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対数関数の極限

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対数関数の極限

対数関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるということです。

点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ場合、\(x\rightarrow b\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) =\log _{a}\left( b\right)
\end{equation*}となります。

命題(対数関数の極限)

対数関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) =\log _{a}\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(自然対数関数の極限)
自然対数関数\begin{equation*}
\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\ln \left( x\right) =\ln \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\ln \left( x\right) &=&\ln \left( \frac{1}{2}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1}\ln \left( x\right) &=&\ln \left( 1\right) =0 \\
\lim_{x\rightarrow 2}\ln \left( x\right) &=&\ln \left( 2\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(常用対数関数の極限)
常用対数関数\begin{equation*}
\log _{10}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\log _{10}\left( x\right) =\log _{10}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\log _{10}\left( x\right) &=&\log
_{10}\left( \frac{1}{2}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1}\log _{10}\left( x\right) &=&\log _{10}\left( 1\right)
=0 \\
\lim_{x\rightarrow 2}\log _{10}\left( x\right) &=&\log _{10}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(二進対数関数の極限)
二進対数関数\begin{equation*}
\log _{2}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\log _{2}\left( x\right) =\log _{2}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\log _{2}\left( x\right) &=&\log _{2}\left(
\frac{1}{2}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1}\log _{2}\left( x\right) &=&\log _{2}\left( 1\right) =0
\\
\lim_{x\rightarrow 2}\log _{2}\left( x\right) &=&\log _{2}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(対数関数の極限)
以下の関数\begin{equation*}
\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) =\log _{\frac{1}{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) &=&\log _{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{2}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1}\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) &=&\log _{\frac{1}{2}}\left( 1\right) =0 \\
\lim_{x\rightarrow 2}\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) &=&\log _{\frac{1}{2}}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(対数関数の極限)
ローカル・マグニチュード(local magnitude scale)とは、地震計の針の振れ幅の大きさをもとに地震の規模を表現する指標です。震源から100km離れた地点に置かれた標準的な地震計が記録する針の振れ幅(μm)が\(x\in \mathbb{R} _{++}\)である場合、ローカル・マグニチュードは、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{10}\left( x\right)
\end{equation*}と定義されます。関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるため、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( a\right) =\log _{10}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、地震計の針の振れ幅\(x\)を特定の正の実数\(a\)に限りなく近づけると、ローカルマグニチュードの値は\(\log _{10}\left( a\right) \)に限りなく近づきます。
例(対数関数との合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x^{2}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+1\right) =a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a^{2}+1>0\)であるため、自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)は点\(a^{2}+1\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって自然対数関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{2}+1}\ln \left( x\right) =\ln \left( a^{2}+1\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\ln \left( x\right) \)は点\(a^{2}+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\ln \left(
x^{2}+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( a^{2}+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(対数関数との合成関数の極限)
デシベル(decibel)とは、音が伝わる際の大気圧の変化量の大きさ(音圧)をもとに音の大きさを表現する指標です。音圧(μPa:マイクロパスカル)が\(x\in \mathbb{R} _{++}\)である場合、デシベルは、\begin{equation*}f\left( x\right) =20\log _{10}\left( \frac{x}{20}\right)
\end{equation*}と定義されます。関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数との合成関数の定数倍であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\frac{x}{20}=\frac{a}{20} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\frac{a}{20}>0\)であるため、対数関数\(\log _{10}\left( x\right) \)は点\(\frac{a}{20}\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって対数関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{a}{20}}\log _{10}\left( x\right) =\log _{10}\left(
\frac{a}{20}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\log _{10}\left( x\right) \)は点\(\frac{a}{20}\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}20\log
_{10}\left( \frac{x}{20}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&20\lim_{x\rightarrow a}\log _{10}\left( \frac{x}{20}\right) \\
&=&20\log _{10}\left( \frac{a}{20}\right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。つまり、音圧\(x\)を特定の正の実数\(a\)に限りなく近づけると、デシベルの値は\(20\log _{10}\left( \frac{a}{20}\right) \)に限りなく近づきます。

 

対数関数の片側極限

片側極限に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(対数関数の片側極限)
対数関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow b+}f\left( x\right) =\log _{a}\left(
b\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =\log _{a}\left(
b\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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点\(0\)は対数関数の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)の集積点であるため、\(x\rightarrow 0+\)の場合の対数関数の右側極限について考えることができます。具体的には以下の通りです。

命題(対数関数の片側極限)
対数関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +0}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
-\infty & \left( if\ a>1\right) \\
+\infty & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

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例(自然対数関数の片側極限)
自然対数関数\begin{equation*}
\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(e>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(常用対数関数の片側極限)
常用対数関数\begin{equation*}
\log _{10}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(10>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\log _{10}\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(二進対数関数の片側極限)
二進対数関数\begin{equation*}
\log _{2}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(2>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\log _{2}\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(対数関数の片側極限)
以下の関数\begin{equation*}
\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(0<\frac{1}{2}<1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\log _{2}\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

 

対数関数の無限大における極限

対数関数の定義域は\(\mathbb{R} _{++}\)であるため、正の無限大における極限をとることができます。具体的には以下の通りです。

命題(対数関数の無限大における極限)
対数関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
+\infty & \left( if\ a>1\right) \\
-\infty & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

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例(自然対数関数の無限大における極限)
自然対数関数\begin{equation*}
\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(e>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(常用対数関数の無限大における極限)
常用対数関数\begin{equation*}
\log _{10}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(10>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\log _{10}\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(二進対数関数の無限大における極限)
二進対数関数\begin{equation*}
\log _{2}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(2>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\log _{2}\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(対数関数の無限大における極限)
以下の関数\begin{equation*}
\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は対数関数であるとともに、その底は\(0<\frac{1}{2}<1\)を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\log _{2}\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(対数関数との合成関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x^{2}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、自然対数関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( x\right) =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\ln \left( x^{2}+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。同様に、多項式関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。また、自然対数関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( x\right) =+\infty \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\ln \left( x^{2}+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(対数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x^{2}-9\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x<-3\vee x>3\right\}
\end{equation*}です。以下の極限\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(対数関数の極限)
以下の極限を求めてください。\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 10}2x\log _{10}\left( x^{3}\right)
\end{equation*}
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