絶対値関数

絶対値関数

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x>0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める場合、すなわち、\(f\)は入力した実数\(x\)に対してその絶対値\(\left\vert x\right\vert \)を値として定める場合、このような関数\(f\)を絶対値関数（absolute value function）と呼びます。絶対値関数のグラフは以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、この関数\(f\)は自然数ベキ関数\(x^{2}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数、すなわち有理数ベキ関数です。自然数ベキ関数\(x^{2}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり値域は\(\mathbb{R} _{+}\)です。一方、無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であるため、それらの合成関数\(f\)が定義可能であり、その定義域は\(\mathbb{R} \)となります。加えて、この関数\(f\)は絶対値関数と一致します。

絶対値関数の狭義単調性

絶対値関数は\(\mathbb{R} _{+}\)上において狭義単調増加関数であり、\(\mathbb{R} _{-}\)上において狭義単調減少関数です。

絶対値関数の値域

絶対値関数は任意の非負の実数を値としてとります。

例（絶対値関数）

絶対値関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

先の命題より、\(\left\vert x\right\vert \)は\(\mathbb{R} _{-}\)において狭義単調減少であり、\(\mathbb{R} _{+}\)において狭義単調増加であり、値域は\(\mathbb{R} _{+}\)です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

絶対値関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。また、絶対値関数を\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=\left\vert x\right\vert \)です。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であることから合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\left\vert f\left( x\right) \right\vert \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}}\quad \because \text{ベキ関数としての絶対値関数}
\end{eqnarray*}を定めます。

演習問題