逆正接関数の連続性
逆正接関数\begin{equation*}
\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。
命題（逆正接関数の連続性）
逆正接関数\(\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているならば、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)において連続である。
例（逆正接関数の連続性）
逆正接関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、関数\begin{equation*}\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}が定義可能です。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(\arctan \left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
\end{equation*}が定義可能です。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(\arctan \left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例（逆正接関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(x+1\)は点\(a\)において連続です。\(a+1\in \mathbb{R} \)であるため、逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(x+1\)は点\(a\)において連続です。\(a+1\in \mathbb{R} \)であるため、逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例（逆正接関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆正接関数\(\arctan \left(x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の連続性より、\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(a\)において連続です。\(\frac{a^{2}-1}{a-1}=a+1\in \mathbb{R} \)であるため、逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、点\(a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆正接関数\(\arctan \left(x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の連続性より、\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(a\)において連続です。\(\frac{a^{2}-1}{a-1}=a+1\in \mathbb{R} \)であるため、逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、点\(a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で連続です。
逆正接関数の片側連続性
片側連続性についても同様の命題が得られます。
命題（逆正接関数の片側連続性）
逆正接関数\(\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)において右側連続である。また、\(\arctan \left(x\right) \)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\arctan \left(x\right) \)は点\(a\)において左側連続である。
例（逆正接関数の片側連続性）
逆正接関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、関数\begin{equation*}\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}が定義可能です。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(\arctan \left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続です。
\end{equation*}が定義可能です。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(\arctan \left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続です。
例（逆正接関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x^{\frac{1}{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(0\)に注目したとき、無理関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{\frac{1}{2}}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x^{\frac{1}{2}}\)は\(0\)よりも大きい値をとりながら\(0\)に限りなく近づきます。逆正接関数\(\arctan\left( x\right) \)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正接関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( 0\right) =0
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(0\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\arctan
\left( x^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。その一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( 0\right) &=&\arctan \left( 0^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arctan \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(f\)は点\(0\)において右側連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(0\)に注目したとき、無理関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{\frac{1}{2}}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x^{\frac{1}{2}}\)は\(0\)よりも大きい値をとりながら\(0\)に限りなく近づきます。逆正接関数\(\arctan\left( x\right) \)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正接関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( 0\right) =0
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(0\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\arctan
\left( x^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。その一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( 0\right) &=&\arctan \left( 0^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arctan \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(f\)は点\(0\)において右側連続です。
演習問題
問題（逆正接関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( \frac{x}{4}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
問題（逆正接関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( 2\arctan \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
