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余弦関数(cos関数)の極限

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余弦関数の極限

余弦関数\(\cos :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(x\rightarrow a\)のときに\(\cos \left( x\right) \)は有限な実数へ収束するとともに、そこでの極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}となります。

命題(余弦関数の極限)

余弦関数\(\cos :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(余弦関数の極限)
余弦関数は全区間上に定義可能であるため、関数\(\cos :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\cos \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された余弦関数は定義域上の任意の点において有限な極限を持つということです。
例(余弦関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( 3x^{2}+2x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{2}+2x+1\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x^{2}+2x+1\right) =3a^{2}+2a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(3a^{2}+2a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、余弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a^{2}+2a+1}\cos \left( x\right) =\cos \left(
3a^{2}+2a+1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(3a^{2}+2a+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
3x^{2}+2x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( 3a^{2}+2a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(余弦関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めます。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されており、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left( x+1\right) \left( x-1\right) }{x-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( x+1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(1\)の周辺の任意の点において定義されているため、余弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1}\cos \left( x\right) =\cos \left( 1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
\frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( 1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

余弦関数の片側極限

先の命題を踏まえると、片側極限に関する以下の命題が得られます。

命題(余弦関数の片側極限)
余弦関数\(\cos :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ち、点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(余弦関数の片側極限)
有界閉区間上に余弦関数\(\sin :\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。定義域の内点\(a\in \left( 0,\pi \right) \)を任意に選んだとき、余弦関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(0\)に注目したとき、余弦関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right) =\cos \left( 0\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(\pi \)に注目したとき、余弦関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right) =\cos \left( \pi \right) =-1
\end{equation*}が成り立ちます。

例(余弦関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\cos \left( x\right) & \left( if\ x<0\right) \\
x+1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
x\right) \quad \because a<0 \\
&=&\cos \left( a\right) \quad \because \text{余弦関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\cos \left(
x\right) \quad \because x<0 \\
&=&\cos \left( 0\right) \quad \because \text{余弦関数の左側極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
x+1\right) \quad \because x>0 \\
&=&0+1\quad \because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}f\left(
x\right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となります。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x+1\right) \quad \because a>0 \\
&=&a+1\quad \because \text{多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

余弦関数の無限大における極限

余弦関数\(\cos :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく大きい任意の点や限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。余弦関数は周期\(2\pi \)の周期関数であるため、\(x\rightarrow+\infty \)の場合や\(x\rightarrow -\infty \)の場合、有限な実数へ収束せず、正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へも発散しません。

 

演習問題

問題(余弦関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cos \left( x\right) }{\sin \left( x\right) -3}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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問題(余弦関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cos \left( x\right) }{\sin \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0+\)のときの\(f\)の右側極限を求めてください。
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次回は正接関数の極限について解説します。

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