無限大における関数の極限

正の無限大における関数の極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。

関数\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくした場合に\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は\(b\)に収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow +\infty \ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow +\infty \)のときの\(f\)の極限（limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

まず、\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近いと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(f\left(x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(x\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値より大きい任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある実数\(M\in \mathbb{R} \)が存在して、\(x>M\)を満たす任意の\(x\)について\(\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の命題が成り立つのであれば、「\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \)が\(b\)に収束することとは、\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left(x\right) \)が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく大きい任意の点において定義されている場合、有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくする場合、\(f\left( x\right) \)の値が有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}になるということです。

ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(x\)が満たすべき条件を規定する実数\(M\)として正の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。

負の無限大における関数の極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。

関数\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくした場合に\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)は\(b\)に収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow -\infty \ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow -\infty \)のときの\(f\)の極限（limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

まず、\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近いと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(f\left(x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(x\)が小さくなるにつれて」という表現の定式化です。\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値より大きい任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある実数\(m\in \mathbb{R} \)が存在して、\(x<m\)を満たす任意の\(x\)について\(\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x<m\Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の命題が成り立つのであれば、「\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \)が\(b\)に収束することとは、\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left(x\right) \)が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x<m\Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく小さい任意の点において定義されている場合、有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくする場合、\(f\left( x\right) \)の値が有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x<m\Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}になるということです。

ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists m<0,\ \forall x\in X:\left( x<m\Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(x\)が満たすべき条件を規定する実数\(m\)として負の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。

無限大における関数の極限の一意性

関数が正の無限大において有限な実数へ収束する場合、その極限は1つの実数として定まります。同様に、関数が負の無限大において有限な実数へ収束する場合、その極限は1つの実数として定まります。

演習問題