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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

関数の差の微分

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微分可能な関数の差

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f,g\)が点\(a\)において微分可能であるか否かを検討できます。仮に\(f,g\)がともに点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \\
g^{\prime }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在します。この場合、\(f-g\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) -g^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。

命題(微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) -g^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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つまり、点\(a\)において微分可能な2つの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f\)の微分係数から\(g\)の微分係数を引けば点\(a\)における\(f-g\)の微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)の微分可能性を検討する際には、微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらがそれぞれ微分可能であることを確認すればよいということになります。

例(微分可能な関数の差)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1-\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能でしょうか。\(f\)は定数関数\(1\)と恒等関数の定数倍\(\frac{x}{2}\)の差として定義されていますが、関数\(1\)に関しては、\begin{eqnarray*}\left. \left( 1\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a} &=&\left. 0\right\vert
_{x=a}\quad \because \text{定数関数の微分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left. \left( 1\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、関数\(\frac{x}{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\left. \left( \frac{x}{2}\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a} &=&\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\right] \quad
\because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=a}\right] \quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left. \left( \frac{x}{2}\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}=\frac{1}{2}
\quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、先の命題より\(f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( 1-\frac{x}{2}\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( 1\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}-\left. \left( \frac{x}{2}\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because \text{微分可能な関数の差} \\
&=&0-\frac{1}{2}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

片側微分可能な関数の差

片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) -g^{\prime
}\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)と\(g\)がともに点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}(f-g)^{\prime }\left( a-0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) -g^{\prime
}\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(片側微分可能な関数の差)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\pi -\frac{3}{2}x & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(\pi -\frac{3}{2}x\)は定数関数\(\pi \)と恒等関数の定数倍\(\frac{3}{2}x\)の差であることに注意してください。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =\pi -\frac{3}{2}x\)であるため、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \pi -\frac{3}{2}x\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \left( \pi \right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}-\left. \left(
\frac{3}{2}x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because \text{微分可能な関数の差} \\
&=&\left. \left( \pi \right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}-\frac{3}{2}\left[
\left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\right] \quad \because
\text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&\left. 0\right\vert _{x=a}-\frac{3}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=a}\right] \quad \because \text{恒等関数・定数関数の微分} \\
&=&0-\frac{3}{2}\cdot 1 \\
&=&-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以下の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =\pi -\frac{3}{2}x\)であるため、そこでの左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\left. \left( \pi -\frac{3}{2}x\right)
_{-}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \\
&=&\left. \left( \pi \right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=0}-\left. \left(
\frac{3}{2}x\right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \because \text{左側微分可能な関数の差} \\
&=&\left. \left( \pi \right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=0}-\frac{3}{2}\left[ \left. \left( x\right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=a}\right] \quad
\because \text{左側微分可能な関数の定数倍} \\
&=&\left. 0\right\vert _{x=a}-\frac{3}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=a}\right] \quad \because \text{恒等関数・定数関数の左側微分} \\
&=&0-\frac{3}{2}\cdot 1 \\
&=&-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以上の点\(x\)に関しては\(x\)の値によって\(f\left( x\right) \)の形状が変わるため定義に戻って右側微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{0+h-\pi }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( 1-\frac{\pi }{h}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、微分可能でもありません。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert
_{x=a} \\
&=&\left. 1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\frac{3}{2} & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

微分可能な関数の差の微分

以上の2つの命題より、微分可能な関数の差として定義される関数は微分可能であることが明らかになりました。

命題(微分可能な関数の差の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)それぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに微分可能であるならば\(f-g\)もまた微分可能であり、その導関数\(\left( f-g\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right)
-g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定める。

例(微分可能な関数の差の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はともに微分可能であるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f,g\)はともに点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、上の命題より、関数\(f-g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)もまた点\(a\)において微分可能であり、\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right)
-g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となります。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様の議論が成り立つため、\(f-g\)の導関数\(\left( f-g\right) ^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right)
-g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された微分可能な関数の差として定義される関数もまた\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。

 

演習問題

問題(関数の差の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
3x-1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2-5x & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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次回は微分可能な関数どうしの積として定義される関数の微分可能性について解説します。

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