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無限大における関数の極限

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正の無限大における関数の極限

これまでは関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、その変数\(x\)がある点\(a\in \mathbb{R} \)とは異なる定義域\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づく際の\(f\)の極限について考えましたが、\(f\)が限りなく大きい任意の実数において定義されている場合、変数\(x\)が限りなく大きくなる場合の\(f\)の極限を考えることもできます。

具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が限りなく大きい任意の実数を要素として持つとき、変数\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(b\)に限りなく近づくならば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は\(b\)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記します。繰り返しになりますが、\(x\)が限りなく大きくなる場合の\(f\)の収束可能性について議論する際には、\(f\)は限りなく大きい任意の実数において定義されている必要があります。具体例を挙げると、関数\(f\)の定義域\(X\)が全区間\(\mathbb{R} \)や無限区間\([s,+\infty ),(s,+\infty )\)などであれば問題ありません。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)が有界な区間\(\left[ s,t\right] ,\left( s,t\right) \)である場合などには、\(f\)は限りなく大きい任意の実数において定義されていないため、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\left( x\right) \)の値の挙動を調べることができず、したがって\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)が収束するかどうかを検討することさえできません。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに実数\(b\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。まず、\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近いと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(f\left(x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(x\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値以上の任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある正の実数\(M>0\)が存在して、\(x>M\)を満たす任意の\(x\)について\(\left\vert f\left(x\right) -b\right\vert <\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}\exists M>0,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \)が\(b\)に収束することとは、\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left(x\right) \)が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、限りなく小さい実数\(\varepsilon \)を選んだ場合においても、\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 1\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と表現できます。そこで、関数\(f\)が実数\(b\)に対して\(\left( 2\right) \)を満たす場合、\(f\)は\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記します。以上が関数が正の無限大において収束することの定義です。

例(正の無限大における関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものと定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( x>M\Rightarrow \left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( x>M\Rightarrow \frac{1}{x}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}M=\frac{1}{\varepsilon }>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、\begin{equation}
x>M \quad \cdots (2)\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x} &<&\frac{1}{M}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon }}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

負の無限大における関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、変数\(x\)が定義域\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなる場合の極限について考えましたが、\(f\)が限りなく小さい任意の実数において定義されている場合には、変数\(x\)が限りなく小さくなる場合の関数\(f\)の極限を考えることもできます。

具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が限りなく小さい任意の実数を要素として持つとき、変数\(x\)が定義域\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(b\)に限りなく近づくならば、\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)は\(b\)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記します。繰り返しになりますが、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の収束可能性について議論する際には、当然ながら、\(f\)は限りなく小さい任意の実数において定義されている必要があります。具体例を挙げると、関数\(f\)の定義域\(X\)が全区間\(\mathbb{R} \)や無限区間\((-\infty ,t],(-\infty ,t)\)などであれば問題ありません。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)が有界な区間\(\left[ s,t\right] ,\left( s,t\right) \)である場合などには、\(f\)は限りなく小さい任意の実数において定義されていないため、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の\(f\left( x\right) \)の値の挙動を調べることができず、したがって\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)が収束するかどうかを検討することさえできません。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow -\infty \)のときに実数\(b\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。まず、\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近いと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(f\left(x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(x\)が小さくなるにつれて」という表現の定式化です。\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値以下の任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある負の実数\(L<0\)が存在して、\(x<L\)を満たす任意の\(x\)について\(\left\vert f\left(x\right) -b\right\vert <\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}\exists L<0,\ \forall x\in X:\left( x<L\Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \)が\(b\)に収束することとは、\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left(x\right) \)が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、限りなく小さい実数\(\varepsilon \)を選んだ場合においても、\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 1\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in X:\left( x<L\Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と表現できます。そこで、関数\(f\)が実数\(b\)に対して\(\left( 2\right) \)を満たす場合、\(f\)は\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記します。以上が関数が負の無限大において収束することの定義です。

例(負の無限大における関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものと定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( x<L\Rightarrow \left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( x<L\Rightarrow -\frac{1}{x}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}L=-\frac{1}{\varepsilon }<0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、\begin{equation}
x<L \quad \cdots (2)\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}-\frac{1}{x} &<&-\frac{1}{L}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\\
&=&-\frac{1}{-\frac{1}{\varepsilon }}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

無限大における関数の極限の一意性

関数が正の無限大において有限な実数へ収束するとき、その極限は1つの実数として定まります。同様に、関数が負の無限大において有限な実数へ収束するとき、その極限は1つの実数として定まります。

命題(無限大における関数の極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が正の無限大\(+\infty \)に関して極限\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right) \in \mathbb{R} \)を持つ場合、それは一意的である。また\(f\)が負の無限大\(-\infty \)に関して極限\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left(x\right) \in \mathbb{R} \)を持つ場合、それは一意的である。
証明

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演習問題

問題(無限大における関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =7-\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =7
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(無限大における関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(無限大における関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{8}{x^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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次回は無限大において関数が収束すること(しないこと)を数列を用いて判定する方法を解説します。

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