余弦関数（cos関数）の極限

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( 3x^{2}+2x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{2}+2x+1\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x^{2}+2x+1\right) =3a^{2}+2a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(3a^{2}+2a+1\in \mathbb{R} \)であるため、余弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a^{2}+2a+1}\cos \left( x\right) =\cos \left(
3a^{2}+2a+1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(3a^{2}+2a+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
3x^{2}+2x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( 3a^{2}+2a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の\(f\)の極限を求めます。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left( x+1\right) \left( x-1\right) }{x-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( x+1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(1\in \mathbb{R} \)であるため、余弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1}\cos \left( x\right) =\cos \left( 1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\cos \left( x\right) \)は点\(1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
\frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( 1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\cos \left(
a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\cos \left(
a\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\cos \left( x\right) & \left( if\ x<0\right) \\
x+1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =\cos \left(x\right) \)であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
x\right) \\
&=&\cos \left( a\right) \quad \because \text{余弦関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)より小さい周辺の任意の点において\(f\left( x\right) =\cos \left(x\right) \)であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\cos \left(
x\right) \\
&=&\cos \left( 0\right) \quad \because \text{余弦関数の左側極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}である一方で、点\(0\)より大きい周辺の任意の点において\(f\left( x\right) =x+1\)であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
x+1\right) \\
&=&0+1\quad \because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}f\left(
x\right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となります。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x+1\)であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x+1\right) \\
&=&a+1\quad \because \text{多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cos \left( x\right) }{\sin \left( x\right) -3}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cos \left( x\right) }{\sin \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0+\)の場合の\(f\)の右側極限を求めてください。

以下の極限を求めてください。\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\left[ \frac{\cos \left( \frac{x}{2}\right) }{\pi -x}\right] \end{equation*}