拡大実数列の上極限
拡大実数を項として持つ拡大実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が与えられたとき、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の項\(x_{n},x_{n+1},\cdots \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合は上限を必ず持つため、この集合の上限\begin{equation*}\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}をとることができます。ただし、この上限は有限な実数であるとは限らず、無限大である可能性もあります。
それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の上限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}S_{1}=\sup \left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \\
S_{2}=\sup \left\{ x_{2},x_{3},\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ S_{n}\right\} =\left\{ \sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られます。上限の定義より、\begin{equation*}
\sup \left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \geq \sup \left\{
x_{2},x_{3},\cdots \right\} \geq \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
S_{1}\geq S_{2}\geq \cdots
\end{equation*}が成り立つため、この拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)は単調減少します。したがって、この\(\left\{S_{n}\right\} \)は有限な実数か負の無限大へ収束するため、その極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{
x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}は拡大実数値として定まります。これをもとの拡大実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。
\begin{array}{l}
x_{1}=+\infty \\
x_{n}=\frac{1}{n-1}\quad \left( n\geq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}として与えられているものとします。\begin{eqnarray*}
S_{1} &=&\sup \left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ +\infty ,1,\frac{1}{2},\cdots \right\} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}である一方で、\(n\geq 2\)を満たす\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ \frac{1}{n-1},\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\cdots \right\} \\
&=&\frac{1}{n-1}
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
S_{1}=+\infty \\
S_{n}=\frac{1}{n-1}\quad \left( n\geq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n-1}
\\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=0
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ n,n+1,n+2,\cdots \right\} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}S_{n}=+\infty
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
+\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=+\infty
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ +\infty ,+\infty ,+\infty ,\cdots \right\} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}S_{n}=+\infty
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
+\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=+\infty
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ \left( -1\right) ^{n},\left( -1\right) ^{n+1},\left(
-1\right) ^{n+2},\cdots \right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}S_{n}=1
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=1
\end{equation*}であることが明らかになりました。
拡大実数列の下極限
拡大実数を項として持つ拡大実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が与えられたとき、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の項\(x_{n},x_{n+1},\cdots \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合は下限を必ず持つため、この集合の下限\begin{equation*}\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}をとることができます。ただし、この下限は有限な実数であるとは限らず、無限大である可能性もあります。
それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の下限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}s_{1}=\inf \left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \\
s_{2}=\inf \left\{ x_{2},x_{3},\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ s_{n}\right\} =\left\{ \inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られます。下限の定義より、\begin{equation*}
\inf \left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \leq \inf \left\{
x_{2},x_{3},\cdots \right\} \leq \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立つため、この拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)は単調増加します。したがって、この\(\left\{s_{n}\right\} \)は有限な実数か正の無限大へ収束するため、その極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{
x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{equation*}は拡大実数値として定まります。これをもとの拡大実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。
\begin{array}{l}
x_{1}=+\infty \\
x_{n}=\frac{1}{n-1}\quad \left( n\geq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}として与えられているものとします。\begin{eqnarray*}
s_{1} &=&\inf \left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ +\infty ,1,\frac{1}{2},\cdots \right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方で、\(n\geq 2\)を満たす\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ \frac{1}{n-1},\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\cdots \right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=0
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}=0
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ n,n+1,n+2,\cdots \right\} \\
&=&n
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=n
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}=+\infty
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ +\infty ,+\infty ,+\infty ,\cdots \right\} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=+\infty
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
+\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}=+\infty
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ \left( -1\right) ^{n},\left( -1\right) ^{n+1},\left(
-1\right) ^{n+2},\cdots \right\} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=-1
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }-1 \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}=-1
\end{equation*}であることが明らかになりました。
拡大実数列の上極限と下極限の関係
拡大実数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、その上極限は下極限以上になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\sup
x_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。
x_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
拡大実数列の上極限は下極限以上になることが明らかになりました。したがって、上極限と下極限が一致する状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
\begin{array}{l}
x_{1}=+\infty \\
x_{n}=\frac{1}{n-1}\quad \left( n\geq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}として与えられているものとします。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&0 \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成立しています。
\end{equation*}で与えられているものとします。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&+\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成立しています。
\end{equation*}で与えられているものとします。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&+\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成立しています。
その一方で、上極限と下極限は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} &=&1 \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n} &=&-1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}<\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成立しています。
演習問題
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
+\infty & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}として与えられているものとします。上極限と下極限をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}として与えられているものとします。上極限と下極限をそれぞれ求めてください。
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