余弦関数（cos関数）の極限

余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

余弦関数は全区間上に定義可能であるため、関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\cos \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された余弦関数は定義域上の任意の点において有限な極限を持つということです。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( 3x^{2}+2x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{2}+2x+1\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x^{2}+2x+1\right) =3a^{2}+2a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(3a^{2}+2a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、余弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a^{2}+2a+1}\cos \left( x\right) =\cos \left(
3a^{2}+2a+1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(3a^{2}+2a+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
3x^{2}+2x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( 3a^{2}+2a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めます。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left( x+1\right) \left( x-1\right) }{x-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( x+1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(1\)の周辺の任意の点において定義されているため、余弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1}\cos \left( x\right) =\cos \left( 1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
\frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( 1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\cos \left( x\right) \)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

有界閉区間上に余弦関数\(\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。定義域の内点\(a\in \left( 0,\pi \right) \)を任意に選んだとき、余弦関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(0\)に注目したとき、余弦関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right) =\cos \left( 0\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(\pi \)に注目したとき、余弦関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right) =\cos \left( \pi \right) =-1
\end{equation*}が成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\cos \left( x\right) & \left( if\ x<0\right) \\
x+1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =\cos \left(x\right) \)であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
x\right) \\
&=&\cos \left( a\right) \quad \because \text{余弦関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)より小さい周辺の任意の点において\(f\left( x\right) =\cos \left(x\right) \)であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\cos \left(
x\right) \\
&=&\cos \left( 0\right) \quad \because \text{余弦関数の左側極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}である一方で、点\(0\)より大きい周辺の任意の点において\(f\left( x\right) =x+1\)であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
x+1\right) \\
&=&0+1\quad \because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}f\left(
x\right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となります。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x+1\)であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x+1\right) \\
&=&a+1\quad \because \text{多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cos \left( x\right) }{\sin \left( x\right) -3}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cos \left( x\right) }{\sin \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0+\)のときの\(f\)の右側極限を求めてください。

以下の極限を求めてください。\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\left[ \frac{\cos \left( \frac{x}{2}\right) }{\pi -x}\right] \end{equation*}