対数関数の極限
対数関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるということです。
点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ場合、\(x\rightarrow b\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) =\log _{a}\left( b\right)
\end{equation*}となります。
対数関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) =\log _{a}\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\ln \left( x\right) =\ln \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\ln \left( x\right) &=&\ln \left( \frac{1}{2}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1}\ln \left( x\right) &=&\ln \left( 1\right) =0 \\
\lim_{x\rightarrow 2}\ln \left( x\right) &=&\ln \left( 2\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\log _{10}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\log _{10}\left( x\right) =\log _{10}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\log _{10}\left( x\right) &=&\log
_{10}\left( \frac{1}{2}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1}\log _{10}\left( x\right) &=&\log _{10}\left( 1\right)
=0 \\
\lim_{x\rightarrow 2}\log _{10}\left( x\right) &=&\log _{10}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\log _{2}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\log _{2}\left( x\right) =\log _{2}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\log _{2}\left( x\right) &=&\log _{2}\left(
\frac{1}{2}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1}\log _{2}\left( x\right) &=&\log _{2}\left( 1\right) =0
\\
\lim_{x\rightarrow 2}\log _{2}\left( x\right) &=&\log _{2}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) =\log _{\frac{1}{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) &=&\log _{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{2}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1}\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) &=&\log _{\frac{1}{2}}\left( 1\right) =0 \\
\lim_{x\rightarrow 2}\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) &=&\log _{\frac{1}{2}}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}と定義されます。関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( a\right) =\log _{10}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、地震計の針の振れ幅\(x\)を特定の正の実数\(a\)に限りなく近づけると、ローカルマグニチュードの値は\(\log _{10}\left( a\right) \)に限りなく近づきます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+1\right) =a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a^{2}+1>0\)であるため、自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)は点\(a^{2}+1\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって自然対数関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{2}+1}\ln \left( x\right) =\ln \left( a^{2}+1\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\ln \left( x\right) \)は点\(a^{2}+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\ln \left(
x^{2}+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( a^{2}+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}と定義されます。関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数との合成関数の定数倍であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\frac{x}{20}=\frac{a}{20} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\frac{a}{20}>0\)であるため、対数関数\(\log _{10}\left( x\right) \)は点\(\frac{a}{20}\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって対数関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{a}{20}}\log _{10}\left( x\right) =\log _{10}\left(
\frac{a}{20}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\log _{10}\left( x\right) \)は点\(\frac{a}{20}\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}20\log
_{10}\left( \frac{x}{20}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&20\lim_{x\rightarrow a}\log _{10}\left( \frac{x}{20}\right) \\
&=&20\log _{10}\left( \frac{a}{20}\right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。つまり、音圧\(x\)を特定の正の実数\(a\)に限りなく近づけると、デシベルの値は\(20\log _{10}\left( \frac{a}{20}\right) \)に限りなく近づきます。
対数関数の片側極限
片側極限に関しても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow b+}f\left( x\right) =\log _{a}\left(
b\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =\log _{a}\left(
b\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
点\(0\)は対数関数の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)の集積点であるため、\(x\rightarrow 0+\)の場合の対数関数の右側極限について考えることができます。具体的には以下の通りです。
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +0}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
-\infty & \left( if\ a>1\right) \\
+\infty & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(e>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
\log _{10}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(10>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\log _{10}\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
\log _{2}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(2>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\log _{2}\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(0<\frac{1}{2}<1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\log _{2}\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
対数関数の無限大における極限
対数関数の定義域は\(\mathbb{R} _{++}\)であるため、正の無限大における極限をとることができます。具体的には以下の通りです。
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
+\infty & \left( if\ a>1\right) \\
-\infty & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(e>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
\log _{10}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(10>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\log _{10}\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
\log _{2}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(2>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\log _{2}\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(0<\frac{1}{2}<1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\log _{2}\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、自然対数関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( x\right) =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\ln \left( x^{2}+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。同様に、多項式関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。また、自然対数関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( x\right) =+\infty \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\ln \left( x^{2}+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x<-3\vee x>3\right\}
\end{equation*}です。以下の極限\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
\lim_{x\rightarrow 10}2x\log _{10}\left( x^{3}\right)
\end{equation*}
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