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数列

コーシー列(基本列)の定義と具体例

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コーシー列

数列のある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなるとき、この数列をコーシー列(Cauchy sequence)や基本列(fundamental sequence)などと呼びます。ただ、コーシー列に関して議論を厳密に行うためには「限りなく小さくなる」ことを明確に定式化しておく必要があります。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の2つの項\(x_{m},x_{n}\)を任意に選んだとき、それらの距離は、\begin{equation*}\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
\end{equation*}と定義されます。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、どれほど小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、ある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、この数列の第\(N\)項より先にある任意の2つの項\(x_{m},x_{n}\)の間の距離\(\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。以上の主張を定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上によって数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることの定義とします。

コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列です。したがって、数直線上にコーシー列の項を描画していくとそのうち動かなくなり、ほとんど重なっていきます。そのようなこともありコーシー列はいかにも収束しそうですが、実際のところはどうでしょうか。後ほどコーシー列と収束列の関係を議論します。

例(コーシー列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert \leq \frac{2}{N}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。アルキメデスの性質より、それに対して、\begin{equation}\frac{2}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left(3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad
\because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。
例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{x_{n}\right\} \)がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert &\leq &\left\vert
\frac{1}{m^{2}}\right\vert +\left\vert \frac{1}{n^{2}}\right\vert \\
&=&\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because m\geq N,\ n\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert \leq \frac{2}{N}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。アルキメデスの性質より、それに対して、\begin{equation}\frac{2}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left(3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。

 

コーシー列ではないことの意味

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、正の実数\(\varepsilon \)を適当に選ぶと、数列\(\{x_{n}\}\)のどの番号\(N\)以降の項についても、それらの距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうような2つの項\(x_{m},x_{n}\)が存在するということです。

例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=n
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。この数列の項は\(1,2,3,4,\cdots \)と\(1\)ずつ増えていくため、番号\(n\)がいくら大きくなっても隣り合う項の差は\(1\)のままで一定です。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert m-n\right\vert \geq
\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。\(\left( 1\right) \)を満たす\(\varepsilon \)の候補として、\begin{equation*}\varepsilon =1
\end{equation*}に注目します。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{eqnarray*}m &=&N+1\in \mathbb{N} \\
n &=&N+2\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}に注目します。明らかに\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)です。さらに、\begin{eqnarray*}\left\vert m-n\right\vert &=&\left\vert \left( N+1\right) -\left(
N+2\right) \right\vert \quad \because m=N+1,\ n=N+2 \\
&=&1 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。
例(コーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。この数列の項は\(-1,1,-1,1,\cdots \)と振動し、番号\(n\)がいくら大きくなっても隣り合う項の差は\(2\)のままで一定です。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert \left( -1\right) ^{m}-\left(
-1\right) ^{n}\right\vert \geq \varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。\(\left( 1\right) \)を満たす\(\varepsilon \)の候補として、\begin{equation*}\varepsilon =1
\end{equation*}に注目します。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{eqnarray*}m &=&2N\in \mathbb{N} \\
n &=&2N+1\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}に注目します。明らかに\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)です。さらに、\begin{eqnarray*}\left\vert \left( -1\right) ^{m}-\left( -1\right) ^{n}\right\vert
&=&\left\vert \left( -1\right) ^{2N}-\left( -1\right) ^{2N+1}\right\vert \\
&=&\left\vert 1-\left( -1\right) \right\vert \quad \because 2N\text{は偶数},\ 2N+1\text{は奇数} \\
&=&2 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。

 

コーシー列であることの判定

定義にもとづいて数列がコーシー列であることを示すのはやや面倒です。より扱いやすい判定条件はないでしょうか。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(0<\alpha <1\)を満たす実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)が存在して、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha \left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列になります。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の隣り合う3つの項\(x_{n},x_{n+1},x_{n+2}\)を任意に選んだとき、2番目と3番目の項の間の距離\(\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \)が、1番目と2番目の項の間の距離\(\left\vert x_{n+1}-x_{n}\right\vert \)よりも小さくなるということです。コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列であることを踏まえると、以上の条件を満たす数列がコーシー列であることは明らかであるように思われます(演習問題)。

命題(コーシー列であることの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、\begin{equation*}\exists \alpha \in \left( 0,1\right) ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha \left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つならば、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列である。
証明

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例(コーシー列であることの判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{n+1}}\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert \frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{2^{n}}\right\vert \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert x_{n+1}-x_{n}\right\vert \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\exists \frac{1}{2}\in \left( 0,1\right) ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \frac{1}{2}\left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。

 

演習問題

問題(コーシー列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}で与えられるものとします。この数列はコーシー列でしょうか。議論してください。

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問題(コーシー列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{3}}
\end{equation*}で与えられるものとします。この数列はコーシー列でしょうか。議論してください。

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問題(コーシー列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられるものとします。この数列はコーシー列でしょうか。議論してください。

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問題(コーシー列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の再帰式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=1 \\
x_{n+1}=1+\dfrac{1}{x_{n}}\end{array}\right.
\end{equation*}によって再帰的に表現されているものとします。この\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることを証明してください。
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問題(コーシー列の和)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}x_{n}+y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともにコーシー列である場合には\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまたコーシー列になることを証明してください。
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問題(コーシー列の代替的な定義)
数列\(\{x_{n}\}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-x_{N}\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}を満たすことは、\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であるための必要十分条件であることを証明してください。
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問題(コーシー列の代替的な定義)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たすことは、\(\left\{x_{n}\right\} \)がコーシー列であるための必要十分条件であることを証明してください。
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