確認テスト III（数列）

2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)と実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。さらに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert y_{n}-a\right\vert \leq \left\vert
x_{n}\right\vert \right)
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}=a
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)が与えられているものとします。\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界であるとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}=0
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の条件のもとでは、数列\(\left\{x_{n}y_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}y_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\left\vert a\right\vert <1
\end{equation*}を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=a^{n}
\end{equation*}と表現されるものとします。以下の問いに答えてください。（各10点）

1. \(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)が有限な実数へ収束することを示した上で、その極限が、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert x_{n}\right\vert =0\end{equation*}であることを示してください。
2. 以上の結果を踏まえた上で、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束するとともに、その極限が、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0\end{equation*}であることを示してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0<x_{1}<y_{1} \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n+1}=\sqrt{x_{n}y_{n}} \\
&&\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以下の問いに答えてください。（各10点）

1. 以下の命題\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0<x_{n}<y_{n}
   \end{equation*}が成り立つことを示してください。
2. 数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が下に有界な単調減少数列であることを示してください。
3. 数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界な単調増加数列であることを示してください。
4. 以下の命題\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0<y_{n+1}-x_{n+1}<\frac{y_{1}-x_{1}}{2^{n}}
   \end{equation*}が成り立つことを示してください。
5. 数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}\end{equation*}が成り立つことを示してください。