関数列の定義
定義域を共有する無限個の関数を順番に並べたものを関数列と呼びます。関数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、定義域を共有するすべての関数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。
TABLE OF CONTENTS
目次
POINTWISE CONVERGENCE
各点収束する関数列
関数列が各点収束することの意味を定義します。
各点収束する関数列
関数列が各点収束することの意味を定義するとともに、その場合の関数列の極限、すなわち極限関数を具体的に特定する方法を解説します。
各点コーシー列（関数列が各点収束することの判定）
関数列が各点コーシーであることの意味を定義するとともに、関数列が各点コーシーであることと各点収束であることは必要十分であることを示します。
ほとんど確実に収束する関数列
関数列が定義域上のほとんどいたるところにおいて各点収束する場合、その間数列はほとんど確実に収束すると言います。
UNIFORM CONVERGENCE
一様収束する関数列
関数列が一様収束することの意味を定義します。
一様収束する関数列
関数列が一様収束することの意味を定義するとともに、関数列が一様収束すること、ないし一様収束しないことを判定する方法について解説します。
一様コーシー列（関数列が一様収束することの判定）
関数列が一様コーシーであることの意味を定義するとともに、関数列が一様コーシーであることと一様収束であることは必要十分であることを示します。
各点収束する関数列と一様収束する関数列の関係
一様収束する関数列は必ず各点収束する一方、その逆は成立するとは限りません。つまり、各点収束する関数列は一様収束するとは限りません。
PROPERTIES OF LIMIT OF SEQUENCE OF FUNCTIONS
関数列の極限の性質
関数列の極限の性質について解説します。
収束関数列と有界関数列の関係
一様収束する有界関数列の極限関数は有界である一方、各点収束する有界関数列の極限関数は有界であるとは限りません。
収束関数列と連続関数列の関係
一様収束する連続関数列の極限関数は連続である一方、各点収束する連続関数列の極限関数は連続であるとは限りません。
