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合成関数の連続性

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合成関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域と関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(f\)は定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるものとします。合成関数の定義より\(f\left( a\right)\in Y\)ですが、\(g\)は点\(f\left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに点\(f\left(a\right) \)において連続であるものとします。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(合成関数の連続性)
関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるものとする。\(g\)は点\(f\left( a\right) \in Y\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに点\(f\left(a\right) \)において連続であるものとする。以上の条件のもとでは\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続になる。
証明

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例(合成関数の連続性)
関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( X\right) \subset Y \) が成り立つものとします。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(X\)と\(Y\)がともに\(\mathbb{R} \)上の開集合であるとともに、\(f\)は\(X\)上で連続であり、\(g\)は\(Y\)上で連続であるものとします。\(X\)は開集合であるため、点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)および周辺の任意の点において定義されており、したがって点\(a\)において連続です。\(Y\)は開集合であるため、\(g\)は点\(f\left( a\right) \)および周辺の任意の点において定義されており、したがって\(g\)は点\(f\left( a\right) \)において連続です。したがって、先の命題より\(g\circ f\)は点\(a\)において連続です。\(X\)上の任意の点において同様であるため、\(g\circ f\)は\(X\)上で連続です。
例(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x-1\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数である\(2x-1\)と\(x^{3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(2x-1\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の連続性より\(2x-1\)は点\(a\)において連続です。\(x^{3}\)は点\(2a-1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の連続性より\(x^{3}\)は点\(2a-1\)において連続です。したがって\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と有理関数\(\frac{1}{x}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x^{2}+1\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の連続性より\(x^{2}+1\)は点\(a\)において連続です。\(a^{2}+1\not=0\)であるため、\(\frac{1}{x}\)は点\(a^{2}+1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の連続性より\(\frac{1}{x}\)は点\(a^{2}+1\)において連続です。したがって\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert 2x-1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(2x-1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(2x-1\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の連続性より\(2x-1\)は点\(a\)において連続です。\(\left\vert x\right\vert \)は点\(2a-1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、絶対値関数の連続性より\(\left\vert x\right\vert \)は点\(2a-1\)において連続です。したがって\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。

 

先の命題が要求する条件の吟味

繰り返しになりますが、関数\(f\)が点\(a\)において連続であるとともに、関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。先の命題において「関数\(f\)が点\(a\)において連続である」という条件や「関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において連続である」という条件は必須なのでしょうか。

例(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x
\end{equation*}を定める場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(f\)と一致します。点\(0\)に注目したとき、この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&f\left( 0\right) \quad \because f\left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。その一方で、点\(f\left( 0\right) =1\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}x\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&g\left( 1\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(1\)において連続です。合成関数\(g\circ f\)は関数\(f\)と一致するため、\(g\circ f\)もまた点\(0\)において連続ではありません。
例(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(g\)と一致します。点\(0\)に注目したとき、この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において連続である一方で、点\(f\left( 0\right) =0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&g\left( 0\right) \quad \because g\left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(0\)において連続ではないからです。合成関数\(g\circ f\)は関数\(g\)と一致するため、\(g\circ f\)もまた点\(0\)において連続ではありません。

以上の2つの例が示唆するように、合成関数\(g\circ f\)が点\(a\)において連続であることを保証するためには、先の命題において「関数\(f\)が点\(a\)において連続である」という条件と「関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において連続である」という条件を外すことはできません。その一方で、関数\(f\)が点\(a\)において連続でない場合に合成関数\(g\circ f\)が点\(a\)において連続になる状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。

例(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるとともに、関数\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}\quad \because g\text{の定義}
\\
&=&x^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。関数\(f\left(x\right) =\frac{1}{x}\)は点\(0\)において定義されていないため点\(0\)において連続ではありません。その一方で、合成関数\(\left(g\circ f\right) \left( x\right) =x^{2}\)は点\(0\)において連続です。

 

演習問題

問題(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}-3\right) ^{6}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が連続であるような点をすべて求めてください。
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問題(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が連続であるような点をすべて求めてください。
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問題(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 6\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 6\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x-6}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x^{2}+5
\end{equation*}を定めます。合成関数\(f\circ g\)が連続な点をすべて求めてください。
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