連続関数による区間の像

有界閉区間の連続像

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義し、この区間上に関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。さらに、この関数\(f\)は定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。つまり、\(f\)は定義域の内部である有界な開区間\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続です。このとき、\(f\)による\(\left[ a,b\right] \)の像\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}もまた有界な閉区間になることが保証されます。証明では中間値の定理と最大値・最小値の定理を利用します。

区間の連続像

連続関数による有界閉区間の像は有界閉区間になることを示しましたが、有界閉区間とは限らない区間の像についても何らかのことを言えるのでしょうか。ただし、復習になりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であることとは、\(I\)が複数の点を含む場合、\begin{equation*}\forall a,b\in I:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in I\right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(I\)に属する異なる2つの要素の間にある任意の点もまた\(I\)の要素である場合、\(I\)を区間と呼ぶということです。有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)は以上の条件を満たすため区間ですが、その他にも、有界開区間\(\left( a,b\right) \)や有界半開区間\((a,b],[a,b)\)、無限閉区間\([a,+\infty ),(-\infty ,b]\)、無限開区間\((a,+\infty ),(-\infty ,b)\)、全区間\(\left( -\infty ,+\infty \right) \)などもまた区間です。連続関数によるこれらの区間の像はどのような集合になるのでしょうか。

一般に、有界閉区間とは限らない区間\(I\)について、連続関数\(f\)による像\(f\left( I\right) \)は有界閉区間になるとは限りませんが、区間になることは保証できます。証明では中間値の定理を利用します。