微分可能な関数の和

微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた微分可能です。
微分可能性 和

微分可能な関数の和

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるとき、関数\(f+g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、それらの微分係数の間には、\begin{equation*}
(f+g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) +g^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

関数\(f,g\)がともに定義域の内点\(a\)において微分可能であるとします。つまり、\begin{eqnarray}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in
\mathbb{R} \quad\cdots (1) \\
g^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left( a+h\right)
-g\left( a\right) }{h}\in
\mathbb{R} \quad\cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つということです。以上を踏まえると、関数\(f+g\)について、\begin{align*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(f+g)(a+h)-(f+g)(a)}{h}&
=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{[f(a+h)+g(a+h)]-[f(a)+g(a)]}{h}\quad
\because f+g\text{の定義} \\
& =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{f\left( a+h\right) -f\left(
a\right) }{h}-\frac{g\left( a+h\right) -g\left( a\right) }{h}\right] \\
& =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g\left( a+h\right) -g\left( a\right) }{h}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
& =f^{\prime }\left( a\right) -g^{\prime }\left( a\right) \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{align*}となるため、関数\(f+g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
(f+g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) +g^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たすことが明らかになりました。

命題(微分可能な関数の和)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるならば、\(f+g\)もまた\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
(f+g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) +g^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
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つまり、点\(a\)において微分可能な2つの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、\(a\)における\(f\)の微分係数と\(g\)の微分係数を足せば、\(a\)における\(f+g\)の微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の微分可能性を検討する際には、微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらがそれぞれ微分可能であることを確認すればよいということになります。

例(微分可能な関数の和)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}+2x
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において微分可能であるか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&x^{2} \\
h\left( x\right) &=&2x
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) +h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g,h\)がともに\(a\)において微分可能であるならば、先の命題より、\(f\)もまた\(a\)において微分可能であることが保証され、なおかつ、そこでの微分係数が明らかになります。実際、\(g,h\)はともに\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}
g^{\prime }\left( a\right) &=&2a \\
h^{\prime }\left( a\right) &=&2
\end{eqnarray*}が成り立つため(確認してください)、先の命題より、\(f\)もまた\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&g^{\prime }\left( a\right) +h^{\prime }\left(
a\right) \\
&=&2a+2
\end{eqnarray*}となります。

 

片側微分可能な関数の和

片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。具体的には、定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)と\(g\)はともに\(a\)に十分近い\(a\)以上の任意の点において定義されているものとします。その上で、\(f\)と\(g\)がともに\(a\)において右側微分可能であるならば、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}
(f+g)^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) +g^{\prime
}\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たします。証明は先ほどの命題と同様です(演習問題にします)。

左側微分可能性についても同様の関係が成り立ちます。つまり、関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\)に十分近い\(a\)以下の任意の点において定義されているとともに\(a\)において左側微分可能である場合、関数\(f+g\)もまた左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}
(f+g)^{\prime }\left( a-0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) +g^{\prime
}\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たします。

命題(片側微分可能な関数の和)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば、\(f+g\)もまた\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}
(f+g)^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) +g^{\prime
}\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)と\(g\)がともに\(a\)において左側微分可能であるならば、\(f+g\)もまた\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}
(f+g)^{\prime }\left( a-0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) +g^{\prime
}\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たす。
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例(片側微分可能な関数の和)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-\frac{3}{2}x^{2}+\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が定義域の境界である点\(0\)において右側微分可能であるか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&-\frac{3}{2}x^{2} \\
h\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) +h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g,h\)がともに\(0\)において右側微分可能であるならば、先の命題より、\(f\)もまた\(0\)において右側微分可能であることが保証され、なおかつ、そこでの右側微分係数が明らかになります。実際、\(g,h\)はともに\(0\)において右側微分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}
g^{\prime }\left( 0+0\right) &=&0 \\
h^{\prime }\left( 0+0\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため(確認してください)、先の命題より、\(f\)もまた\(0\)において右側微分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&g^{\prime }\left( 0+0\right) +h^{\prime
}\left( 0+0\right) \\
&=&0+0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

微分可能な関数の和の微分

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域\(X\)の点の中でも\(f\)と\(g\)がともに微分可能であるような点からなる\(X\)の部分集合を\(Y\)で表記します。ただし、ここでの微分可能性とは、\(X\)の内点に関しては通常の意味での微分可能性を意味し、境界点に関しては右側微分可能性もしくは左側微分可能性を意味します。このとき、\(f\)の導関数\(f^{\prime }:Y\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g\)の導関数\(g^{\prime }:Y\rightarrow \mathbb{R} \)を構成することができます。すると、先に示した諸命題より、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(Y\)上で微分可能であり、その導関数\(\left( f+g\right) ^{\prime }:Y\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in Y\)に対して、\begin{equation*}
\left( f+g\right) ^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right)
+g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、関数\(f+g\)の導関数は関数\(f\)の導関数と関数\(g\)の導関数の和として得られるということです。

命題(微分可能な関数の和の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)それぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに集合\(Y\subset X\)上で微分可能であるならば、\(f+g\)もまた\(Y\)上で微分可能であり、その導関数\(\left( f+g\right) ^{\prime }:Y\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in Y\)に対して、\begin{equation*}
\left( f+g\right) ^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right)
+g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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例(微分可能な関数の和の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x^{3}+2x^{2}+x
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。この関数\(f\)の導関数を求めようとしている状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&3x^{3} \\
h\left( x\right) &=&2x^{2} \\
i\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h,i:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) +h\left( x\right) +i\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g,h,i\)がいずれも\(Y\subset \mathbb{R} \)上で微分可能であるならば、先の命題より、\(f\)もまた\(Y\)上で微分可能であることが保証され、なおかつ、その導関数が明らかになります。実際、\(g,h,i\)はいずれも\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるとともに、それらの導関数\(g^{\prime },h^{\prime },i^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g^{\prime }\left( x\right) &=&9x^{2} \\
h^{\prime }\left( x\right) &=&4x \\
i^{\prime }\left( x\right) &=&1
\end{eqnarray*}を定めます。したがって、先の命題より、\(f\)もまた\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるとともに、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&g^{\prime }\left( x\right) +h^{\prime }\left(
x\right) +i^{\prime }\left( x\right) \\
&=&9x^{2}+4x+1
\end{eqnarray*}を定めます。

次回は微分可能な関数どうしの差として定義される関数の微分可能性について解説します。

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