right) =-\sin \left( t\right) \\
\frac{dy}{dt} &=&\frac{d}{dt}\sin \left( t\right) =\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&=&\frac{\cos \left( t\right) }{-\sin \left( t\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\}
&=&\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ -\sin \left( t\right) \not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ \sin \left( t\right) \not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ \forall z\in \mathbb{Z} :t\not=z\pi \right\}
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{c}
x=p_{1}+tv_{1} \\
y=p_{2}+tv_{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。それぞれの関数の導関数は、\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left( p_{1}+tv_{1}\right) =v_{1} \\
\frac{dy}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left( p_{2}+tv_{2}\right) =v_{2}
\end{eqnarray*}であるため、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&=&\frac{v_{2}}{v_{1}}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)の定義域は、\begin{equation*}\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\} =\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ v_{1}\not=0\right\}
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
x \\
f\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in I\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。媒介変数\(t\)に関する2つの関数\(x,y:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t \\
y\left( t\right) &=&f\left( t\right)
\end{eqnarray*}と定義します。この2つの関数から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}
C &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
f\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\} \quad \because x,y\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
G\left( f\right) =C
\end{equation*}を得ます。以上より、区間上に定義された1変数関数のグラフは平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線であることが明らかになりました。曲線\(C\)すなわち関数\(f\)のグラフ\(G\left( f\right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=t \\
y=f\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}です。それぞれの関数の導関数は、\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt} &=&\frac{d}{dt}t=1 \\
\frac{dy}{dt} &=&\frac{d}{dt}f\left( t\right) =\frac{df\left( t\right) }{dt}
\end{eqnarray*}であるため、\(y\)の\(x\)に関する微分は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&=&\frac{\frac{df\left( t\right) }{dt}}{1} \\
&=&\frac{df\left( t\right) }{dt}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\} &=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ 1\not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。
曲線の接線の傾きの大きさとしての媒介変数曲線の微分
関数\(y=f\left( x\right) \)が点\(x_{0}\)において微分可能である場合、微分係数\(\frac{df\left(x_{0}\right) }{dx}\)の大きさは関数\(f\)のグラフ上の点\(\left(x_{0},f\left( x_{0}\right) \right) \)を通過する接線の傾きの大きさと一致します。媒介変数曲線の微分についても同様です。具体的には以下の通りです。
曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}が与えられているとともに、\(y\)の\(x\)に関する導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\)において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}\not=0
\end{equation*}が成り立つということです。この点\(t_{0}\)に対応する曲線上の点の位置ベクトルを、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t_{0}\right) \\
y\left( t_{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}で表記するのであれば、微分係数\(\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}\)の大きさは、曲線\(C\)上に存在する点\(\left(x_{0},y_{0}\right) \)を通過する接線の傾きの大きさと一致します。
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。先に示したように、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{equation}\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos \left( t\right) }{\sin \left( t\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(t=\frac{\pi }{2}\)に対応する円上の点の座標は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) \\
\sin \left( \frac{\pi }{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、単位円上の点\(\left( 0,1\right) \)における接線は水平であり、したがってその傾きの大きさは\(0\)です。同じことを先の命題から導くと、点\(\left( 0,1\right) \)における接線の傾きの大きさは、\begin{eqnarray*}\frac{dy\left( \frac{\pi }{2}\right) }{dx} &=&-\frac{\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) }{\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) }\quad \because \left(
1\right) \\
&=&-\frac{0}{1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、先と同じ結果が得られました。
\begin{array}{c}
x=p_{1}+tv_{1} \\
y=p_{2}+tv_{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。先に示したように、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{equation}\frac{dy}{dx}=\frac{v_{2}}{v_{1}} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。点\(t_{0}\)を任意に選んだとき、それに対応する直線上の点の座標は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
p_{1}+t_{0}v_{1} \\
p_{2}+t_{0}v_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、方向ベクトルが\(\left( v_{1},v_{2}\right) \)であるような直線の傾きの大きさは\(\frac{v_{2}}{v_{1}}\)であるため、点\(\left( p_{1}+t_{0}v_{1},p_{2}+t_{0}v_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさもまた\(\frac{v_{2}}{v_{1}}\)です。同じことを先の命題から導くと、点\(\left( p_{1}+t_{0}v_{1},p_{2}+t_{0}v_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさは、\begin{equation*}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}=\frac{v_{2}}{v_{1}}\quad \because \left(
1\right)
\end{equation*}となるため、先と同じ結果が得られました。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
f\left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。先に示したように、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{equation}\frac{dy}{dx}=\frac{df\left( t\right) }{dt} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。点\(t_{0}\)を任意に選んだとき、それに対応する直線上の点の座標は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
t_{0} \\
f\left( t_{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、微分可能な関数\(f\)のグラフの点\(\left(t_{0},f\left( t_{0}\right) \right) \)における接線の傾きの大きさは\(\frac{df\left( t_{0}\right) }{dt}\)です。同じことを先の命題から導くと、点\(\left( t_{0},f\left( t_{0}\right)\right) \)における接線の傾きの大きさは、\begin{equation*}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}=\frac{df\left( t_{0}\right) }{dt}\quad
\because \left( 1\right)
\end{equation*}となるため、先と同じ結果が得られました。
曲線の接線が水平ないし垂直である点を特定する方法
曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}が与えられているとともに、\(y\)の\(x\)に関する導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\)において定義されている場合、微分係数\begin{equation*}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}=\frac{\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}}{\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}}
\end{equation*}の大きさは、曲線\(C\)上に存在する点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)を通過する接線の傾きの大きさと一致します。ただし、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t_{0}\right) \\
y\left( t_{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。
ただし、曲線\(C\)が円である場合など、曲線上の点を通過する接線が水平ないし垂直であるような状況は起こり得るとともに、そのような点において接線の傾きの大きさはゼロや無限大になります。その一方で、導関数\(\frac{dy}{dx}\)は\(\frac{dx\left( t\right) }{dt}\not=0\)を満たす点\(t\)においてのみ定義されているため、導関数\(\frac{dy}{dx}\)を観察しただけでは、曲線上のどの点において接線が水平ないし垂直になるか判定できません。以下の方針のもとで判定する必要があります。
点\(t_{0}\)において、\begin{equation*}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}=0\wedge \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、導関数\(\frac{dy}{dx}\)は点\(t_{0}\)において定義可能であるとともに、\begin{equation*}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}=\frac{\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}}{\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}}=0
\end{equation*}となるため、曲線\(C\)上に存在する点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)を通過する接線は水平になります。
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。これは原点を中心とする半径\(1\)の円です。\(t=\frac{\pi }{2}\)に対応する円上の点の座標は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) \\
\sin \left( \frac{\pi }{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。その一方で、\begin{eqnarray*}
\frac{dx\left( \frac{\pi }{2}\right) }{dt} &=&\frac{d\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) }{dt}=-\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) =-1 \\
\frac{dy\left( \frac{\pi }{2}\right) }{dt} &=&\frac{d\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) }{dt}=\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) =0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\frac{dy\left( \frac{\pi }{2}\right) }{dx}=0
\end{equation*}であり、したがって円上の点\(\left( 0,1\right) \)を通過する接線は水平です。
点\(t_{0}\)において、\begin{equation*}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}\not=0\wedge \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}=0
\end{equation*}が成り立つ場合、導関数\(\frac{dy}{dx}\)は点\(t_{0}\)において定義不可能です。その一方で、\begin{equation*}\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}}{\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}}=+\infty
\end{equation*}となるため、曲線\(C\)上に存在する点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)を通過する接線は垂直になります。
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。これは原点を中心とする半径\(1\)の円です。\(t=0\)に対応する円上の点の座標は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}です。その一方で、\begin{eqnarray*}
\frac{dx\left( 0\right) }{dt} &=&\frac{d\cos \left( 0\right) }{dt}=-\sin
\left( 0\right) =0 \\
\frac{dy\left( 0\right) }{dt} &=&\frac{d\sin \left( 0\right) }{dt}=\cos
\left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}であるため、円上の点\(\left( 1,0\right) \)を通過する接線は垂直です。
点\(t_{0}\)において、\begin{equation*}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}=0\wedge \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}=0
\end{equation*}が成り立つ場合、導関数\(\frac{dy}{dx}\)は点\(t_{0}\)において定義不可能です。その上で、極限\begin{equation*}\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}}{\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}}
\end{equation*}を具体的に評価した上で、曲線\(C\)上に存在する点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)を通過する接線の傾きを判定することになります。多くの場合、不定形の極限を扱うことになるため、ロピタルの定理などが有用です。
演習問題
\begin{array}{c}
x=t^{3} \\
y=t^{2}-t\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\frac{dy}{dx}\)を求めてください。その上で、点\(t=0\)に対応する曲線\(C\)上の点の座標を特定するとともに、その点における曲線の接線の傾きを求めてください。
\begin{array}{c}
x=t^{3}-t \\
y=4-t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\frac{dy}{dx}\)を求めてください。その上で、点\(t=0\)に対応する曲線\(C\)上の点の座標を特定するとともに、その点における曲線の接線の傾きを求めてください。また、点\(t=\sqrt{\frac{1}{3}}\)に対応する曲線\(C\)上の点の座標を特定するとともに、その点における曲線の接線の傾きを求めてください。
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