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SEQUENCE OF FUNCTIONS

関数列

OVERVIEW

関数列とは何か

定義域を共有する無限個の関数を並べたものを関数列と呼びます。関数列の極限を定義するとともに、収束する関数列の性質について解説します。関数列の極限は微分や積分において重要な役割を果たします。

TABLE OF CONTENTS

目次

POINTWISE CONVERGENCE

各点収束する関数列

関数列が各点収束することの意味を定義します。

関数列の定義

定義域を共有する無限個の関数を順番に並べたものを関数列と呼びます。関数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、定義域を共有するすべての関数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。

各点収束する関数列

関数列が各点収束することの意味を定義するとともに、その場合の関数列の極限、すなわち極限関数を具体的に特定する方法を解説します。

UNIFORM CONVERGENCE

一様収束する関数列

関数列が一様収束することの意味を定義します。

一様収束する関数列

関数列が一様収束することの意味を定義するとともに、関数列が一様収束すること、ないし一様収束しないことを判定する方法について解説します。

PROPERTIES OF LIMIT OF SEQUENCE OF FUNCTIONS

関数列の極限の性質

関数列の極限の性質について解説します。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節の内容を理解する上で以下の知識が役に立ちます。

数列

実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。

1変数関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

1変数関数の微分

1変数関数の微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

1変数関数の積分

1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。

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