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1変数関数の微分

関数の差の微分(差の法則)

目次

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微分可能な関数の差の微分

定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f,g\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\(f,g\)がともに点\(a\)において微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) -g^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}が成立します。

したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)の微分可能性を検討する際には、関数の関数の微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、両者が微分可能であることを確認すればよいということになります。さらに、関数\(f,g\)がともに微分可能である場合、\(f\)の微分係数と\(g\)の微分係数の差をとれば\(f-g\)の微分係数が得られます。

命題(微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるならば、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) -g^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(微分可能な関数の差の導関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるならば、先の命題より関数\(f-g\)もまた定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であり、導関数\(\left( f-g\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right)
-g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

例(微分可能な関数の差の導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}-3
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数の定数倍\(-\frac{x}{2}\)と定数関数\(3\)の差として定義されているため、先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( -\frac{x}{2}-3\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left( -\frac{x}{2}\right) -\frac{d}{dx}3\quad \because \text{差の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}x-\frac{d}{dx}3\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1-0\quad \because \text{恒等関数および定数関数の微分} \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

片側微分可能な関数の差の片側微分

片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

右側微分をとるために、以下の条件\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X
\end{equation*}を満たす定義域上の点\(a\in X\)を選びます。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において右側微分可能ならば、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において右側微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の右側微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) -g^{\prime
}\left( a+0\right)
\end{equation*}が成立します。

左側微分をとるために、以下の条件\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X
\end{equation*}を満たす定義域上の点\(a\in X\)を選びます。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において左側微分可能ならば、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において左側微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の左側微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a-0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) -g^{\prime
}\left( a-0\right)
\end{equation*}が成立します。

命題(片側微分可能な関数の差の片側微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。

  1. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において右側微分可能であるならば、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) -g^{\prime
    }\left( a+0\right)
    \end{equation*}を満たす。
  2. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において左側微分可能であるならば、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a-0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) -g^{\prime
    }\left( a-0\right)
    \end{equation*}を満たす。
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例(片側微分可能な関数の差の片側導関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに定義域\(X\)上の任意の点において右側微分可能であるならば、先の命題より関数\(f-g\)もまた定義域\(X\)上の任意の点において右側微分可能であり、右側導関数\(\left( f-g\right)_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) _{+}^{\prime }\left( x\right) =f_{+}^{\prime }\left(
x\right) -g_{+}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。また、\(f,g\)がともに定義域\(X\)上の任意の点において左側微分可能であるならば、先の命題より関数\(f-g\)もまた定義域\(X\)上の任意の点において左側微分可能であり、左側導関数\(\left( f-g\right)_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) _{-}^{\prime }\left( x\right) =f_{-}^{\prime }\left(
x\right) -g_{-}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

例(片側微分可能な関数の差の導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\frac{3}{2}x-\pi & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =-\frac{3}{2}x-\pi \)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}\left( -\frac{3}{2}x-\pi
\right) \right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( -\frac{3}{2}x\right) \right\vert _{x=a}-\left.
\frac{d}{dx}\pi \right\vert _{x=a}\quad \because \text{差の法則} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot \left. \frac{d}{dx}x\right\vert _{x=a}-\left. \frac{d}{dx}\pi \right\vert _{x=a}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot \left. 1\right\vert _{x=a}-\left. 0\right\vert
_{x=a}\quad \because \text{恒等関数および定数関数の微分} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot 1-0 \\
&=&-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以下の周辺の任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =-\frac{3}{2}x-\pi \)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\left. \frac{d^{-}}{dx}\left( -\frac{3}{2}x-\pi \right) \right\vert _{x=0}\quad f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d^{-}}{dx}\left( -\frac{3}{2}x\right) \right\vert
_{x=0}-\left. \frac{d^{-}}{dx}\pi \right\vert _{x=0}\quad \because \text{差の法則} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot \left. \frac{d^{-}}{dx}x\right\vert _{x=0}-\left. \frac{d^{-}}{dx}\pi \right\vert _{x=0}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot \left. 1\right\vert _{x=0}-\left. 0\right\vert
_{x=0}\quad \because \text{恒等関数・定数関数の左側微分} \\
&=&-\frac{3}{2}\cdot 1-0 \\
&=&-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以上の周辺の点\(x\)については、\(x\)の値に応じて\(f\left(x\right) \)の形状は変化するため、定義にもとづいて右側微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) -\pi }{h}\quad \because h<0
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( \frac{h-\pi }{h}\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( 1-\frac{\pi }{h}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、ゆえに微分可能でもありません。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}x\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. 1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\frac{3}{2} & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(関数の差の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
3x-1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2-5x & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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