有界変動関数どうしの積

有界変動関数どうしの積

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。すると、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left(
x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
f\cdot g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f,g\)がともに区間\(\left[a,b\right] \)上で有界変動であるものとします。つまり、関数\(f\)の区間\(\left[a,b\right] \)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}と、関数\(g\)の区間\(\left[ a,b\right]\)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( g\right) &=&\sup \left\{ V\left( g,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert g\left( x_{k}\right) -g\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まるということです。有界変動関数は有界であるため、\begin{eqnarray*}
\sup f\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} <+\infty \\
\sup g\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\sup \left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} <+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立ち、したがって、\begin{eqnarray*}
\sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right) &=&\sup
\left\{ \left\vert f\left( x\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} <+\infty \\
\sup \left\vert g\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right) &=&\sup
\left\{ \left\vert g\left( x\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} <+\infty
\end{eqnarray*}もまた成り立つことに注意してください。この場合、関数\(f\cdot g\)もまた区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動になることが保証されるとともに、これらの関数の全変動の間には以下の関係\begin{equation*}TV\left( f\cdot g\right) \leq \sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right) \cdot TV\left( g\right) +\sup \left\vert g\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right) \cdot TV\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動な関数\(f,g\)どうしの積の形をしている関数\(f\cdot g\)が与えられたとき、\(f\cdot g\)もまた区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であることが保証されます。したがって、何らかの関数\(f,g\)の積の形をしている関数\(f\cdot g\)の有界変動性を検討する際には、\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが有界変動であることを確認すればよいということになります。

絶対値関数は非負値をとり、非負値をとる関数の上限は非負の実数であるため、先の命題を以下のように表現することもできます。

多項式関数は有界変動関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるということです。

定数関数は有界変動であるため関数\(c_{0}\)は有界変動です。恒等関数\(x\)は有界変動であり、有界変動関数の定数倍は有界変動であるため関数\(c_{1}x\)は有界変動です。有界変動関数どうしの積は有界変動であるため関数\(x^{2}\)は有界変動であり、有界変動関数の定数倍は有界変動であるため関数\(c_{2}x^{2}\)は有界変動です。同様の議論を繰り返すことにより、関数\(c_{n}x^{n}\)が有界変動であることが示されます。さらに、有界変動関数どうしの和は有界変動であるため\(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots+c_{n}x^{n}\)すなわち\(f\)は有界変動です。以上より、多項式関数は有界変動であることが明らかになりました。

演習問題