関数による像と関数の値域

関数による要素の像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の要素\(x\in X\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合の要素である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を1つずつ定めます。これを\(f\)による\(x\)の値（value）や像（image）などと呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) =y\right\}
\end{equation*}と定義される\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合であるため、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}f\left( x\right) =y\Leftrightarrow \left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることと、\(\left(x,y\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

関数による集合の像・関数の値域

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(f\)は\(A\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)による集合\(A\)の像（image）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}f\left( A\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の始集合\(X\)は\(X\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}もまた定義可能です。これを関数\(f\)の値域（range）と呼び、\begin{equation*}R\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \quad \because \text{関数による像の定義}
\end{eqnarray*}です。

例（関数による集合の像と値域）

写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

\(f\)による閉区間\(\left[ 0,1\right]\subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による閉区間\(\left[ -1,2\right] \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -1,2\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,4\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left\{ 3\right\} \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ 3\right\} \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left\{ 3\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 9\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。

例（関数による集合の像と値域）

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

\(f\)による閉区間\(\left[ 0,1\right]\subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ \frac{1}{x+1}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による半開区間\((-1,0]\subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( (-1,0]\right) &=&\left\{ \frac{1}{x+1}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (-1,0]\right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left\{ -3\right\} \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ -3\right\} \right) &=&\left\{ \frac{1}{x+1}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left\{ -3\right\} \right\} \\
&=&\left\{ -\frac{1}{2}\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \right) \\
&=&\left\{ \frac{1}{x+1}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による始集合の部分集合\(A\subset X\)の像は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}y\in f\left( A\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in A:y=f\left( x\right)
\quad \because f\left( A\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、関数\(f\)による集合\(A\subset X\)の像を、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in A:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(A=X\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in X:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in X:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、関数\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

写像による要素の像と集合の像の関係

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(f\)による\(A\)の像\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}は、\(f\)が\(A\)のそれぞれの要素\(x\)に対して定める像\(f\left( x\right) \)をすべて集めることにより得られる集合であるため、\(x\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) \in f\left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\)による\(A\)の要素の像は、\(f\)による\(A\)の像の要素になることが保証されるということです。

上の命題とは逆に、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の集合\(A\subset X\)について、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in X:\left[ f\left( x\right) \in f\left( A\right) \Rightarrow x\in
A\right] \end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、この命題の否定である、\begin{equation*}
\exists x\in X:\left[ f\left( x\right) \in f\left( A\right) \wedge x\not\in A\right] \end{equation*}を満たすような集合\(A\subset X\)が存在する状況が起こり得ます。以下の例より明らかです。

関数による集合の像と包含関係

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)をそれぞれ任意に選びます。両者の間に\(A_{1}\subset A_{2}\)が成り立つ場合には、それらの像の間にも、\begin{equation*}f(A_{1})\subset f\left( A_{2}\right)
\end{equation*}という包含関係が成り立ちます。

上の命題とは逆に、任意の集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)について、以下の関係\begin{equation*}f(A_{1})\subset f\left( A_{2}\right) \Rightarrow A_{1}\subset A_{2}
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、上の命題の否定である、\begin{equation*}
f(A_{1})\subset f\left( A_{2}\right) \wedge A_{1}\not\subset A_{2}
\end{equation*}を満たすような集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)が存在する状況が起こり得ます。以下の例より明らかです。

関数による補集合の像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A\subset X\)をそれぞれ任意に選んだ上で、その補集合\(A^{c}=X\backslash A\)をとります。このとき、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}f\left( A^{c}\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A^{c}\right\} \\
f\left( A\right) ^{c} &=&\mathbb{R} \backslash f\left( A\right)
\end{eqnarray*}の間に何らかの関係は成り立つでしょうか。

後ほど示すように、\(f\)が単射である場合には、\begin{equation*}f\left( A^{c}\right) \subset f\left( A\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立ち、\(f\)が全射である場合には、\begin{equation*}f\left( A\right) ^{c}\subset f\left( A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立ち、\(f\)が全単射である場合には、\begin{equation*}f\left( A^{c}\right) =f\left( A\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立ちますが、一般には、両者の間にこれらの関係は成立しません。以下の例より明らかです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単射である場合には、始集合の部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f\left( A^{c}\right) \subset f\left( A\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。逆の主張もまた成り立つため以下を得ます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が全射である場合には、始集合の部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f\left( A\right) ^{c}\subset f\left( A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。逆の主張もまた成り立つため以下を得ます。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

関数による共通部分の像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、これらの共通部分の像について以下の関係\begin{equation*}f\left( A_{1}\cap A_{2}\right) \subset f\left( A_{1}\right) \cap f\left(
A_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、共通部分の像は像の共通部分の部分集合であるということです。

上の命題とは逆に、任意の\(A_{1},A_{2}\subset X\)について以下の関係\begin{equation*}f\left( A_{1}\right) \cap f\left( A_{2}\right) \subset f\left( A_{1}\cap
A_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、上の命題の否定である、\begin{equation*}
f\left( A_{1}\right) \cap f\left( A_{2}\right) \not\subset f\left( A_{1}\cap
A_{2}\right)
\end{equation*}を満たすような\(A_{1},A_{2}\subset X\)が存在する状況が起こり得るということです。以下の例より明らかです。

ちなみに、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単射である場合には、任意の集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)について、\begin{equation*}f\left( A_{1}\right) \cap f\left( A_{2}\right) \subset f\left( A_{1}\cap
A_{2}\right)
\end{equation*}もまた成立することが保証されます。先の命題の主張を踏まえると、これは、\begin{equation*}
f\left( A_{1}\cap A_{2}\right) =f\left( A_{1}\right) \cap f\left(
A_{2}\right)
\end{equation*}と必要十分です。逆の主張もまた成り立つため以下を得ます。

先の命題は、関数の始集合の2つの部分集合に関するものでしたが、始集合の任意個の部分集合についても同様の主張が成り立ちます。

先の例から明らかであるように、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合\(X\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( A_{\lambda }\right) \subset
f\left( \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。ただし、\(f\)が単射である場合には上の関係もまた成り立つことが保証されます。先の命題の主張を踏まえると、これは、\begin{equation*}f\left( \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( A_{\lambda }\right)
\end{equation*}と必要十分です。逆の主張もまた成り立つため以下を得ます。証明は先の命題と同様です。

関数による和集合の像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)を任意に選びます。このとき、これらの和集合の像について以下の関係\begin{equation*}f\left( A_{1}\cup A_{2}\right) =f\left( A_{1}\right) \cup f\left(
A_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

関数による共通部分の像に関する先の命題とは異なり、和集合の像に関する上の命題では等号が成立することに注意してください。

上の命題は関数の始集合の2つの部分集合に関するものですが、始集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます。

関数による差集合の像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)を任意に選びます。このとき、これらの差集合の像について以下の関係\begin{equation*}f\left( A_{1}\right) \backslash f\left( A_{2}\right) \subset f\left(
A_{1}\backslash A_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

上の命題とは逆に、任意の集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)について以下の関係\begin{equation*}f\left( A_{1}\backslash A_{2}\right) \subset f\left( A_{1}\right) \backslash
f\left( A_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、上の命題の否定である、\begin{equation*}
f\left( A_{1}\backslash A_{2}\right) \not\subset f\left( A_{1}\right)
\backslash f\left( A_{2}\right)
\end{equation*}を満たす集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)が存在する事態が起こり得るということです。以下の例より明らかです。

ちなみに、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単射である場合には、任意の集合\(A_{1},A_{2}\subset X\)について、\begin{equation*}f\left( A_{1}\backslash A_{2}\right) \subset f\left( A_{1}\right) \backslash
f\left( A_{2}\right)
\end{equation*}もまた成立することが保証されます。先の命題の主張を踏まえると、これは、\begin{equation*}
f\left( A_{1}\right) \backslash f\left( A_{2}\right) =f\left(
A_{1}\backslash A_{2}\right)
\end{equation*}と必要十分です。逆の主張もまた成り立つため以下を得ます。

演習問題