有理数ベキ関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域である。ゼロとは異なる定義域の内点\(a\in X^{i}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{z}{n}\cdot a^{\frac{z}{n}-1}
\end{equation*}となる。したがって導関数\(f^{\prime }:X^{i}\backslash \left\{ 0\right\}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in X^{i}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{z}{n}\cdot x^{\frac{z}{n}-1}
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理数ベキ関数であるため\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} \\
&=&\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{5}{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理数ベキ関数であるため\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)すなわち\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1} \\
&=&\frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理数ベキ関数であるため\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} \\
&=&-\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-\frac{5}{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理数ベキ関数であるため\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-\frac{5}{4}x^{-\frac{5}{4}-1} \\
&=&-\frac{5}{4}x^{-\frac{9}{4}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{\frac{2}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より\(\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\)は点\(a\)において微分可能です。\(x^{\frac{2}{5}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるとともに\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\not=0\)であるため、\(x^{\frac{2}{5}}\)は点\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)において微分可能です。すると、合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{\frac{2}{5}} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}y^{\frac{2}{5}}\right\vert _{y=\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{2}{5}y^{\frac{2}{5}-1}\right\vert _{y=\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1}\cdot \left( 4\sqrt{2}x^{3}+4x\right) \\
&=&\frac{2}{5}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{3}{5}}\cdot
\left( 4\sqrt{2}x^{3}+4x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) ^{\frac{3}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{3}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より\(\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\)は点\(a\)において微分可能です。\(x^{\frac{3}{5}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるとともに\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\not=0\)であるため、\(x^{\frac{3}{5}}\)は点\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)において微分可能です。すると、合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) ^{\frac{3}{5}} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}y^{\frac{3}{5}}\right\vert _{y=\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}}\cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{3}{5}y^{\frac{3}{5}-1}\right\vert _{y=\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}}\cdot \left[ \frac{4x^{3}\left( x^{2}+1\right) -\left( x^{4}+1\right) 2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\right] \\
&=&\frac{3}{5}\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) ^{-\frac{2}{5}}\cdot \left[ \frac{4x^{3}\left( x^{2}+1\right) -\left( x^{4}+1\right) 2x}{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}}\right] \\
&=&\frac{6}{5}\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) ^{-\frac{2}{5}}\cdot \left[ \frac{x\left( x^{4}+2x^{2}-1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\right] \end{eqnarray*}を定めます。

太陽の周りを公転している天体の公転周期（太陽の周りを1周するのにかかる時間）を\(T>0\)で表記し、軌道半径（太陽までの平均距離）を\(r>0\)で表記する場合、両者の間には以下の関係\begin{equation*}T\left( r\right) =Cr^{\frac{3}{2}}
\end{equation*}が成り立つものとします。ただし、\(C>0\)は定数です。\(T\)は微分可能であり、導関数\(T^{\prime }\)はそれぞれの\(r>0\)に対して、\begin{eqnarray*}T^{\prime }\left( r\right) &=&\frac{d}{dr}Cr^{\frac{3}{2}} \\
&=&\frac{3}{2}Cr^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。これは増加関数ですが、以上の事実は、軌道半径が大きくなるほど、さらにそこから軌道半径を大きくした場合の公転周期の増加率が大きくなることを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域である。以下が成り立つ。

1. ゼロとは異なる定義域の内点\(a\in X^{i}\backslash \left\{0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{z}{n}\cdot a^{\frac{z}{n}-1}>\end{equation*}となる。したがって右側導関数\(f_{+}^{\prime }:X^{i}\backslash\left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in X^{i}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =\frac{z}{n}\cdot x^{\frac{z}{n}-1}
   \end{equation*}を定める。
ゼロとは異なる定義域の内点\(a\in X^{i}\backslash \left\{0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{z}{n}\cdot a^{\frac{z}{n}-1}\end{equation*}となる。したがって左側導関数\(f_{-}^{\prime }:X^{i}\backslash\left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in X^{i}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =\frac{z}{n}\cdot x^{\frac{z}{n}-1}
\end{equation*}を定める。

球を平面に押し付けるとき、接触力\(F\)は押し込み量\(\delta \geq 0\)に対して、\begin{equation*}F\left( \delta \right) =k\delta ^{\frac{3}{2}}
\end{equation*}と定まるものとします。ただし、\(k>0\)は定数です。\(\delta =0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}F_{+}^{\prime }\left( 0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{F\left(
h\right) -F\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{kh^{\frac{3}{2}}-0}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}kh^{\frac{1}{2}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって、接触が始まった瞬間では、押し込み量をほんの少し増やしても接触力はほとんど変化しません。接触直後において、接触量は非常にゆっくり増え始めるということです。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x^{2}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 5\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。