項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列をコーシー列と呼びます。コーシー列の概念を厳密に定義した上で、コーシー列と収束列の関係を議論します。また、数列がコーシー列であるための判定条件について解説します。
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コーシー列

数列\(\{x_{n}\}\)に対してある番号\(N\in \mathbb{N}\)が存在して、第\(N\)項より先の任意の 2 つの項\(x_{m},x_{n}\)の間の距離\(\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \)が限りなく小さくならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall m\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( m\geq N,\ n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、数列\(\{x_{n}\}\)をコーシー列(Cauchy sequence)や基本列(fundamental sequence)などと呼びます。

コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列です。したがって、数直線上にコーシー列の各項を描画していくとそのうち動かなくなり、ほとんど重なっていきます。そのようなこともありコーシー列はいかにも収束しそうですが、実際のところはどうでしょうか。後ほどコーシー列と収束列の関係を議論します。

例(コーシー列)
一般項が\(x_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることを示します。目標は、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall m\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( m\geq N,\ n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert <\varepsilon \right) \tag{1} \end{equation}を示すことです。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\in \mathbb{N}\)の候補を見つけるために、\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形してみます。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N,\ n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert &\leq &\frac{1}{2^{m}}+\frac{1}{2^{n}}\quad \because m,n>0 \\
&\leq &\frac{1}{2^{N}}+\frac{1}{2^{N}}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{1}{2^{N-1}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert \leq \frac{1}{2^{N-1}}
\tag{2}
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{1}{2^{N-1}}<\varepsilon \tag{3}
\end{equation}を満たすような番号\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(m\geq N,\ n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert &\leq &\frac{1}{2^{N-1}}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right) \end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。
例(コーシー列)
一般項が\(x_{n}=\frac{1}{n^{2}}\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることを示します。目標は、\begin{equation} \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall m\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( m\geq N,\ n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert <\varepsilon \right) \tag{1} \end{equation}を示すことです。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\in \mathbb{N}\)の候補を見つけるために、\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形してみます。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N,\ n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert &\leq &\left\vert
\frac{1}{m^{2}}\right\vert +\left\vert \frac{1}{n^{2}}\right\vert \\
&=&\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}} \\
&\leq &\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\quad \because m,n\in \mathbb{N}\\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because m\geq N,\ n\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert \leq \frac{2}{N}
\tag{2}
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{2}{N}<\varepsilon \tag{3}
\end{equation}を満たすような番号\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(m\geq N,\ n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。

 

コーシー列ではないことの意味

数列\(\{x_{n}\}\)がコーシー列でないこととは、コーシー列の定義に相当する命題の否定である、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N},\ \exists m\in \mathbb{N},\ \exists m\in \mathbb{N}:\left( m\geq N,\ n\geq N,\ \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、正の実数\(\varepsilon \)を適当に選ぶと、数列\(\{x_{n}\}\)のどの番号\(N\)以降の項についても、それらの距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうような 2 つの項\(x_{m},x_{n}\)が存在するということです。

例(コーシー列)
一般項が\(x_{n}=n\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)について考えます。この数列の項は\(1,2,3,4,\cdots \)と\(1\)ずつ増えていくため、番号\(n\)がいくら大きくなっても隣り合う項の差は\(1\)のままで一定です。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。そこで、\(\varepsilon =1\)を選んだ上で、これに対して任意の番号\(N\in \mathbb{N}\)を選び、さらに\(m=N+1\)かつ\(n=N+2\)とします。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert &=&\left\vert m-n\right\vert \quad
\because \{x_{n}\}\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( N+1\right) -\left( N+2\right) \right\vert \quad
\because m=N+1,\ n=N+2 \\
&=&1 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため、やはり\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではありません。
例(コーシー列)
一般項が\(x_{n}=\left( -1\right) ^{n}\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)について考えます。この数列の項は\(-1,1,-1,1,\cdots \)と振動し、番号\(n\)がいくら大きくなっても隣り合う項の差は\(2\)のままで一定です。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。そこで、\(\varepsilon =1\)を選んだ上で、これに対して任意の番号\(N\in \mathbb{N}\)を選び、さらに\(m\geq N\)を満たす偶数\(m\)と奇数\(n=N+1\)をそれぞれ選びます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( -1\right)
^{m}-\left( -1\right) ^{n}\right\vert \quad \because \{x_{n}\}\text{の定義} \\
&=&\left\vert 1-\left( -1\right) \right\vert \quad \because m\text{は偶数},\ m\text{は奇数} \\
&=&2 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため、やはり\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではありません。

 

コーシー列であることの判定条件

コーシー列の定義に照らし合わせて数列がコーシー列であることを示すのはやや面倒です。より扱いやすい判定条件はないでしょうか。

数列\(\{x_{n}\}\)が任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha \left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert \tag{1}
\end{equation}を満たすものとします。ただし、\(\alpha \)は\(0<\alpha <1\)を満たす実数です。このとき、\begin{eqnarray*} \left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &\leq &\alpha \left\vert x_{n+1}-x_{n}\right\vert \quad \because \left( 1\right) \\ &\leq &\alpha \left( \alpha \left\vert x_{n}-x_{n-1}\right\vert \right) \quad \because \left( 1\right) \\ &=&\alpha ^{2}\left\vert x_{n}-x_{n-1}\right\vert \\ &\leq &\cdots \\ &\leq &\alpha ^{n}\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation} \left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha ^{n}\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \tag{2} \end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえた上で、数列\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であること、すなわち、\begin{equation} \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall m\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( m\geq N,\ n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right) \tag{3} \end{equation}が成り立つことを示します。\(m=n\)の場合には\(\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert =0\)で明らかに成り立つため、以降では\(m\not=n\)の場合について考えます。\(m>n\)としても一般性は失われません。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( 3\right) \)を満たす番号\(N\in \mathbb{N}\)の候補を見つけるために、\(\left( 3\right) \)の結論の式を変形してみます。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N,\ n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\ \left( m>n\right) \)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( x_{m}-x_{m-1}\right)
+\left( x_{m-1}-x_{m-2}\right) +\cdots +\left( x_{n+1}-x_{n}\right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{m}-x_{m-1}\right\vert +\left\vert
x_{m-1}-x_{m-2}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n+1}-x_{n}\right\vert \\
&\leq &\left( \alpha ^{m-2}+\alpha ^{m-3}+\cdots +\alpha ^{n-1}\right)
\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&\leq &\frac{\alpha ^{n-1}\left( 1-\alpha ^{m-n}\right) }{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \quad \because \text{等比数列の和} \\
&\leq &\frac{\alpha ^{n-1}}{1-\alpha }\quad \left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \because 0<\alpha <1,\ m>n \\
&\leq &\frac{\alpha ^{N-1}}{1-\alpha }\quad \left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \because 0<\alpha <1,\ n\geq N
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \leq \frac{\alpha ^{N-1}}{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert
\tag{4}
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{\alpha ^{N-1}}{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert <\varepsilon \tag{5}
\end{equation}を満たすような番号\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(m\geq N,\ n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert &\leq &\frac{\alpha ^{N-1}}{1-\alpha }\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \quad \because \left( 4\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 5\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 3\right) \)が成り立つことが示されました。

命題(コーシー列であることの判定条件)
数列\(\{x_{n}\}\)が任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha \left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert
\end{equation*}を満たすものとする。ただし、\(\alpha \)は\(0<\alpha <1\)を満たす実数である。このとき、\(\{x_{n}\}\)はコーシー列である。
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例(コーシー列であることの判定条件)
数列\(\{x_{n}\}\)が以下の条件をともに満たすものとします。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x_{1}=1 \\
&&\left( b\right) \ x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}\quad \left( n\in \mathbb{N}\right)
\end{eqnarray*}この数列の隣り合う 2 つの項の差に関しては、\begin{eqnarray}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n+1}}\right) -\left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) \right\vert \quad \because
\left( b\right) \notag \\
&=&\left\vert \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}\right\vert \notag \\
&=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \tag{1}
\end{eqnarray}となります。さらに、\(\left( 1\right) \)の分母について、\begin{eqnarray}
\left\vert x_{n+1}x_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) x_{n}\right\vert \quad \because \left( b\right) \notag \\
&=&\left\vert x_{n}+1\right\vert \notag \\
&\geq &2\quad \because \left( a\right) ,\left( b\right) \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert }{\left\vert
x_{n+1}x_{n}\right\vert } \\
&\leq &\frac{1}{2}\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert \quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題よりこの数列\(\{x_{n}\}\)はコーシー列です。

次回はコーシー列の有界性について解説します。
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