変数変換を用いた関数の極限の特定

変数変換と関数の極限：関数が連続である場合

変数\(x\)に関する関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}が有限な実数として定まることが判明しているものの、そのままでは極限を具体的に特定するのが困難であるような状況は起こり得ます。そのような場合には、関数\(f\)の変数を別の変数へ置き換えてから極限をとることにより、極限を容易に特定できるようになる状況は起こり得ます。具体的には以下の通りです。

変数\(y\)に関する関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}g\left( Y\right) \subset X
\end{equation*}を満たす場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(y\in Y\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( y\right) =f\left( g\left( y\right) \right)
\end{equation*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
x=g\left( y\right)
\end{equation*}とおくことにより、関数\(f\)の変数を\(x\)から\(y\)へ変換する状況を想定するということです。

これらの関数\(f,g\)は以下の2つの条件を満たすものとします。1つ目の条件は、拡大実数\(b\in \overline{\mathbb{R} }\)に関して、\begin{equation*}\lim_{y\rightarrow b}g\left( y\right) =a
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{y\rightarrow b}g\left( y\right) =a\wedge b\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{y\rightarrow +\infty }g\left( y\right) =a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{y\rightarrow -\infty }g\left( y\right) =a
\end{eqnarray*}の中のどれか1つが成り立つということです。2つ目の条件は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\(f\)は点\(a\)において連続であると言います。

以上の2つの条件が満たされる場合には、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{y\rightarrow b}\left( f\circ
g\right) \left( y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{y\rightarrow b}f\left( g\left(
y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合の関数\(f\left( x\right) \)の極限をとる代わりに、\begin{equation*}x=g\left( y\right)
\end{equation*}とおいた上で関数\(f\)を変数\(y\)に関する関数\(f\left(g\left( y\right) \right) \)に変換した上で、\(y\rightarrow b\)の場合の極限をとってもよいということです。

先の命題中の主張が成り立つことを保証するためには、関数\(f\)が点\(a\)において連続であるという条件、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を外すことはできません。以下の例より明らかです。

変数変換と関数の極限：関数が連続であるとは限らない場合

先の命題では関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するとともに、\(f\)が点\(a\)において連続であること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを条件として要求しましたが、以上の条件を仮定しない場合にも、一定の条件のもとでは変数の変換は可能です。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するか、もしくは無限大へ発散するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つということです。

変数\(y\)に関する関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}g\left( Y\right) \subset X
\end{equation*}を満たす場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(y\in Y\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( y\right) =f\left( g\left( y\right) \right)
\end{equation*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
x=g\left( y\right)
\end{equation*}とおくことにより、関数\(f\)の変数を\(x\)から\(y\)へ変換する状況を想定するということです。

この関数\(g\)は以下の2つの条件を満たすものとします。1つ目の条件は、拡大実数\(b\in \overline{\mathbb{R} }\)に関して、\begin{equation*}\lim_{y\rightarrow b}g\left( y\right) =a
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{y\rightarrow b}g\left( y\right) =a\wedge b\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{y\rightarrow +\infty }g\left( y\right) =a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{y\rightarrow -\infty }g\left( y\right) =a
\end{eqnarray*}の中のどれか1つが成り立つということです。2つ目の条件は、\begin{equation*}
\exists \delta >0,\ \forall y\in \left( b-\delta ,b+\delta \right) :g\left(
y\right) \not=a
\end{equation*}が成り立つということ、すなわち、点\(b\)の周辺の任意の点\(y\)において関数\(g\)は\(a\)とは異なる値をとるということです。

以上の2つの条件が満たされる場合には、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{y\rightarrow b}\left( f\circ
g\right) \left( y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{y\rightarrow b}f\left( g\left(
y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合の関数\(f\left( x\right) \)の極限をとる代わりに、\begin{equation*}x=g\left( y\right)
\end{equation*}とおいた上で関数\(f\)を変数\(y\)に関する関数\(f\left(g\left( y\right) \right) \)に変換した上で、\(y\rightarrow b\)の場合の極限をとってもよいということです。

先の命題中の主張が成り立つことを保証するためには、関数\(g\)が点\(b\)の周辺において\(a\)とは異なる値をとるという条件、すなわち、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall y\in \left( b-\delta ,b+\delta \right) :g\left(
y\right) \not=a
\end{equation*}を外すことはできません。以下の例より明らかです。

変数変換と関数の極限：無限大における極限

これまで示した2つの命題では、変数\(x\)が有限な実数\(a\)へ限りなく近づく際の関数\(f\)の極限について考えてきました。一方、\(x\rightarrow+\infty \)の場合や\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\)の極限をとる際には、変数の変換は常に可能です。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と無限大\(a\in \left\{ +\infty ,-\infty \right\} \)が与えられた状況において、\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するか、もしくは無限大へ発散するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つということです。具体的には、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&-\infty \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}などが成り立つ状況を想定するということです。

変数\(y\)に関する関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}g\left( Y\right) \subset X
\end{equation*}を満たす場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(y\in Y\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( y\right) =f\left( g\left( y\right) \right)
\end{equation*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
x=g\left( y\right)
\end{equation*}とおくことにより、関数\(f\)の変数を\(x\)から\(y\)へ変換する状況を想定するということです。

この関数\(g\)は、拡大実数\(b\in \overline{\mathbb{R} }\)に関して、\begin{equation*}\lim_{y\rightarrow b}g\left( y\right) =a
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow b}g\left( y\right) &=&a\wedge b\in \mathbb{R} \\
\lim_{y\rightarrow +\infty }g\left( y\right) &=&a \\
\lim_{y\rightarrow -\infty }g\left( y\right) &=&a
\end{eqnarray*}などが成り立つということです。ただし、\(a\in \left\{ +\infty ,-\infty \right\} \)です。

以上の条件が満たされる場合には、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{y\rightarrow b}\left( f\circ
g\right) \left( y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{y\rightarrow b}f\left( g\left(
y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合の関数\(f\left( x\right) \)の極限をとる代わりに、\begin{equation*}x=g\left( y\right)
\end{equation*}とおいた上で関数\(f\)を変数\(y\)に関する関数\(f\left(g\left( y\right) \right) \)に変換した上で、\(y\rightarrow b\)の場合の極限をとってもよいということです。

演習問題