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イプシロン・デルタ論法を用いた関数の連続性の判定

目次

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イプシロン・デルタ論法による関数の連続性の定義

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な極限へ収束し、なおかつ、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上の定義では「関数の極限」という概念が前提となっていますが、「関数の極限」概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いて関数の連続性を定義することもできます。以下で解説します。

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。では、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることを、同じくイプシロン・デルタ論法を用いてどのように表現できるでしょうか。

上の関数\(f\)が点\(a\)において連続であるものとします。この場合、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限へ収束し、なおかつその極限が\(f\left( a\right) \)と一致するため、上の主張における\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が\(a\)において連続である場合には\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、上の論理式において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。つまり、上の論理式中の\(0<|x-a|\)の部分は不要です。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できそうです。実際、これは正しい主張です。

命題(イプシロンデルタ論法を用いた連続関数の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において連続であるための必要十分条件である。
証明

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例(連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(f\)は点\(2\)を含め周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(2\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-2|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
2\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-2|<\delta \Rightarrow \left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-2|<\delta \Rightarrow 3\left\vert x-2\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}を示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{3}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}|x-2|<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}3\left\vert x-2\right\vert &<&3\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+2x+3
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(f\)は点\(-1\)を含め周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(-1\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x+1|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
-1\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x+1|<\delta \Rightarrow \left\vert \left( x^{2}+2x+3\right)
-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x+1|<\delta \Rightarrow \left\vert \left( x+1\right)
^{2}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x+1|<\delta \Rightarrow \left( x+1\right) ^{2}<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\sqrt{\varepsilon }>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}|x+1|<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( x+1\right) ^{2} &=&\left\vert x+1\right\vert ^{2} \\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(f\)は点\(1\)を含め周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(1\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-1|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
1\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-1|<\delta \Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}を示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x-1\right) \left(
x+1\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left\vert x+1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x^{2}-1\right\vert \leq \left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\(|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert -1 &\leq &\left\vert x-1\right\vert \\
&<&1\quad \because |x-1|<1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert <2 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( 2+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3\left\vert x-1\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-1|<1\Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <3\left\vert
x-1\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}|x-1|<\delta \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because
\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&<&3\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 4\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

関数が連続でないことの証明

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つのであれば\(f\)は点\(a\)において連続です。\(f\)がそもそも点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において連続と不連続のどちらでもありません。また、\(f\)が点\(a\)において定義されている場合でも、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていないのであれば、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。加えて、\(f\)が点\(a\)および周辺の任意の点において定義されている場合、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in X:\left(
|x-a|<\delta \wedge \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つのであれば、やはり\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。つまり、点\(a\)にいくらでも近い場所にも、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が正の実数になってしまうような点\(x\)が存在してしまうということです。

例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めその周辺の任意の点において定義されていますが、そこでの左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましょう。具体的には、\begin{equation}1>\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\varepsilon \)を適当に選びます。さらに、\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\(|x-0|<\delta \)すなわち\(\left\vert x\right\vert <\delta \)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x\right) -f\left( 0\right) \right\vert &=&\left\vert
f\left( x\right) -1\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&\geq &\left\vert 0-1\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&1 \\
&>&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の議論より、\(f\)は点\(0\)において連続ではないことが明らかになりました。

 

孤立点の扱い

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つのであれば\(f\)は点\(a\)において連続です。ただ、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに上の命題が成り立つ場合、たとえ\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない場合でも、\(f\)は点\(a\)において連続であるものとみなす立場もあります。この場合、イプシロン・デルタ論法を用いた連続性の定義は、関数の極限を前提とする連続性の定義とは必要十分ではありません。両者の違いは孤立点における連続性を考えれば明白になります。以下で解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)が\(X\)の孤立点であることとは、\(a\)以外の\(X\)の要素とは交わらないような点\(a\)の近傍が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap A=\left\{ a\right\}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、点\(a\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\delta }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\delta \right\} \\
&=&\left( a-\delta ,a+\delta \right)
\end{eqnarray*}と定義されるため、先の定義を、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap A=\left\{
a\right\}
\end{equation*}と言い換えることができます。つまり、上の開区間\(\left( a-\delta ,a+\delta \right) \)は\(a\)以外の\(A\)の要素を持たないため、関数\(f\)は孤立点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていないことになります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \\
\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。つまり、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、その極限が\(f\left( a\right) \)に一致するということです。ただ、\(f\)の\(x\rightarrow a\)のときの極限について考える際には、そもそも\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されている必要があります。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合、\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されていないため、\(f\)の\(x\rightarrow a\)のときの極限を考えることができません。したがって、関数の連続性を上のように定義した場合、関数は定義域上の孤立点において連続ではないということになります。

一方、関数の連続性を(関数が点の周辺の任意の点において定義されていることを前提としない形で)イプシロン・デルタ論法を用いて定義した場合、\(f\)は孤立点\(a\in X\)において連続になります。つまり、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。実際、点\(a\in X\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation}\exists \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap A=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちますが、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)を選ぶと、\(\left( 2\right) \)より、そもそも\(\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たす\(X\)の点\(x\)は\(a\)だけであるため、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert &=&\left\vert
f\left( a\right) -f\left( a\right) \right\vert \quad \because x=a \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが明らかになりました。

このような事情を踏まえると、「関数が点の周辺の任意の点において定義されている」ことを要求しない場合、イプシロン・デルタ論法にもとづく連続性の定義は、関数の極限を前提とする連続性の定義と必要十分ではないことになります。ただ、実際の運用上は、「関数が点の周辺の任意の点において定義されている」ことを条件として要求する場合においても、関数が孤立点において連続であると考えても不都合は生じません。

 

演習問題

問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(3\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(1\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:f\left( N_{\delta }\left(
a\right) \right) \subset N_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(a\)において連続であるための必要十分条件であることを証明してください。
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次回は関数が連続であることを数列を用いて判定する方法について解説します。

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質問とコメント

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関数