有界変動関数と連続関数の関係

有界変動関数は連続関数であるとは限らない

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。

関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動であることは、\(\left[ a,b\right] \)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}が有限な実数として定まることを意味します。加えて、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動であることと、何らかの2つの単調増加関数\(g,h:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=g-h
\end{equation*}という形で表せることは必要十分です。

一方、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であることは、\begin{equation*}\forall y\in \left[ a,b\right] ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta
>0,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :\left( \left\vert x-y\right\vert
<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( y\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。加えて、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であることと、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall y\in \left[ a,b\right] :\lim_{x\rightarrow
y}f\left( x\right) =f\left( y\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =f\left( b\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことは必要十分です。

有界変動関数は連続でしょうか。まずは有界変動かつ連続な関数の例を挙げます。

一般には、有界変動関数は連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。

連続関数は有界変動関数であるとは限らない

有界変動関数は連続であるとは限らないことが明らかになりました。同時に、連続関数は有界変動であるとは限りません。以下の例より明らかです。

有界変動関数ほとんどいたるところで連続

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動関数であるものとします。

点\(x\in \left( a,b\right] \)を任意に選べば、この点を右側の端点とする区間\(\left[ a,x\right] \)が得られますが、\begin{equation*}\left[ a,x\right] \subset \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立ちます。閉区間上で有界変動な関数は部分閉区間上においても有界変動であるため\(f\)は\(\left[ a,x\right] \)上において有界変動であり、したがって、その全変動\begin{equation*}TV\left( f,\left[ a,x\right] \right)
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。任意の\(x\in \left( a,b\right] \)について同様です。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}TV\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=a\right) \\
TV\left( f,\left[ a,x\right] \right) & \left( if\ x\not=a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
TV:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、この関数は以下の諸性質を満たします。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動関数であるものとします。この場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right) \)上の点\(c\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c+}f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つとともに、\(\left( a,b\right] \)上の点\(c\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c-}f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}がなりたつことが保証されます。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動関数であるものとします。この場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right) \)上の点\(c\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c+}f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つとともに、\(\left( a,b\right] \)上の点\(c\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow c-}f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}がなりたつことが保証されます。

演習問題