有界数列の上極限
有界な数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :m\leq x_{n}\leq M
\end{equation*}が成り立つということです。
番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の\(n\)番目以降の項\(x_{n},x_{n+1},\cdots \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。この集合は上に有界であるため、その上限\begin{equation*}
S_{n}=\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。
それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の上限\(S_{n}\)を特定することにより、数列\begin{gather*}S_{1}=\sup \left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \\
S_{2}=\sup \left\{ x_{2},x_{3},\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ S_{n}\right\} =\left\{ \sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\right\}
\end{equation*}が得られます。ただし、\begin{equation*}
\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \supset \left\{ x_{2},x_{3},\cdots
\right\} \supset \cdots
\end{equation*}ゆえに、包含関係と上限の関係より、\begin{equation*}
\sup \left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \geq \sup \left\{
x_{2},x_{3},\cdots \right\} \geq \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
S_{1}\geq S_{2}\geq \cdots
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)は単調減少列です。加えて、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :m\leq S_{n}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は下に有界です。
以上より、\(\left\{ S_{n}\right\} \)は下に有界な単調減少数列であることが明らかになりました。したがって、有界単調列の収束定理より、その極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{
x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。そこで、この極限をもとの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ x_{k}\ |\ k\geq n\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。
\end{equation*}が1つの実数として定まる。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \quad \because \left\{
S_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sup \left\{ 1,1,\cdots \right\} \quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
S_{n}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}S_{n}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq \frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \quad \because \left\{
S_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sup \left\{ \frac{1}{n+1},\frac{1}{n+2},\cdots \right\} \quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
S_{n}=\frac{1}{n+1} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}S_{n}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+1}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \quad \because \left\{
S_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sup \left\{ -1,1\right\} \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
S_{n}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}S_{n}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
有界数列の下極限
有界な数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :m\leq x_{n}\leq M
\end{equation*}が成り立つということです。
番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の\(n\)番目以降の項\(x_{n},x_{n+1},\cdots \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。この集合は下に有界であるため、その下限\begin{equation*}
s_{n}=\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。
それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の下限\(s_{n}\)を特定することにより、数列\begin{gather*}s_{1}=\inf \left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \\
s_{2}=\inf \left\{ x_{2},x_{3},\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ s_{n}\right\} =\left\{ \inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\right\}
\end{equation*}が得られます。ただし、\begin{equation*}
\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \supset \left\{ x_{2},x_{3},\cdots
\right\} \supset \cdots
\end{equation*}ゆえに、包含関係と下限の関係より、\begin{equation*}
\inf \left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \leq \inf \left\{
x_{2},x_{3},\cdots \right\} \leq \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
S_{1}\leq S_{2}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)は単調増加列です。加えて、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :s_{n}\leq M
\end{equation*}が成り立つため、この数列は上に有界です。
以上より、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は上に有界な単調増加数列であることが明らかになりました。したがって、有界単調列の収束定理より、その極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{
x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。そこで、この極限をもとの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ x_{k}\ |\ k\geq n\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。
\end{equation*}が1つの実数として定まる。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \quad \because \left\{
s_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\inf \left\{ 1,1,\cdots \right\} \quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
s_{n}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}s_{n}\quad \because \text{下極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq \frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \quad \because \left\{
s_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\inf \left\{ \frac{1}{n+1},\frac{1}{n+2},\cdots \right\} \quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
s_{n}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}s_{n}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \quad \because \left\{
s_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\inf \left\{ -1,1\right\} \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
s_{n}=-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}s_{n}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }-1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。
数列の上極限や下極限は有限であるとは限らない
数列の上極限や下極限は有限な実数として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であるものとします。この数列の上極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}S_{n}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\quad \because \left\{ S_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ n,n+1,\cdots \right\} \quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( +\infty \right) \quad \because \left\{
n,n+1,\cdots \right\} \text{は上に有界ではない} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。また、この数列の下極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}s_{n}\quad \because \text{下極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\quad \because \left\{ s_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ n,n+1,\cdots \right\} \quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。
上極限が有限であるための必要十分条件
数列が有界である場合、その数列の上極限は有限な実数として定まることが明らかになりました。では逆に、数列の上極限が有限な実数である場合、その数列が有界であることを保証できるのでしょうか。
数列の上極限が有限な実数として定まる場合、その数列は上に有界であることが保証されます。
有限な上極限を持つ数列は上に有界であることが明らかになりましたが、その一方で、そのような数列は下に有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
-n & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この数列は上に有界である一方で下に有界ではありません。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \quad \because \left\{
S_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\sup \left\{ 1,-\left( n+1\right) ,\cdots \right\} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
\sup \left\{ 1,-n,\cdots \right\} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right. \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
S_{n}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}S_{n}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
有限な上極限を持つ数列は上に有界である一方で下に有界であるとは限らないことが明らかになりました。ただ、そのような数列の極限が負の無限大ではないことは保証されます。逆の議論も成立するため以下の命題を得ます。
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\not=-\infty
\end{eqnarray*}をともに満たすことと、上極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup x_{n}\)が有限な実数として定まることは必要十分である。
下極限が有限であるための必要十分条件
数列が有界である場合、その数列の下極限は有限な実数として定まることが明らかになりました。では逆に、数列の下極限が有限な実数である場合、その数列が有界であることを保証できるのでしょうか。
数列の下極限が有限な実数として定まる場合、その数列は下に有界であることが保証されます。
有限な下極限を持つ数列は下に有界であることが明らかになりましたが、その一方で、そのような数列は上に有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
n & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この数列は下に有界である一方で上に有界ではありません。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \quad \because \left\{
s_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\inf \left\{ -1,n+1,\cdots \right\} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
\inf \left\{ -1,n,\cdots \right\} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right. \\
&=&-1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
s_{n}=-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}s_{n}\quad \because \text{下極限の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -1\right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。
有限な下極限を持つ数列は下に有界である一方で上に有界であるとは限らないことが明らかになりました。ただ、そのような数列の極限が正の無限大ではないことは保証されます。逆の議論も成立するため以下の命題を得ます。
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\not=+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たすことと、下極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf x_{n}\)が有限な実数として定まることは必要十分である。
有界数列の特徴づけ
これまで示した諸命題を踏まえると以下を得ます。
上極限と下極限の特徴づけ
数列の上極限を以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことと、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}<L+\varepsilon \right) \\
&&\left( c\right) \ \forall \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge L-\varepsilon <x_{n}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分である。
下極限についても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つことと、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow L-\varepsilon <x_{n}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge x_{n}<L+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分である。
有界数列の上極限と下極限は一致するとは限らない
有界数列の上極限と下極限はそれぞれ有限な実数として定まりますが、両者が一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ます。
まずは、上極限と下極限が一致する有界数列の例を挙げます。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。先に示したように、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&1 \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&1
\end{eqnarray*}であるため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上極限と下極限は一致します。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq \frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。先に示したように、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&0 \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&0
\end{eqnarray*}であるため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上極限と下極限は一致します。
続いて、上極限と下極限が異なる有界数列の例です。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。先に示したように、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&1 \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&-1
\end{eqnarray*}であるため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上極限と下極限は異なります。
有界数列の上極限は下極限以上
有界数列の上極限と下極限はそれぞれ有限な実数として定まりますが、両者が一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ることが明らかになりました。ただ、上極限は必ず下極限以上になります。
x_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。先に示したように、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&1 \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\sup
x_{n}
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq \frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。先に示したように、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&0 \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\sup
x_{n}
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。先に示したように、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&1 \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&-1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\sup
x_{n}
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
-1 & \left( if\ n\text{が奇数}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}として与えられているものとします。上極限と下極限をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}として与えられているものとします。上極限と下極限をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}として与えられているものとします。上極限と下極限をそれぞれ求めてください。
\infty }\sup x_{n}\text{が有限な実数である} \\
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{n}\right\} \text{は上に有界ではない} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty
\end{eqnarray*}
\infty }\inf x_{n}\text{が有限な実数である} \\
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{n}\right\} \text{は下に有界ではない} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}
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