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連続関数による区間の像

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有界閉区間の連続像

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義し、この区間上に関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。さらに、この関数\(f\)は定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。つまり、\(f\)は定義域の内部である有界な開区間\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続です。このとき、\(f\)による\(\left[ a,b\right] \)の像\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}もまた有界な閉区間になることが保証されます。証明では中間値の定理最大値・最小値の定理を利用します。

命題(有界閉区間の連続像)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるならば、\(f\)による\(\left[ a,b\right] \)の像\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}もまた有界な閉区間になる。

証明

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例(有界閉区間の連続像)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -3,3\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -3,3\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ -3,3\right] \)は有界閉区間であり、なおかつ\(f\)は多項式関数であるため\(\left[ -3,3\right] \)上で連続であるため、先の命題より、\(f\left( \left[ -3,3\right] \right) \)もまた有界閉区間になるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -3,3\right] \right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -3,3\right] \} \\
&=&\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -3,3\right] \} \\
&=&\left[ 0,9\right] \end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

区間の連続像

連続関数による有界閉区間の像は有界閉区間になることを示しましたが、有界閉区間とは限らない区間の像についても何らかのことを言えるのでしょうか。ただし、復習になりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であることとは、\(I\)が複数の点を含む場合、\begin{equation*}\forall a,b\in I:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in I\right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(I\)に属する異なる2つの要素の間にある任意の点もまた\(I\)の要素である場合、\(I\)を区間と呼ぶということです。有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)は以上の条件を満たすため区間ですが、その他にも、有界開区間\(\left( a,b\right) \)や有界半開区間\((a,b],[a,b)\)、無限閉区間\([a,+\infty ),(-\infty ,b]\)、無限開区間\((a,+\infty ),(-\infty ,b)\)、全区間\(\left( -\infty ,+\infty \right) \)などもまた区間です。連続関数によるこれらの区間の像はどのような集合になるのでしょうか。

一般に、有界閉区間とは限らない区間\(I\)について、連続関数\(f\)による像\(f\left( I\right) \)は有界閉区間になるとは限りませんが、区間になることは保証できます。証明では中間値の定理を利用します。

命題(区間の連続像)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上で連続であるならば、\(f\left( I\right) \)もまた区間となる。
証明

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例(区間の連続像)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数であるため連続です。したがって、先の命題より、\(I\)がいかなる区間である場合にも\(f\left( I\right) \)は区間になります。定義域が有界開区間\(I=\left( -3,3\right) \)である場合、\begin{eqnarray*}f\left( \left( -3,3\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -3,3\right) \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -3,3\right) \right\} \\
&=&[0,9)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)における区間です。定義域が有界半開区間\(I=(-3,3]\)である場合、\begin{eqnarray*}f\left( (-3,3]\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,3]\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,3]\right\} \\
&=&\left[ 0,9\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)における区間です。定義域が無限開区間\(I=(-3,+\infty )\)である場合、\begin{eqnarray*}f\left( (-3,+\infty )\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,+\infty )\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,+\infty )\right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)における区間です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
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