狭義単調関数の逆関数

狭義単調増加関数と狭義単調減少関数を総称して狭義単調関数と呼びます。狭義単調関数は全単射であるため、その逆関数が必ず存在します。

狭義単調関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\ \Rightarrow \ f\left( x\right) <f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす場合には、\(f\)を狭義単調増加関数(strictly monotonically increasing function)と呼び、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\ \Rightarrow \ f\left( x\right) >f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす場合には、\(f\)を狭義単調減少関数(strictly monotonically decreasing function)と呼びます。また、狭義単調増加関数と狭義単調減少関数を総称して狭義単調関数(strictly monotone function)と呼びます。

例(狭義単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を定めるものとします。ただし、\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。\(x<x^{\prime }\)を満たす非負の実数\(x,x^{\prime }\)を任意にとると、\begin{eqnarray*}
f\left( x^{\prime }\right) -f\left( x\right) &=&\left( x^{\prime }\right) ^{2}-x^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x^{\prime }+x\right) \left( x^{\prime }-x\right) \\
&>&0\quad \because x>0,\ x^{\prime }>0,\ x<x^{\prime }
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は狭義単調増加関数です。
例(狭義単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow f\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を定めるものとします。\(-1,0,1\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
f\left( -1\right) =1,\ f\left( 0\right) =0,\ f\left( 1\right) =1
\end{equation*}であることから、\(f\left( -1\right) >f\left( 0\right) <f\left( 1\right) \)が成り立ちます。したがって、\(f\)は狭義単調増加関数と狭義単調減少関数のどちらでもありません。
例(狭義単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \{1,2,3\}\rightarrow \{4,5,6\}\)が、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =4,\ f\left( 2\right) =5,\ f\left( 3\right) =6
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は狭義単調増加関数です。一方、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =6,\ f\left( 2\right) =5,\ f\left( 3\right) =4
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は狭義単調減少関数です。また、例えば、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =4,\ f\left( 2\right) =6,\ f\left( 3\right) =5
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は狭義単調増加関数と狭義単調減少関数のどちらでもありません。

 

狭義単調関数の逆関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が狭義単調増加関数であるものとします。この関数\(f\)の終集合\(\mathbb{R}\)を値域\(f\left( X\right) =\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\}\)に制限して\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)とすれば、この\(f\)は明らかに全射です。つまり、\begin{equation*}
\forall y\in f\left( X\right) ,\ \exists x\in X:y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(x\not=x^{\prime }\)を満たす\(x,x^{\prime }\in X\)を任意にとると、\(x<x^{\prime }\)の場合には\(f\)の狭義単調増加性より\(f\left( x\right) <f\left( x^{\prime }\right) \)となり、\(x>x^{\prime }\)の場合には同じく\(f\)の狭義単調増加性より\(f\left( x\right) >f\left( x^{\prime }\right) \)となります。いずれの場合も\(f\left( x\right) \not=f\left( x^{\prime }\right) \)となるため、\(f\)は単射です。つまり、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x\not=x\ \Rightarrow \ f\left( x\right) \not=f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって、狭義単調増加関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)は全単射です。

全単射について復習する

狭義単調減少関数についても同様です。

命題(狭義単調関数は全単射)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)が狭義単調関数であるならば、これは全単射である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

関数が全単射であることは、その関数が逆関数を持つための必要十分条件です。したがって、以下が成り立ちます。

命題(狭義単調関数は逆関数を持つ)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)が狭義単調関数であるならば、逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在する。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(狭義単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は狭義単調増加関数であるため、逆関数\(f^{-1}:f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在します。\(x\geq 0\)であることを踏まえた上で\(y=x^{2}\)を\(x\)について解くと\(x=\sqrt{y}\)となります。したがって、逆関数\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\in f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に対して\(f^{-1}\left( y\right) =\sqrt{y}\)を定めます。
例(狭義単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \{1,2,3\}\rightarrow \{4,5,6\}\)が、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =4,\ f\left( 2\right) =5,\ f\left( 3\right) =6
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は狭義単調増加関数であるため、逆関数\(f^{-1}:\{4,5,6\}\rightarrow \{1,2,3\}\)が存在し、これは、\begin{equation*}
f^{-1}\left( 4\right) =1,\ f^{-1}\left( 5\right) =2,\ f^{-1}\left( 6\right) =3
\end{equation*}を満たします。

 

単調関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\ \Rightarrow \ f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす場合には、\(f\)を単調増加関数(monotonically increasing function)や単調非減少関数(monotonically non-decreasing function)などと呼び、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\ \Rightarrow \ f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす場合には、\(f\)を単調減少関数(monotonically decreasing function)や単調非増加関数(monotonically non-increasing function)などと呼びます。また、単調増加関数と単調減少関数を総称して単調関数(monotone function)と呼びます。

狭義単調増加関数は単調増加関数ですが、その逆は成り立つとは限りません。同じく、狭義単調減少関数は単調減少関数ですが、その逆は成り立つとは限りません。

単調増加関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)が与えられたとき、\(x<x^{\prime }\)を満たす\(x,x^{\prime }\in X\)に対して\(f\left( x\right) =f\left( x^{\prime }\right) \)が成り立つ可能性があるため、この場合に\(f\)は全単射ではなく、したがって逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)は存在しません。単調減少関数についても同様です。狭義単調関数には常に逆関数が存在するのに対し、単調関数には逆関数が存在するとは限らないということです。

次回は区間上に定義された連続な狭義単調関数について学びます。

次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Facebook
Share on twitter
Twitter
Share on email
Email

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

現在地
目次
アカウント
ログイン