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有理関数の極限

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有理関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるということです。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するか検討できますが、\(f\)は多項式関数の商であるため\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}h\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、こうした関係が成り立つのは\(\lim\limits_{x\rightarrow a}h\left( x\right) \not=0\)を満たす点\(a\)に限定されます。

命題(有理関数の極限)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}h\left( x\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}h\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(有理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{3x^{2}+5x-9}{2x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 3x^{2}+5x-9\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 2x\right) }\quad \because \text{有理関数の極限} \\
&=&\frac{3a^{2}+5a-9}{2a}\quad \because \text{多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(有理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{2}+7x-\pi }{2\left( x^{2}-3\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{x^{2}+7x-\pi }{2\left( x^{2}-3\right) }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{x^{2}+7x-\pi }{2x^{2}-6}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+7x-\pi \right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 2x^{2}-6\right) }\quad \because \text{有理関数の極限} \\
&=&\frac{a^{2}+7a-\pi }{2a^{2}-6}\quad \because \text{多項式関数の極限} \\
&=&\frac{a^{2}+7a-\pi }{2\left( a^{2}-3\right) }
\end{eqnarray*}となります。

繰り返しになりますが、有理関数\(f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)の\(x\rightarrow a\)のときの極限が、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}h\left( x\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}として定まるのは、\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow a}h\left( x\right) \not=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(a\)に限定されます。\(\left( 2\right) \)が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}h\left( x\right) =0
\end{equation*}を満たす点\(a\)に関しては、そもそも\(\left( 1\right) \)の右辺が定義不可能であるため、\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限は有限な実数として定まるとは限りませんし、仮に有限な実数として定まる場合でも\(\left( 1\right) \)のような関係は成立しません。以下の例より明らかです。

例(有理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 3,10\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3,10\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x+3}{x^{2}-13x+30}
\end{equation*}を定めるものとします。分母の多項式関数\(x^{2}-13x+30\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3}\left( x^{2}-13x+30\right) &=&3^{3}-13\cdot 3+30\quad
\because \text{多項式関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow 3\)のときの\(f\)の極限を求める際に先の命題を利用できません。実際、誤って先の命題を適用してしまうと、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
3}\left( x+3\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 3}\left( x^{2}-13x+30\right)
}=\frac{6}{0}
\end{equation*}と不定形になってしまいます。ちなみに、後ほど示すように、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) &=&-\infty \\
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) &=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow 3\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束せず、無限大へも発散しません。
例(有理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x^{2}-x-1}{x^{2}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。分母の多項式関数\(x^{2}-1\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}\left( x^{2}-1\right) &=&1^{2}-1\quad \because \text{多項式関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow 1\)のときの\(f\)の極限を求める際に先の命題を利用できません。実際、誤って先の命題を適用してしまうと、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
1}\left( 2x^{2}-x-1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left(
x^{2}-1\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}と不定形になってしまいます。一方、\(f\left(x\right) \)を変形してから極限をとる手法を採用するのであれば、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{2x^{2}-x-1}{x^{2}-1}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\left( 2x+1\right) \left( x-1\right) }{\left(
x+1\right) \left( x-1\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{2x+1}{x+1}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left( 2x+1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left( x+1\right) }\quad \because \text{有理関数の極限} \\
&=&\frac{2\cdot 1+1}{1+1}\quad \because \text{多項式関数の極限} \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となり、正しく極限を求めることができます。

 

有理関数の片側極限

片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(有理関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}h\left( x\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
a+}g\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a+}h\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}h\left( x\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
a-}g\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a-}h\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。

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例(有理関数の片側極限)
関数\(f:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x}{3x-1}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x-1\right) &=&3a-1\quad \because \text{多項式関数の極限} \\
&\not=&0\quad \because a\in \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、有理関数の極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
a}2x}{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 3x-1\right) }\quad \because \text{有理関数の極限} \\
&=&\frac{2a}{3a-1}\quad \because \text{多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。定義域の端点\(0\)に注目したとき、\(f\)は点\(0\)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( 3x-1\right) &=&3\cdot 0-1\quad \because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&-1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}であるため、有理関数の右側極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
0+}2x}{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\left( 3x-1\right) }\quad \because \text{有理関数の右側極限} \\
&=&\frac{2\cdot 0}{3\cdot 0-1}\quad \because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目したとき、\(f\)は点\(1\)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1-}\left( 3x-1\right) &=&3\cdot 1-1\quad \because \text{多項式関数の左側極限} \\
&=&2 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}であるため、有理関数の左側極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1-}\left( x\right) &=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
1-}2x}{\lim\limits_{x\rightarrow 1-}\left( 3x-1\right) }\quad \because \text{有理関数の左側極限} \\
&=&\frac{2\cdot 1}{3\cdot 1-1}\quad \because \text{多項式関数の左側極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

繰り返しになりますが、有理関数\(f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)の\(x\rightarrow a+\)のときの右側極限が、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
a+}g\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a+}h\left( x\right) }
\quad \cdots (1)
\end{equation}として定まるのは、\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}h\left( x\right) \not=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(a\)に限定されます。\(\left( 2\right) \)が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}h\left( x\right) =0
\end{equation*}を満たす点\(a\)に関しては、そもそも\(\left( 1\right) \)の右辺が定義不可能であるため、\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側極限は有限な実数として定まるとは限りませんし、仮に有限な実数として定まる場合でも\(\left( 1\right) \)のような関係は成立しません。以下の例より明らかです。左側極限についても同様の議論が成立します。

例(有理関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 3,10\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3,10\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x+3}{x^{2}-13x+30}
\end{equation*}を定めるものとします。分母の多項式関数\(x^{2}-13x+30\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3+}\left( x^{2}-13x+30\right) &=&3^{3}-13\cdot 3+30\quad
\because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow 3+\)のときの\(f\)の右側極限を求める際に先の命題を利用できません。実際、誤って先の命題を適用してしまうと、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
3+}\left( x+3\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 3+}\left(
x^{2}-13x+30\right) }=\frac{6}{0}
\end{equation*}と不定形になってしまいます。一方、\(f\left(x\right) \)を変形してから極限をとる手法を採用するのであれば、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3+}\left(
\frac{x+3}{x^{2}-13x+30}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 3+}\left[ \left( x+3\right) \cdot \frac{1}{x^{2}-13x+30}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 3+}\left( x+3\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
3+}\left( \frac{1}{x^{2}-13x+30}\right) \\
&=&6\cdot \left( -\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。また、同様にして、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}であることも示されます。

 

有理関数の無限大における極限

有理関数\(f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)の無限大における極限を評価する際には、\(h\left( x\right) \)が\(n\)次の多項式関数であるならば、\(f\)の分子と分母をともに\(x^{n}\)で割った上で極限をとります。

例(有理関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+x+1}{4x^{2}-5}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{3x^{2}+x+1}{4x^{2}-5}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{4-\frac{5}{x^{2}}}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( 3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( 4-\frac{5}{x^{2}}\right) } \\
&=&\frac{3+0+0}{4-0} \\
&=&\frac{3}{4}
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{3x^{2}+x+1}{4x^{2}-5}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{4-\frac{5}{x^{2}}}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 4-\frac{5}{x^{2}}\right) } \\
&=&\frac{3+0+0}{4-0} \\
&=&\frac{3}{4}
\end{eqnarray*}となります。

例(有理関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+4x}{x+2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{3x^{2}+4x}{x+2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{3x+4}{1+\frac{2}{x}}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( 3x+4\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{2}{x}\right) } \\
&=&\frac{3\cdot \left( +\infty \right) +4}{1+0} \\
&=&\frac{+\infty }{1} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{3x^{2}+4x}{x+2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{3x+4}{1+\frac{2}{x}}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 3x+4\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 1+\frac{2}{x}\right) } \\
&=&\frac{3\cdot \left( -\infty \right) +4}{1+0} \\
&=&\frac{-\infty }{1} \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。

次回は絶対値関数の極限について解説します。

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