有理ベキ関数は任意の正の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数を特定します。また、有理ベキ関数と微分可能な関数の合成関数について、その導関数を特定します。

有理ベキ関数 微分

有理ベキ関数

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値が、自然数\(n\)と整数\(m\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}
\end{equation*}として表される場合には、\(f\)を有理ベキ関数と呼びます。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{ll}
\mathbb{R} _{+} & \left( if\ m\geq 0\right) \\
\mathbb{R} _{++} & \left( if\ m<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。

有理ベキ関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は定義域\(X\)上の任意の点\(a\)において\(a^{\frac{m}{n}}\)に収束し、\(X\)上で連続です。

有理ベキ関数について復習する
例(有理ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}=\left( x^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。
例(有理ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-\frac{3}{2}}=\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}=\frac{1}{\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。

 

有理ベキ関数の微分可能性

有理ベキ関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\)は無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)と整数ベキ関数\(x^{m}\)の商ですが、すでに明らかにしたように、これらはともに任意の点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)において微分可能です。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(a\)において微分可能である場合には関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、それらの微分係数の間には、\begin{equation*}
\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{f^{\prime }\left(
a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}という関係が成立します。以上の事実を利用すると、有理ベキ関数の微分可能性に関する以下の命題が得られます。

無理関数の微分可能性について復習する 整数ベキ関数の微分可能性について復習する 微分可能な関数の商について復習する
命題(有理ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理ベキ関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と整数\(m\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。ただし、\(m\geq 0\)の場合には\(X=\mathbb{R} _{+}\)であり、\(m<0\)の場合には\(X=\mathbb{R} _{++}\)である。この\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}
\end{equation*}を定める。
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例(有理ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}=\left( x^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}
\end{equation*}であるならば、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定める。
例(有理ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-\frac{3}{2}}=\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}=\frac{1}{\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{3}}
\end{equation*}であるならば、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1}=-\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}
\end{equation*}を定める。

 

有理ベキ関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。また、\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を無理関数とします。つまり、\(g\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)であり、\(m\geq 0\)の場合には\(Y=\mathbb{R} _{+}\)、\(m<0\)の場合には\(Y=\mathbb{R} _{++}\)です。このとき、\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*} \left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\ &=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because g\text{の定義} \end{eqnarray*}を値として定めます。ただし、\(n\)は自然数、\(m\)は整数です。 関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるものとします。有理ベキ関数\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であるため、点\(f\left( a\right) \)においても微分可能です。したがって、合成関数の微分に関する命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*} \left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\ &=&\frac{m}{n}\cdot f\left( a\right) ^{\frac{m}{n}-1}\cdot f^{\prime }\left( a\right) \quad \because \text{無理関数の微分} \end{eqnarray*}となります。 合成関数の微分について復習する

命題(有理ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*} g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}} \end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を考える。ただし、\(n\)は自然数、\(m\)は整数であり、定義域\(X\)は、\begin{equation*} X=\left\{ \begin{array}{cc} \{x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq 0\} & \left( if\ m\geq 0\right) \\ \{x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >0\} & \left( if\ m<0\right) \end{array}\right. \end{equation*}である。\(f\)が点\(a\in X\)において微分可能ならば\(g\)もまた\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*} g^{\prime }\left( a\right) =\frac{m}{n}\cdot f\left( a\right) ^{\frac{m}{n}-1}\cdot f^{\prime }\left( a\right) \end{equation*}となる。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(単項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と整数\(l\)、実数\(c\)を用いて、\begin{equation*} f\left( x\right) =\left( cx^{n}\right) ^{\frac{l}{m}} \end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*} X=\{x\in \mathbb{R} \ |\ cx^{n}>0\}
\end{equation*}です。これは単項式関数\(cx^{n}\)と有理ベキ関数\(x^{\frac{l}{m}}\)の合成関数です。単項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点で微分可能です。さらに導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{l}{m}\left( cx^{n}\right) ^{\frac{l}{m}-1}\left( cx^{n}\right) ^{\prime } \\
&=&\frac{l}{m}\left( cx^{n}\right) ^{\frac{l}{m}-1}\left( ncx^{n-1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( 2x^{2}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}は定義域\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)上の任意の点において微分可能であり、導関数はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&-\frac{2}{5}\left( 2x^{2}\right) ^{-\frac{2}{5}-1}\left( 2x^{2}\right) ^{\prime } \\
&=&-\frac{2}{5}\left( 2x^{2}\right) ^{-\frac{7}{5}}\left( 4x\right) \\
&=&-\frac{8}{5}x\left( 2x^{2}\right) ^{-\frac{7}{5}}
\end{eqnarray*}を定めます。
単項式関数の微分について復習する
例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と整数\(l\)、実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{l}{m}} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right) ^{\frac{l}{m}}
\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}>0\right\}
\end{equation*}です。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と有理ベキ関数\(x^{\frac{l}{m}}\)の合成関数です。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において微分可能です。さらに導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{l}{m}\left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{l}{m}-1}\left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime } \\
&=&\frac{l}{m}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{l}{m}-1}\left(
\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}は定義域\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であり、導関数はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&-\frac{2}{5}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}-1}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right)
^{\prime } \\
&=&-\frac{2}{5}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{7}{5}}\left( 4\sqrt{2}x^{3}+4x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
多項式関数の微分について復習する
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と整数\(m\)、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }>0\right\}
\end{equation*}です。これは有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と有理ベキ関数\(x^{\frac{m}{n}}\)の合成関数です。有理関数は\(X\)上の任意の点において微分可能であるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(X\)上の任意の点において微分可能です。さらに導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{m}{n}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{m}{n}-1}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime } \\
&=&\frac{m}{n}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{m}{n}-1}\frac{g^{\prime }\left( x\right) h\left( x\right) -g\left(
x\right) h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}は\((5,+\infty )\)上の任意の点において微分可能であり、導関数はそれぞれの\(x\in (5,+\infty )\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&-\frac{2}{5}\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right)
^{-\frac{2}{5}-1}\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{\prime } \\
&=&-\frac{2}{5}\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{-\frac{7}{5}}\frac{\left(
x^{2}+7\right) ^{\prime }\left( x-5\right) -\left( x^{2}+7\right) \left(
x-5\right) ^{\prime }}{\left( x-5\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{2}{5}\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{-\frac{7}{5}}\frac{2x\left( x-5\right) -\left( x^{2}+7\right) }{\left( x-5\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{2}{5}\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{-\frac{7}{5}}\frac{x^{2}-10x-7}{\left( x-5\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
有理関数の微分について復習する

次回は三角関数の微分について学びます。

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