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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

自然対数関数の高階微分とテイラー展開(マクローリン展開)

目次

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自然対数関数の高階微分

自然対数関数は正の実数集合上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。自然対数関数は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めます。これは有理関数であるため微分可能であり、2階の導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めます。同様の議論を繰り返すことにより以下を得ます。

命題(自然対数関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は\(C^{\infty }\)級であり、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(f\)の\(n\)階の導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =\left( -1\right) ^{n-1}\frac{\left(
n-1\right) !}{x^{n}}
\end{equation*}を定める。

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自然対数関数に関するテイラーの定理

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は無限区間\(\mathbb{R} _{++}\)上に定義された\(C^{\infty }\)級の関数であり、\(n\)階の導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =\left( -1\right) ^{n-1}\frac{\left(
n-1\right) !}{x^{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f\)はテイラーの定理が要求する条件を満たしているため、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)とそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
a+\theta \left( x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}という関係を満たす実数\(\theta \in \left( 0,1\right) \)が存在することが保証されます。ただし、\(P_{n-1,a}\left(x\right) \)は\(f\)の点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式であり、\begin{eqnarray*}P_{n-1,a}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \quad \because
\text{テイラー近似多項式の定義} \\
&=&f\left( a\right) +\sum_{k=1}^{n-1}\left[ \frac{f^{\left( k\right) }\left(
a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \\
&=&\ln \left( a\right) +\sum_{k=1}^{n-1}\left[ \frac{1}{k!}\cdot \left(
-1\right) ^{k-1}\frac{\left( k-1\right) !}{a^{k}}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \quad \because \left( 1\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( a\right) +\sum_{k=1}^{n-1}\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k}\cdot \frac{\left( x-a\right) ^{k}}{a^{k}}\right] \\
&=&\ln \left( a\right) +\frac{x-a}{a}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\left(
x-a\right) ^{2}}{a^{2}}+\cdots +\frac{\left( -1\right) ^{n-2}}{n-1}\cdot
\frac{\left( x-a\right) ^{n-1}}{a^{n-1}}
\end{eqnarray*}となります。また、点\(a\)における\(n\)次のラグランジュ剰余項は、\begin{equation*}\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left( x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}=\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n}\cdot \frac{\left(
x-a\right) ^{n}}{\left[ a+\theta \left( x-a\right) \right] ^{n}}\quad
\because \left( 1\right)
\end{equation*}となります。得られた結果を命題としてまとめます。

命題(自然対数関数に関するテイラーの定理)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)とそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( a\right) +\sum_{k=1}^{n-1}\left[ \frac{\left(
-1\right) ^{k-1}}{k}\cdot \frac{\left( x-a\right) ^{k}}{a^{k}}\right] +\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n}\cdot \frac{\left( x-a\right) ^{n}}{\left[
a+\theta \left( x-a\right) \right] ^{n}}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。

点\(0\)は自然対数関数\(\ln\left( x\right) \)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)の内点ではないため、自然対数関数にマクローリンの定理を適用できません。そこで、それぞれの\(x\in \left( -1,+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x+1\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)と多項式関数\(x+1\)の合成関数であるため\(C^{\infty }\)級であり、しかも点\(0\)は定義域である無限区間\(\left( -1,+\infty \right) \)の内点であることからマクローリンの定理を適用できます。すると以下のような綺麗な結果が得られます。

命題(自然対数関数に関するマクローリンの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(x\in \left( -1,+\infty \right) \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sum_{k=1}^{n-1}\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k}\cdot x^{k}\right] +\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n}\cdot \frac{x^{n}}{\left( 1+\theta x\right) ^{n}} \\
&=&x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots +\frac{\left(
-1\right) ^{n-1}}{n}\cdot \frac{x^{n}}{\left( 1+\theta x\right) ^{n}}
\end{eqnarray*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。
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自然対数関数に関するテイラー展開

繰り返しになりますが、それぞれの\(x\in \left(-1,+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x+1\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)にはマクローリンの定理が適用可能であり、具体的には、点\(x\in \left( -1,+\infty \right) \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots +\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n}\cdot \frac{x^{n}}{\left( 1+\theta x\right)
^{n}}
\end{equation*}を満たす\(\theta \in \left( 0,1\right) \)が存在することが保証されます。ここで、\(x\)がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}-1<x<1
\end{equation*}に限定した場合、\(f\)はマクローリン展開可能であることが保証されます。

命題(自然対数関数に関するマクローリン展開)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(x\in \left( -1,1\right) \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sum_{k=1}^{\infty }\left[ \left( -1\right) ^{k-1}\cdot
\frac{x^{k}}{k}\right] \\
&=&x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots
\end{eqnarray*}という関係が成り立つ。

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