関数の上極限と片側上極限の関係
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、定義域上の点\(c\in \left(a,b\right) \)を任意に選びます。
関数\(f\)の\(x\rightarrow c\)の場合の上極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c}\sup f\left( x\right) =\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup
f\left( \left( c-\delta ,c\right) \cup \left( c,c+\delta \right) \right)
\end{equation*}と定まり、\(x\rightarrow c+\)の場合の右上極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c+}\sup f\left( x\right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\sup f\left( \left( c,c+\delta \right) \right)
\end{equation*}と定まり、\(x\rightarrow c-\)の場合の左上極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c-}\sup f\left( x\right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\sup f\left( \left( c-\delta ,c\right) \right)
\end{equation*}と定まりますが、これらがいずれも有限な実数として定まる場合には、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow c}\sup f\left( x\right) =\max \left\{ \lim_{x\rightarrow
c+}\sup f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow c-}\sup f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
c+}\sup f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow c-}\sup f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合の上極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) =a
\end{equation*}である一方で、片側上極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) &=&a \\
\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) &=&a
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\max \left\{ \lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
a-}\sup f\left( x\right) \right\} &=&\max \left\{ a,a\right\} \\
&=&a
\end{eqnarray*}です。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) =\max \left\{ \lim_{x\rightarrow
a+}\sup f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}が成立していることが明らかになりました。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の上極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\sup f\left( x\right) =1
\end{equation*}である一方で、片側上極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\max \left\{ \lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
0-}\sup f\left( x\right) \right\} &=&\max \left\{ 1,0\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\sup f\left( x\right) =\max \left\{ \lim_{x\rightarrow
0+}\sup f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}が成立していることが明らかになりました。
上極限や片側上極限が有限な実数として定まらない場合、先の命題の主張は成り立つとは限りません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の上極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\sup f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}である一方で、片側上極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) &=&1
\end{eqnarray*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\sup f\left( x\right) =\max \left\{ \lim_{x\rightarrow
0+}\sup f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}は成立しません。
関数の下極限と片側下極限の関係
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、定義域上の点\(c\in \left(a,b\right) \)を任意に選びます。
関数\(f\)の\(x\rightarrow c\)の場合の下極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c}\inf f\left( x\right) =\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf
f\left( \left( c-\delta ,c\right) \cup \left( c,c+\delta \right) \right)
\end{equation*}と定まり、\(x\rightarrow c+\)の場合の右下極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c+}\inf f\left( x\right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\inf f\left( \left( c,c+\delta \right) \right)
\end{equation*}と定まり、\(x\rightarrow c-\)の場合の左下極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c-}\inf f\left( x\right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\inf f\left( \left( c-\delta ,c\right) \right)
\end{equation*}と定まりますが、これらがいずれも有限な実数として定まる場合には、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow c}\inf f\left( x\right) =\min \left\{ \lim_{x\rightarrow
c+}\inf f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow c-}\inf f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
c+}\inf f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow c-}\inf f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合の下極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) =a
\end{equation*}である一方で、片側上極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right) &=&a \\
\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right) &=&a
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\min \left\{ \lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
a-}\inf f\left( x\right) \right\} &=&\min \left\{ a,a\right\} \\
&=&a
\end{eqnarray*}です。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) =\min \left\{ \lim_{x\rightarrow
a+}\inf f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}が成立していることが明らかになりました。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の下極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\inf f\left( x\right) =0
\end{equation*}である一方で、片側上極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\min \left\{ \lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
0-}\inf f\left( x\right) \right\} &=&\max \left\{ 1,0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\inf f\left( x\right) =\min \left\{ \lim_{x\rightarrow
0+}\inf f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}が成立していることが明らかになりました。
下極限や片側下極限が有限な実数として定まらない場合、先の命題の主張は成り立つとは限りません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の下極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\inf f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}である一方で、片側下極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) &=&-1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right) &=&-1
\end{eqnarray*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\inf f\left( x\right) =\inf \left\{ \lim_{x\rightarrow
0+}\inf f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}は成立しません。
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