実数ベキ関数の極限
実数ベキ関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{p}
\end{equation*}となります。
命題（実数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{p}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{p}
\end{equation*}が成り立つ。
例（実数ベキ関数の極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\sqrt{2}}=a^{\sqrt{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}x^{\sqrt{2}} &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{\sqrt{2}} \\
\lim_{x\rightarrow 1}x^{\sqrt{2}} &=&1^{\sqrt{2}}=1 \\
\lim_{x\rightarrow 2}x^{\sqrt{2}} &=&2^{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
x^{\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\sqrt{2}}=a^{\sqrt{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}x^{\sqrt{2}} &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{\sqrt{2}} \\
\lim_{x\rightarrow 1}x^{\sqrt{2}} &=&1^{\sqrt{2}}=1 \\
\lim_{x\rightarrow 2}x^{\sqrt{2}} &=&2^{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（実数ベキ関数の極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{-\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{-\sqrt{2}}=a^{-\sqrt{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}x^{-\sqrt{2}} &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{-\sqrt{2}} \\
\lim_{x\rightarrow 1}x^{-\sqrt{2}} &=&1^{-\sqrt{2}}=1 \\
\lim_{x\rightarrow 2}x^{-\sqrt{2}} &=&2^{-\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
x^{-\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{-\sqrt{2}}=a^{-\sqrt{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}x^{-\sqrt{2}} &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{-\sqrt{2}} \\
\lim_{x\rightarrow 1}x^{-\sqrt{2}} &=&1^{-\sqrt{2}}=1 \\
\lim_{x\rightarrow 2}x^{-\sqrt{2}} &=&2^{-\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（実数ベキ関数との合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と実数ベキ関数\(x^{\sqrt{2}}\)の合成関数であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+1\right) =a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。点\(a^{2}+1\)は関数\(x^{\sqrt{2}}\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)の集積点であるため、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{2}+1}x^{\sqrt{2}}=\left( a^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(x^{\sqrt{2}}\)は点\(a^{2}+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( a^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と実数ベキ関数\(x^{\sqrt{2}}\)の合成関数であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+1\right) =a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。点\(a^{2}+1\)は関数\(x^{\sqrt{2}}\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)の集積点であるため、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{2}+1}x^{\sqrt{2}}=\left( a^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(x^{\sqrt{2}}\)は点\(a^{2}+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( a^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
実数ベキ関数の片側極限
片側極限に関しても同様の主張が成り立ちます。
命題（実数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =a^{p} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =a^{p}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =a^{p} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =a^{p}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
点\(0\)は実数ベキ関数の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)の集積点であるため、\(x\rightarrow 0+\)の場合の右側極限について考えることができます。具体的には以下の通りです。
命題（実数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p>0\right) \\
+\infty & \left( if\ p<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p>0\right) \\
+\infty & \left( if\ p<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
例（実数ベキ関数の片側極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるとともに指数\(\sqrt{2}\)は正であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{\sqrt{2}}=0
\end{equation*}が成り立ちます。
x^{\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるとともに指数\(\sqrt{2}\)は正であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{\sqrt{2}}=0
\end{equation*}が成り立ちます。
例（実数ベキ関数の片側極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{-\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるとともに指数\(-\sqrt{2}\)は負であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{-\sqrt{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
x^{-\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるとともに指数\(-\sqrt{2}\)は負であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{-\sqrt{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
実数ベキ関数の無限大における極限
実数ベキ関数の定義域は\(\mathbb{R} _{++}\)であるため、正の無限大における極限をとることができます。具体的には以下の通りです。
命題（実数ベキ関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ p>0\right) \\
0 & \left( if\ p<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ p>0\right) \\
0 & \left( if\ p<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
例（実数ベキ関数の無限大における極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるとともに指数\(\sqrt{2}\)は正であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\sqrt{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
x^{\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるとともに指数\(\sqrt{2}\)は正であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\sqrt{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
例（実数ベキ関数の無限大における極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{-\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるとともに指数\(-\sqrt{2}\)は負であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-\sqrt{2}}=0
\end{equation*}が成り立ちます。
x^{-\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数ベキ関数であるとともに指数\(-\sqrt{2}\)は負であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-\sqrt{2}}=0
\end{equation*}が成り立ちます。
例（実数ベキ関数との合成関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と実数ベキ関数\(x^{\sqrt{2}}\)の合成関数であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x+\infty }\left( x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、実数ベキ関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\sqrt{2}}=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( x^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。やはり、多項式関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x-\infty }\left( x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、実数ベキ関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\sqrt{2}}=+\infty \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( x^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と実数ベキ関数\(x^{\sqrt{2}}\)の合成関数であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x+\infty }\left( x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、実数ベキ関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\sqrt{2}}=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( x^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。やはり、多項式関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x-\infty }\left( x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、実数ベキ関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\sqrt{2}}=+\infty \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( x^{2}+1\right) ^{\sqrt{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（実数ベキ関数との合成関数の極限）
以下の極限\begin{eqnarray*}
&&\lim_{x\rightarrow 1}\left( x^{2}-1\right) ^{\sqrt{3}} \\
&&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}-1\right) ^{\sqrt{3}} \\
&&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{2}-1\right) ^{\sqrt{3}}
\end{eqnarray*}を求めてください。
&&\lim_{x\rightarrow 1}\left( x^{2}-1\right) ^{\sqrt{3}} \\
&&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}-1\right) ^{\sqrt{3}} \\
&&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{2}-1\right) ^{\sqrt{3}}
\end{eqnarray*}を求めてください。
問題（実数ベキ関数との合成関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}\right) ^{-\sqrt{3}}
\end{equation*}を求めてください。
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}\right) ^{-\sqrt{3}}
\end{equation*}を求めてください。
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