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関数列

一様コーシー列(関数列が一様収束することの判定)

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一様コーシー列(関数列が一様収束することの判定)

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられている状況を想定します。つまり、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の一般項は\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義を用いて関数列が一様収束することを示す際には極限関数\(f\)の候補が必要です。極限関数\(f\)の候補が与えられていない状況において関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束するかどうかを判定する方法として、数列を用いる手法があります。順番に解説します。

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられたとき、任意の\(x\in X\)について数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)がコーシー列である場合、もとの関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点コーシーであると言います。コーシー列の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{m}\left( x\right)
-f_{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、定義域上の点\(x\in X\)を任意に選んだ上で数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)を構成したとき、この数列のある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなると言うことです。言い換えると、どれほど小さい正の実数\(\varepsilon \)を選んだ場合においても、ある番号\(N\)が存在して、先の数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)の第\(N\)項より先にある任意の2つの項\(f_{m}\left( x\right) ,f_{n}\left(x\right) \)の間の距離\(\left\vert f_{m}\left(x\right) -f_{n}\left( x\right) \right\vert \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなるということです。関数列が各点コーシーであることと、その関数列が各点収束することは必要十分です。

点\(x\in X\)が変われば数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)もまた変化するため、正の実数\(\varepsilon \)を選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{m}\left( x\right)
-f_{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす\(N\)の水準もまた点\(x\in X\)に依存して変化します。例えば、ある点\(x\in X\)のもとでの数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)の項どうしが急速に近づくのであれば、\(n\)が小さい段階においても\(f_{m}\left( x\right) \)と\(f_{n}\left( x\right) \)の差が小さいため、\(N\)として小さい値をとることができます。逆に、別の点\(x\in X\)のもとでの数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)の項どうしがゆっくりと近づくのであれば、\(n\)が小さい段階において\(f_{m}\left( x\right) \)と\(f_{n}\left( x\right) \)の差が大きいため、\(N\)として大きい値をとる必要があります。

一方、正の実数\(\varepsilon \)を選んだとき、点\(x\in X\)の選び方とは関係なく、ある番号\(N\)以上の任意の\(m,n\)について\(f_{m}\left(x\right) \)と\(f_{n}\left( x\right) \)の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証される場合には、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{m}\left( x\right)
-f_{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様コーシー(uniform Cauchy)であると言います。

繰り返しになりますが、定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点コーシーであることは、\begin{equation}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{m}\left( x\right)
-f_{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味する一方、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様コーシーであることは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{m}\left( x\right)
-f_{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味しますが、両者の違いは量化記号\begin{equation*}
\forall x\in X
\end{equation*}の相対的な位置だけです。各点コーシーの定義\(\left( 1\right) \)において\(\forall x\in X\)は\(\exists N\in \mathbb{N} \)よりも前に置かれているため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)の位置に依存します。点\(x\)が変われば\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の値もまた変化すると言うことです。一方、一様コーシーの定義\(\left( 2\right) \)において\(\forall x\in X\)は\(\exists N\in \mathbb{N} \)よりも後に置かれているため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)のとり方に依存しません。点\(x\)が変わっても\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の値は変化しないということです。したがって、\(\left( 2\right) \)中の\(N\)に課される制約は\(\left( 1\right) \)中の\(N\)に課される制約よりも厳しいため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)は必然的に\(\left(1\right) \)を満たします。つまり、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 1\right) \)もまた成り立つこと、すなわち、一様コーシーであるような関数列は各点コーシーであるということです。

 

一様収束列と一様コーシー列の関係

関数列が一様収束することと、その間数列が一様コーシーであることは必要十分です。

命題(一様収束列と一様コーシー列の関係)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束することと、\(\left\{f_{n}\right\} \)が一様コーシーであることは必要十分である。
証明

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関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と定義される一方、一様コーシーであることは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{m}\left( x\right)
-f_{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と定義されますが、上の命題より、両者は必要十分です。一様収束の定義には極限関数\(f\)が登場する一方、一様コーシーの定義には極限関数\(f\)は登場しません。一様コーシーの概念を利用すれば、極限関数\(f\)の候補が存在しない場合にも、関数列が一様収束であること表現できるということです。

例(一様コーシー列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[-1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{k2^{k}}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様コーシーであるため(演習問題)、先の命題より\(\left\{f_{n}\right\} \)は一様連続です。

 

演習問題

問題(一様コーシー列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[-1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{k2^{k}}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様コーシーであることを示してください。
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