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1変数関数

整数ベキ関数の連続性

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無理関数の連続性

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整数ベキ関数の連続性

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、負の整数ベキ関数\begin{equation*}\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について考えます。整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)は定数関数\(1\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の商であるため、\(\frac{1}{x^{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(整数ベキ関数の連続性)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\frac{1}{x^{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\frac{1}{x^{n}}\)は点\(a\)において連続である。
証明

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例(整数ベキ関数の連続性)
整数ベキ関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能であるため、自然数\(n\)を任意に選んだとき、関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(\frac{1}{x^{n}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より\(\frac{1}{x^{n}}\)は点\(a\)において連続です。つまり、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義された整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であるということです。
例(整数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(x^{4}+2x^{2}+1\)は点\(a\)において連続です。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は点\(a^{4}+2a^{2}+1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、整数ベキ関数の連続性より、\(x^{-3}\)は点\(a^{4}+2a^{2}+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(整数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{-4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の連続性より、\(\frac{x+1}{\left(1-x\right) ^{3}}\)は点\(a\)において連続です。\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)である場合、整数ベキ関数\(x^{-4}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、整数ベキ関数の連続性より、\(x^{-4}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上で連続です。

 

整数ベキ関数の片側連続性

片側連続性に関しても先と同様の命題が成り立ちます。

命題(整数ベキ関数の片側連続性)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\frac{1}{x^{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\frac{1}{x^{n}}\)は点\(a\)において右側連続である。また、\(\frac{1}{x^{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\frac{1}{x^{n}}\)は点\(a\)において左側連続である。
証明

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例(整数ベキ関数の連続性)
自然数\(n\)を任意に選んだとき、有界閉区間上に整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。定義域の内点\(a\in \left( 1,2\right) \)を任意に選んだとき、整数ベキ関数の連続性より、\(\frac{1}{x^{n}}\)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(1\)に注目したとき、整数ベキ関数の右側連続性より、\(\frac{1}{x^{n}}\)は点\(1\)において右側連続です。義域の端点\(2\)に注目したとき、整数ベキ関数の左側連続性より、\(\frac{1}{x^{n}}\)は点\(2\)において右側連続です。したがって、\(\frac{1}{x^{n}}\)は\(\left[ 1,2\right] \)上で連続です。

 

演習問題

問題(整数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。
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問題(整数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1,2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1,2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}\right) ^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。
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