項が先に進むにつれて項の変化がどこまでも小さくなっていく数列をコーシー列と呼びます。コーシー列の概念を厳密に定義した上で、コーシー列と収束列の関係を議論します。また、数列がコーシー列であるための判定条件について解説します。

コーシー列

数列のある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなるとき、この数列をコーシー列(Cauchy sequence)や基本列(fundamental sequence)などと呼びます。ただ、コーシー列に関して議論を厳密に行うためには、「限りなく小さくなる」ことを明確に定式化しておく必要があります。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の2つの項\(x_{m},x_{n}\)を任意に選んだとき、それらの距離は\(\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \)で表されます。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、どれほど小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、ある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、この数列の第\(N\)項より先にある任意の2つの項\(x_{m},x_{n}\)の間の距離\(\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。以上の主張を定式化すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上によって数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることの定義とします。

コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列です。したがって、数直線上にコーシー列の項を描画していくとそのうち動かなくなり、ほとんど重なっていきます。そのようなこともありコーシー列はいかにも収束しそうですが、実際のところはどうでしょうか。後ほどコーシー列と収束列の関係を議論します。

例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることを示します。目標は、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert <\varepsilon \right) \tag{1}
\end{equation}を示すことです。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために、\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert &\leq &\frac{1}{2^{m}}+\frac{1}{2^{n}}\quad \because m,n>0 \\
&\leq &\frac{1}{2^{N}}+\frac{1}{2^{N}}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{1}{2^{N-1}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert \leq \frac{1}{2^{N-1}}
\tag{2}
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{1}{2^{N-1}}<\varepsilon \tag{3}
\end{equation}を満たすような番号\(N\)を適当に選べば、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert &\leq &\frac{1}{2^{N-1}}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。したがって、与えられた数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。
例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることを示します。目標は、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert <\varepsilon \right) \tag{1}
\end{equation}を示すことです。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために、\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert &\leq &\left\vert
\frac{1}{m^{2}}\right\vert +\left\vert \frac{1}{n^{2}}\right\vert \\
&=&\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because m\geq N,\ n\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert \leq \frac{2}{N}
\tag{2}
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{2}{N}<\varepsilon \tag{3}
\end{equation}を満たすような番号\(N\)を適当に選べば、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。したがって、与えられた数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。

 

コーシー列ではないことの意味

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列でないこととは、コーシー列の定義の否定である、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、正の実数\(\varepsilon \)を適当に選ぶと、数列\(\{x_{n}\}\)のどの番号\(N\)以降の項についても、それらの距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうような2つの項\(x_{m},x_{n}\)が存在するということです。

例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=n
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。この数列の項は\(1,2,3,4,\cdots \)と\(1\)ずつ増えていくため、番号\(n\)がいくら大きくなっても隣り合う項の差は\(1\)のままで一定です。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。そこで、\(\varepsilon =1\)を選んだ上で、これに対して任意の番号\(N\)を選び、さらに\(m=N+1\)かつ\(n=N+2\)とします。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert &=&\left\vert m-n\right\vert \quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( N+1\right) -\left( N+2\right) \right\vert \quad
\because m=N+1,\ n=N+2 \\
&=&1 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため、やはり\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。
例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。この数列の項は\(-1,1,-1,1,\cdots \)と振動し、番号\(n\)がいくら大きくなっても隣り合う項の差は\(2\)のままで一定です。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。そこで、\(\varepsilon =1\)を選んだ上で、これに対して任意の番号\(N\)を選び、さらに\(m\geq N\)を満たす偶数\(m\)と奇数\(n=N+1\)をそれぞれ選びます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( -1\right)
^{m}-\left( -1\right) ^{n}\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\left\vert 1-\left( -1\right) \right\vert \quad \because m\text{は偶数},\ m\text{は奇数} \\
&=&2 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため、やはり\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。

 

コーシー列であることの判定

コーシー列の定義に照らし合わせて数列がコーシー列であることを示すのはやや面倒です。より扱いやすい判定条件はないでしょうか。実は、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(0<\alpha <1\)を満たす実数\(\alpha \in \mathbb{R}\)が存在して、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha \left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列になります。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の隣り合う3つの項\(x_{n},x_{n+1},x_{n+2}\)を任意に選んだとき、2番目と3番目の項の間の距離\(\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \)が、1番目と2番目の項の間の距離\(\left\vert x_{n+1}-x_{n}\right\vert \)よりも小さくなるということです。コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列であることを踏まえると、以上の条件を満たす数列がコーシー列であることは明らかなように思われますが、念のため以下で証明します。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して\(0<\alpha <1\)を満たす実数\(\alpha \)が存在し、任意の番号\(n\)について、\begin{equation}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha \left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert \tag{1}
\end{equation}が成り立つものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &\leq &\alpha \left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert \quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &\alpha \left( \alpha \left\vert x_{n}-x_{n-1}\right\vert \right)
\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\alpha ^{2}\left\vert x_{n}-x_{n-1}\right\vert \\
&\leq &\cdots \\
&\leq &\alpha ^{n}\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha ^{n}\left\vert
x_{2}-x_{1}\right\vert \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえた上で、数列\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であること、すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right) \tag{3}
\end{equation}が成り立つことを示します。\(m=n\)の場合には\(\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert =0\)となり明らかに成り立つため、以降では\(m\not=n\)の場合について考えます。\(m>n\)としても一般性は失われません。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 3\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために、\(\left( 3\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\ \left( m>n\right) \)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( x_{m}-x_{m-1}\right)
+\left( x_{m-1}-x_{m-2}\right) +\cdots +\left( x_{n+1}-x_{n}\right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{m}-x_{m-1}\right\vert +\left\vert
x_{m-1}-x_{m-2}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n+1}-x_{n}\right\vert \\
&\leq &\left( \alpha ^{m-2}+\alpha ^{m-3}+\cdots +\alpha ^{n-1}\right)
\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&\leq &\frac{\alpha ^{n-1}\left( 1-\alpha ^{m-n}\right) }{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \quad \because \text{等比数列の和} \\
&\leq &\frac{\alpha ^{n-1}}{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert
\quad \because 0<\alpha <1,\ m>n \\
&\leq &\frac{\alpha ^{N-1}}{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert
\quad \because 0<\alpha <1,\ n\geq N
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \leq \frac{\alpha ^{N-1}}{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \tag{4}
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{\alpha ^{N-1}}{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert
<\varepsilon \tag{5}
\end{equation}を満たすような番号\(N\)を適当に選べば、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert &\leq &\frac{\alpha ^{N-1}}{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \quad \because \left( 4\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 5\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 3\right) \)が成り立つことが示されました。

命題(コーシー列であることの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して\(0<\alpha <1\)を満たす実数\(\alpha \in \mathbb{R}\)が存在し、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha \left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つならば、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列である。
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例(コーシー列であることの判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。このとき、任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{n+1}}\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert \frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert x_{n+1}-x_{n}\right\vert \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。
例(コーシー列であることの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の再帰式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=1 \\
x_{n+1}=1+\dfrac{1}{x_{n}}\end{array}\right.
\end{equation*}によって再帰的に表現されているものとします。このとき、任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n+1}}\right) -\left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) \right\vert \quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \notag \\
&=&\left\vert \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}\right\vert \notag \\
&=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \tag{1}
\end{eqnarray}となります。さらに、\(\left( 1\right) \)の分母について、\begin{eqnarray}
\left\vert x_{n+1}x_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) x_{n}\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \notag \\
&=&\left\vert x_{n}+1\right\vert \notag \\
&\geq &2\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert }{\left\vert
x_{n+1}x_{n}\right\vert } \\
&\leq &\frac{1}{2}\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert \quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。

次回はコーシー列の収束や実数の連続性との関係について解説します。

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