関数の和の微分

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}(f+g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) +g^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}+3
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。また、\(f\)は恒等関数の定数倍\(-\frac{x}{2}\)と定数関数\(3\)の和として定義されています。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( -\frac{x}{2}+3\right) ^{\prime }\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left( -\frac{x}{2}\right) ^{\prime }+\left( 3\right) ^{\prime }\quad
\because \text{微分可能な関数の和} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( x\right) ^{\prime }+\left( 3\right) ^{\prime }\quad
\because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1+0\quad \because \text{恒等関数および定数関数の微分} \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はともに微分可能であるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。すると先の命題より\(f,g\)はともに微分可能であり、導関数\(\left( f+g\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) ^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right)
+g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された微分可能な関数の和として定義される関数もまた\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}(f+g)^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) +g^{\prime
}\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)と\(g \)がともに点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}(f+g)^{\prime }\left( a-0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) +g^{\prime
}\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たす。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\frac{3}{2}x+\pi & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =-\frac{3}{2}x+\pi \)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( -\frac{3}{2}x+\pi \right)
^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left. \left( -\frac{3}{2}x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}+\left.
\left( \pi \right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because \text{微分可能な関数の和} \\
&=&-\frac{3}{2}\left[ \left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\right] +\left. \left( \pi \right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad
\because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{3}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=a}\right] +\left. 0\right\vert
_{x=a}\quad \because \text{恒等関数および定数関数の微分} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot 1+0 \\
&=&-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以下の周辺の任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =-\frac{3}{2}x+\pi \)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\left. \left( -\frac{3}{2}x+\pi \right)
_{-}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \\
&=&\left. \left( -\frac{3}{2}x\right) _{-}^{\prime }\right\vert
_{x=0}+\left. \left( \pi \right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad
\because \text{左側微分可能な関数の和} \\
&=&-\frac{3}{2}\left[ \left. \left( x\right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=0}\right] +\left. \left( \pi \right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad
\because \text{左側微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{3}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=a}\right] +\left. 0\right\vert
_{x=a}\quad \because \text{恒等関数・定数関数の左側微分} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot 1+0 \\
&=&-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以上の周辺の点\(x\)については、\(x\)の値に応じて\(f\left(x\right) \)の形状は変化するため、定義にもとづいて右側微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) -\pi }{h}\quad \because h<0
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( \frac{h-\pi }{h}\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( 1-\frac{\pi }{h}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、ゆえに微分可能でもありません。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert
_{x=a} \\
&=&\left. 1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\frac{3}{2} & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
3x+1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
5x-2 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(f,g\)がともに点\(a\)において微分可能でない場合、\(f+g\)もまた点\(a\)において微分可能ではないと言えるでしょうか。