合成関数の連続性

合成関数が連続関数であるための条件について解説します。

合成関数

合成関数の連続性

2 つの関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R}\)から合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つということです。関数\(f\)は点\(\alpha \in X\)において連続であるとともに、関数\(g\)は点\(f\left( \alpha \right) \in \mathbb{R}\)において連続であるものとします。このとき、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において連続であることを以下で示しますが、まずは合成関数の極限に関する以下の命題を思い出してください。

命題(合成関数の極限)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R}\)から合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能であるものとする。関数\(f\)は点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束し、関数\(g\)は点\(g\)は点\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \in \mathbb{R}\)において連続であるならば、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となる。

さて、関数\(f\)が点\(\alpha \)において連続であることから、\(\alpha \in X\)であるとともに、\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =f\left( \alpha \right) \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。さらに、関数\(g\)が点\(f\left( \alpha \right) \)において連続であることから、上の命題より、合成関数\(g\circ f\)は点\(\alpha \)で収束し、そこでの極限は、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right) \tag{2}
\end{equation}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&g\left( f\left( \alpha \right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( g\circ f\right) \left( \alpha \right) \quad \because g\circ f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは合成関数\(g\circ f\)が点\(\alpha \)において連続であることを意味します。

命題(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R}\)から合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能であるものとする。関数\(f\)は点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において連続であり、関数\(g\)は点\(f\left( \alpha \right) \in \mathbb{R}\)において連続であるならば、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において連続である。

 

定義域上で連続な関数どうしの合成

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R}\)から合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能であるものとする。関数\(f\)は定義域\(X\)上で連続であり、関数\(g\)もまた定義域\(Y\)上で連続であるものとします。点\(x\in X\)を任意にとると、\(f\)に関する仮定より、\(f\)はこの点\(x\)において連続です。\(f\left( x\right) \in Y\)であるため、\(g\)に関する仮定より、\(g\)はこの点\(f\left( x\right) \)において連続です。したがって、先の命題より、合成関数\(g\circ f\)もまたこの点\(x\)において連続です。同様の議論は\(X\)の任意の点に関して成立するため、以下の命題を得ます。

系(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R}\)から合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能であるものとする。関数\(f\)は\(X\)上で連続であり、関数\(g\)は\(Y\)上で連続であるならば、合成関数\(g\circ f\)もまた\(X\)上で連続である。

次回からは逆関数について解説します。

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