絶対値関数の定義と具体例

絶対値関数

実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その絶対値は、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x>0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}という1つの実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、全区間上に以下のような関数\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを絶対値関数（absolute value function）と呼びます。

絶対値関数のグラフは、\begin{eqnarray*}
G\left( \left\vert x\right\vert \right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\left\vert x\right\vert \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,x\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\} \cup \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \cup \left\{
\left( x,-x\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\right\}
\end{eqnarray*}となるため、これは以下のように図示されます。

有理数ベキ関数としての絶対値関数

自然数ベキ関数\(x^{2}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり値域は\(\mathbb{R} _{+}\)です。また、無理関数\(\sqrt{x}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であるため、これらの合成関数\begin{equation*}\sqrt{x^{2}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これは絶対値関数\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と一致します。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\sqrt{x^{2}}=\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つということです。

絶対値関数の狭義単調性

絶対値関数は\(\mathbb{R} _{+}\)上において狭義単調増加関数であり、\(\mathbb{R} _{-}\)上において狭義単調減少関数です。

絶対値関数の値域

絶対値関数は任意の非負の実数を値としてとります。

例（絶対値関数）

絶対値関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

先の命題より、\(\left\vert x\right\vert \)は\(\mathbb{R} _{-}\)において狭義単調減少であり、\(\mathbb{R} _{+}\)において狭義単調増加であり、値域は\(\mathbb{R} _{+}\)です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

絶対値関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、絶対値関数\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。関数\(f\)の値域は絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}\left\vert x\right\vert \circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \left\vert x\right\vert \circ f\right) \left( x\right) =\left\vert
f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}を値として定めます。

絶対値関数\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。また、実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\left\vert x\right\vert \)の値域\(\mathbb{R} _{+}\)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\subset X\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ \left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ \left\vert x\right\vert \right) \left( x\right) =f\left(
\left\vert x\right\vert \right)
\end{equation*}を値として定めます。

演習問題