関数の和の微分（和の法則）

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるならば、関数\(f+g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}(f+g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) +g^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるならば、先の命題より関数\(f+g\)もまた定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であり、導関数\(\left( f+g\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) ^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right)
+g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}+3
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数の定数倍\(-\frac{x}{2}\)と定数関数\(3\)の和として定義されているため、先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( -\frac{x}{2}+3\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left( -\frac{x}{2}\right) +\frac{d}{dx}3\quad \because \text{和の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}3\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1+0\quad \because \text{恒等関数および定数関数の微分} \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において右側微分可能であるならば、関数\(f+g\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}(f+g)^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) +g^{\prime
   }\left( a+0\right)
   \end{equation*}を満たす。
2. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において左側微分可能であるならば、関数\(f+g\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}(f+g)^{\prime }\left( a-0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) +g^{\prime
   }\left( a-0\right)
   \end{equation*}を満たす。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに定義域\(X\)上の任意の点において右側微分可能であるならば、先の命題より関数\(f+g\)もまた定義域\(X\)上の任意の点において右側微分可能であり、右側導関数\(\left( f+g\right)_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) _{+}^{\prime }\left( x\right) =f_{+}^{\prime }\left(
x\right) +g_{+}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。また、\(f,g\)がともに定義域\(X\)上の任意の点において左側微分可能であるならば、先の命題より関数\(f+g\)もまた定義域\(X\)上の任意の点において左側微分可能であり、左側導関数\(\left( f+g\right)_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) _{-}^{\prime }\left( x\right) =f_{-}^{\prime }\left(
x\right) +g_{-}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\frac{3}{2}x+\pi & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =-\frac{3}{2}x+\pi \)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}\left( -\frac{3}{2}x+\pi
\right) \right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( -\frac{3}{2}x\right) \right\vert _{x=a}+\left.
\frac{d}{dx}\pi \right\vert _{x=a}\quad \because \text{和の法則} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot \left. \frac{d}{dx}x\right\vert _{x=a}+\left. \frac{d}{dx}\pi \right\vert _{x=a}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot \left. 1\right\vert _{x=a}+\left. 0\right\vert
_{x=a}\quad \because \text{恒等関数および定数関数の微分} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot 1+0 \\
&=&-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以下の周辺の任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =-\frac{3}{2}x+\pi \)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\left. \frac{d^{-}}{dx}\left( -\frac{3}{2}x+\pi \right) \right\vert _{x=0}\quad \\
&=&\left. \frac{d^{-}}{dx}\left( -\frac{3}{2}x\right) \right\vert
_{x=0}+\left. \frac{d^{-}}{dx}\pi \right\vert _{x=0}\quad \because \text{和の法則} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot \left. \frac{d^{-}}{dx}x\right\vert _{x=0}+\left. \frac{d^{-}}{dx}\pi \right\vert _{x=0}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot \left. 1\right\vert _{x=0}+\left. 0\right\vert
_{x=0}\quad \because \text{恒等関数・定数関数の左側微分} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot 1+0 \\
&=&-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以上の周辺の点\(x\)については、\(x\)の値に応じて\(f\left(x\right) \)の形状は変化するため、定義にもとづいて右側微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) -\pi }{h}\quad \because h<0
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( \frac{h-\pi }{h}\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( 1-\frac{\pi }{h}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、ゆえに微分可能でもありません。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}x\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. 1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\frac{3}{2} & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
3x+1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
5x-2 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(f,g\)がともに点\(a\)において微分可能でない場合、\(f+g\)もまた点\(a\)において微分可能ではないと言えるでしょうか。