区間の連続像

有界な閉区間上に定義された連続関数による定義域の像もまた有界な閉区間になります。また、区間上に定義された連続関数による定義域の像もまた区間になります。

有界閉区間の連続像

有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b]\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上で連続であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は端点}a\text{で右側連続である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は端点}b\text{で左側連続である} \\
&&\left( c\right) \ f\text{は開区間}\left( a,b\right) \text{上の任意の点において連続である}
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つということです。その上で、\(f\)による\(\left[ a,b\right]\)の像、すなわち、\begin{equation*}
f\left( \left[ a,b\right] \right) =\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \}
\end{equation*}をとると、これは\(\mathbb{R}\)におけるコンパクト集合になります。

連続関数について復習する コンパクト集合について復習する
命題(有界閉区間の連続像)
有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b]\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上で連続であるとき、\(f\left( \left[ a,b\right] \right) \)は\(\mathbb{R}\)におけるコンパクト集合である。
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\(\mathbb{R}\)における典型的なコンパクト集合は有界閉区間ですが、\(\mathbb{R}\)上には有界閉区間とは異なる種類のコンパクト集合も存在します。例えば、一般にコンパクト集合どうしの和集合もまたコンパクト集合であるため、有界閉区間\(\left[ 0,1\right] ,\left[ 2,3\right] \)の和集合\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)はコンパクト集合ですが、これは有界閉区間ではありません。ただし、上の命題中の\(f\left( \left[ a,b\right] \right) \)は有界な閉区間であることが保証されます。

命題(有界閉区間の連続像)
有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b]\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上で連続であるとき、\(f\left( \left[ a,b\right] \right) \)もまた有界な閉区間である。
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例(有界閉区間の連続像)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack -3,3]\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義します。この関数\(f\)は明らかに定義域である有界閉区間\(\left[ -3,3\right] \)上で連続です。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( \left[ -3,3\right] \right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -3,3\right] \} \\
&=&\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -3,3\right] \} \\
&=&\left[ 0,9\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R}\)における有界な閉区間です。この結果は先の命題と整合的です。

 

区間の連続像

連続関数による有界閉区間の像もまた有界閉区間になることを示しましたが、連続関数による有界閉区間とは限らない区間の像についても、何らかのことが言えるのでしょうか。つまり、区間\(I\subset \mathbb{R}\)が有界開区間\(\left( a,b\right) \)、有界半開区間\((a,b],\ [a,b)\)、無限閉区間\([a,+\infty ),\ (-\infty ,b]\)、無限開区間\((a,+\infty ),\ (-\infty ,b)\)、全区間\(\left( -\infty ,+\infty \right) \)などの場合には、連続関数\(f\)による像\(f\left( I\right) \)はどのような集合になるのでしょうか。

一般に、有界閉区間とは限らない区間\(I\)について、連続関数\(f\)による像\(f\left( I\right) \)は有界閉区間になるとは限りませんが、区間になることは保証できます。ただし、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(X\)が区間であることとは、\(X\)が複数の点を含む場合、\begin{equation*}
\forall a,b\in X:\left[ a<b\ \Rightarrow \ \forall x\in \left( a,b\right) :x\in X\right] \end{equation*}が成り立つこととして表現されます。

区間について復習する
命題(区間の連続像)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上で連続であるとき、\(f\left( I\right) \)もまた区間となる。
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例(有界閉区間の連続像)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定めます。この関数\(f\)は明らかに任意の区間\(I\)上で連続です。有界開区間\(I=\left( -3,3\right) \)については、\begin{eqnarray*}
f\left( \left( -3,3\right) \right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -3,3\right) \} \\
&=&\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -3,3\right) \} \\
&=&[0,9)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R}\)における区間です。有界半開区間\(I=(-3,3]\)については、\begin{eqnarray*}
f\left( (-3,3]\right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,3]\} \\
&=&\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,3]\} \\
&=&[0,9] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R}\)における区間です。無限区間\(I=(-3,+\infty )\)については、\begin{eqnarray*}
f\left( (-3,+\infty )\right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,+\infty )\} \\
&=&\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,+\infty )\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R}\)における区間です。これらの結果はいずれも先の命題と整合的です。

次回は関数が最大値や最小値を持つための条件について解説します。
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