絶対連続関数は有界変動関数
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\left( c\right) \text{を満たす}\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\left\vert
f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right]
=\phi \right)
\end{eqnarray*}です。つまり、どれほど小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合でも、それに対して何らかの\(\delta >0\)を選ぶことにより、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right]
=\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす任意の閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right)
\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続です。
一方、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動であることは、\(\left[ a,b\right] \)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( f,\left[ a,b\right] \right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}が有限な実数として定まることを意味します。加えて、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動であることと、何らかの2つの単調増加関数\(g,h:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=g-h
\end{equation*}という形で表せることは必要十分です。
絶対連続関数は有界変動関数です。
上の命題の対偶より、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動ではない場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続ではありません。
有界変動関数は絶対連続関数であるとは限らない
絶対連続関数は有界変動関数であることが明らかになりました。その一方で、有界変動関数は絶対連続関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。
単調増加な連続関数どうしの差としての絶対連続関数
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続であるものとします。
先の命題より絶対連続関数は有界変動であるため\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動です。絶対連続関数は一様連続であり、一様連続関数は連続であるため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において連続です。以上より、\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上において有界変動な連続関数であることが明らかになりました。有界変動な連続関数は2つの単調増加な連続関数の差として表されるため、\(f\)は2つの単調増加な連続関数の差として表されることが明らかになりました。
\end{equation*}と表せる。
連続性に関する諸概念どうしの関係
これまで登場した連続性に関する概念どうしの関係について整理します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上においてリプシッツ関数である場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続であることが保証されます。さらに、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続である場合には、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上において一様連続であることが保証されます。さらに、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において一様連続である場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において連続であることが保証されます。また、定義域が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)である場合、\(f\)が一様連続であることと連続であることは必要十分です。したがって、以下の関係\begin{equation*}\text{リプシッツ関数}\Rightarrow
\text{絶対連続性}\Rightarrow \text{一様連続性}\Leftrightarrow \text{連続性}
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
\text{リプシッツ関数}\Leftarrow
\text{絶対連続性}\Leftarrow \text{一様連続性}
\end{equation*}はいずれも成り立つとは限りません。
関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続関数である場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動であることが保証されます。したがって、以下の関係\begin{equation*}\text{リプシッツ関数}\Rightarrow
\text{絶対連続性}\Rightarrow \text{有界変動}
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
\text{リプシッツ関数}\Leftarrow
\text{絶対連続性}\Leftarrow \text{有界変動}
\end{equation*}はいずれも成り立つとは限りません。
関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動である場合には、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上において連続であるとは限りません。また、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続である場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動であるとは限りません。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}\text{有界変動} &\Rightarrow &\text{連続性} \\
\text{有界変動} &\Leftarrow &\text{連続性}
\end{eqnarray*}はともに成り立ちません。定義域が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)である場合、\(f\)が一様連続であることと連続であることは必要十分であるため、以下の関係\begin{eqnarray*}\text{有界変動} &\Rightarrow &\text{一様連続性} \\
\text{有界変動} &\Leftarrow &\text{一様連続性}
\end{eqnarray*}もまたともに成り立ちません。
演習問題
\end{equation*}を満たす2つの単調減少関数\(g,h:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が存在することは必要十分であることを示してください。
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