自然対数関数の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）

自然対数関数の高階微分

自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)は正の実数集合\(\mathbb{R} _{++}\)上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。

自然対数関数\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\ln \left( x\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{x}\quad \because \text{自然対数関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

導関数\(f^{\prime }\)は有理関数であるため微分可能であり、2階の導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\quad \because f^{\prime \prime }\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f^{\prime }\left(
x\right) =\frac{1}{x} \\
&=&-\frac{1}{x^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

2階の導関数\(f^{\prime \prime }\)は有理関数であるため微分可能であり、3階の導関数\(f^{\left( 3\right) }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( 3\right) }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime }\left(
x\right) \quad \because f^{\left( 3\right) }\text{の定義}
\\
&=&\frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because f^{\prime
\prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}} \\
&=&-\frac{2}{x^{3}}
\end{eqnarray*}を定めます。

同様の議論を繰り返すことにより以下を得ます。

自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)は点\(0\)において定義されないため、マクローリンの定理やマクローリン展開を適用できる可能性はありません。このような事情を踏まえた上で、それぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x+1\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。これは自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)と多項式関数\(x+1\)の合成関数であるため\(C^{\infty }\)級であり、なおかつ点\(0\)はこの関数\(f\)の内点です。この関数の高階導関数および点\(0\)における高階微分係数は以下の通りです。

自然対数関数のテイラー近似多項式（マクローリン近似多項式）

一般に、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能である場合、点\(a\)における関数\(f\)の\(n\)次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!}\cdot \left( x-a\right) ^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{f^{\left( k\right) }\left( a\right) }{k!}\cdot
\left( x-a\right) ^{k}\right] \end{eqnarray*}が定義可能です。

先に明らかになったように、自然対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において\(C^{\infty }\)級であるためテイラー近似多項式が定義可能ですが、具体的には以下のようになります。

自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)は点\(0\)において定義されないため、点\(0\)におけるテイラー近似多項式、すなわちマクローリン近似多項式は存在しません。一方、先に定義された関数\(\ln \left( x+1\right) \)は点\(0\)において定義されているためマクローリン近似多項式が存在します。具体的には以下の通りです。

自然対数関数に関するテイラーの定理（マクローリンの定理）

一般に、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(n\)階微分可能である場合にはテイラーの定理が成立するため、定義域の内点\(a\in I^{i}\)およびそれとは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
a+\theta \left( x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在することが保証されます。ただし、\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)は点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式です。

先に明らかになったように、\(\mathbb{R} _{++}\)上に定義された自然対数関数はテイラーの定理が要求する条件を満たすため以下を得ます。

以上の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ a\right\} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\ln \left( x\right) \approx \ln \left( a\right) +\frac{x-a}{a}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\left( x-a\right) ^{2}}{a^{2}}+\cdots +\frac{\left( -1\right)
^{n-1}}{n}\cdot \frac{\left( x-a\right) ^{n}}{a^{n}}
\end{equation*}という近似関係が成り立つとともに、\(n\)を大きくするほど近似の精度が高くなることが明らかになりました。

自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)は点\(0\)において定義されないため、自然対数関数にマクローリンの定理を適用できません。代わりに、先ほど導入した関数\(\ln\left( x+1\right) \)に対してマクローリンの定理を適用すると以下を得ます。

以上の命題より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \left(-1,+\infty \right) \backslash \left\{ 0\right\} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\ln \left( x+1\right) \approx x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+\cdots +\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n}x^{n}
\end{equation*}という近似関係が成り立つとともに、\(n\)を大きくするほど近似の精度が高くなることが明らかになりました。

自然対数関数のマクローリン展開

先に定義した関数\(\ln \left(x+1\right) \)が一定の条件のもとではマクローリン展開可能であることを示します。

マクローリン展開を用いて数の近似値を求める

関数\(\ln \left( x+1\right) \)の\(n\)次のマクローリン近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+\cdots +\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n}x^{n} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k}\cdot x^{k}\right] \end{eqnarray*}であるとともに、マクローリンの定理より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \left( -1,+\infty \right) \backslash \left\{ 0\right\} \)において、\begin{equation*}\ln \left( x+1\right) \approx P_{n,0}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなりますが、\(\ln\left( x+1\right) \)はマクローリン展開可能であるため、究極的には、\(-1<x<1\)を満たす点\(0\)とは異なる点\(x\in \left( -1,0\right) \cup \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\ln \left( x+1\right) &=&x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots \\
&=&\sum_{k=1}^{\infty }\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k}\cdot x^{k}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

以上の議論において\(x\)の値を具体的に指定することにより、\(\ln \left(x+1\right) \)の近似値を求めることができます。以下が具体例です。

マクローリン展開を用いて関数の極限を求める

関数\(\ln \left( x+1\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はマクローリン展開可能であり、\(-1<x<1\)を満たす点\(0\)とは異なる点\(x\in \left( -1,0\right) \cup \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\ln \left( x+1\right) &=&x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots \\
&=&\sum_{k=1}^{\infty }\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k}\cdot x^{k}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。関数\(f\)が自然対数関数を含む関数である場合、以上の関係を用いることにより、\(f\)を多項式関数や有理関数へ変換できます。したがって、そのような関数\(f\)の極限を求める際には、それを多項式関数や有理関数に関する問題へ帰着させることができるということです。以下が具体例です。

演習問題