楕円と楕円弧の微分

楕円の微分

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する楕円の中心が\(\left( h,k\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)であり、\(x\)軸に沿った半径が\(a>0\)であり、\(y\)軸に沿った半径が\(b>0\)である場合、楕円の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。

楕円上の点の\(x\)座標を特定する関数\(x:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dx}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left( h+a\cos \left( t\right) \right) \\
&=&0+a\left[ -\sin \left( t\right) \right] \\
&=&-a\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}となります。

円上の点の\(y\)座標を特定する関数\(y:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left( k+b\sin \left( t\right) \right) \\
&=&0+b\cos \left( t\right) \\
&=&b\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。

以上より、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&=&\frac{b\cos \left( t\right) }{-a\sin \left( t\right) } \\
&=&-\frac{b}{a}\frac{\cos \left( t\right) }{\sin \left( t\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)は媒介変数\(t\)に関する関数であり、その定義域は、\begin{eqnarray*}\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\}
&=&\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ -a\sin \left( t\right)
\not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ \sin \left( t\right)
\not=0\right\} \\
&=&\left[ 0,2\pi \right] \backslash \left\{ 0,\pi ,2\pi \right\} \\
&=&\left( 0,\pi \right) \cup \left( \pi ,2\pi \right)
\end{eqnarray*}です。

楕円の接線の傾きの大きさ

楕円の媒介変数表示\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。\(y\)の\(x\)に関する導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\in \left[ 0,2\pi \right] \)において定義されている場合には、すなわち、\begin{equation*}t_{0}\in \left( 0,\pi \right) \cup \left( \pi ,2\pi \right)
\end{equation*}である場合には、微分係数\begin{equation*}
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}=-\frac{b}{a}\frac{\cos \left( t\right) }{\sin \left( t\right) }
\end{equation*}の大きさは、楕円上に存在する点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)を通過する接線の傾きの大きさと一致します。ただし、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t_{0}\right) \\
k+b\sin \left( t_{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。

一方、導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\in \left[ 0,2\pi \right] \)において定義されていない場合には、すなわち、\begin{equation*}t_{0}\in \left\{ 0,\pi ,2\pi \right\}
\end{equation*}である場合には、微分係数\(\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}\)はそもそも定義されていないため、微分係数の値から楕円上の点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)における接線の傾きの大きさを特定できません。以下の方針のもとで判定する必要があります。

媒介変数の値が\(t_{0}=0,2\pi \)である場合には、\begin{eqnarray*}\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt} &=&-a\sin \left( t_{0}\right) =0 \\
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt} &=&b\cos \left( t_{0}\right) =b
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{dy\left( t\right) }{dx}=\lim_{t\rightarrow
t_{0}}\frac{\frac{dy\left( t\right) }{dt}}{\frac{dx\left( t\right) }{dt}}=\frac{b}{0}=+\infty
\end{equation*}となります。したがって、楕円上に存在する点\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t_{0}\right) \\
k+b\sin \left( t_{0}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a \\
k\end{array}\right)
\end{equation*}における接線は垂直な直線です。

媒介変数の値が\(t_{0}=\pi \)である場合には、\begin{eqnarray*}\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt} &=&-a\sin \left( t_{0}\right) =0 \\
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt} &=&b\cos \left( t_{0}\right) =-b
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{dy\left( t\right) }{dx}=\lim_{t\rightarrow
t_{0}}\frac{\frac{dy\left( t\right) }{dt}}{\frac{dx\left( t\right) }{dt}}=\frac{-b}{0}=-\infty
\end{equation*}となります。したがって、楕円上に存在する点\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t_{0}\right) \\
k+b\sin \left( t_{0}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h-a \\
k\end{array}\right)
\end{equation*}における接線は垂直な直線です。

楕円弧の微分

楕円上の弧、すなわち楕円弧の媒介変数表示は、\begin{equation*}
0\leq t_{0}<t_{1}\leq 2\pi
\end{equation*}を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。

先と同様に考えることにより、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&=&\frac{b\cos \left( t\right) }{-a\sin \left( t\right) } \\
&=&-\frac{b}{a}\frac{\cos \left( t\right) }{\sin \left( t\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)は媒介変数\(t\)に関する関数であり、その定義域は、\begin{eqnarray*}\left\{ t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\}
&=&\left\{ t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \ |\ -a\sin \left( t\right)
\not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \ |\ \sin \left( t\right)
\not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \ |\ \forall z\in \mathbb{Z} :t\not=z\pi \right\} \\
&=&\left[ t_{0},t_{1}\right] \backslash \left\{ 0,\pi ,2\pi \right\}
\end{eqnarray*}です。

楕円弧上に存在する点の接線の傾き大きさについては楕円の場合と同様に考えます。

演習問題