恒等関数の定義と具体例

恒等関数

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}である場合、\(f\)を恒等関数（identity function）と呼びます。つまり、恒等関数とは入力した値と同じ値を常に返す関数です。

与えられた関数が集合\(X\subset \mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であることを明示したい場合には、それを、\begin{equation*}I_{X}:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記することもできます。この表記にしたがう場合、全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数を、\begin{equation*}I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記できます。

恒等関数の値域

全区間上に定義された恒等関数\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{eqnarray*}I_{\mathbb{R} }\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ I_{\mathbb{R} }\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{集合の像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because I_{\mathbb{R} }\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となります。つまり、全区間上に定義された恒等関数の値域もまた全区間です。

恒等関数は狭義単調増加関数

恒等関数\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x^{\prime }>x\)を満たす\(x,x^{\prime }\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}I_{X}\left( x^{\prime }\right) -I_{X}\left( x\right) &=&x^{\prime }-x\quad
\because \text{恒等関数の定義} \\
&>&0\quad \because x^{\prime }>x
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
I_{X}\left( x^{\prime }\right) >I_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(I_{\mathbb{R} }\)は狭義単調増加関数です。

恒等関数のグラフ

恒等関数\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( I_{\mathbb{R} }\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x\right\}
\end{equation*}となります。特に、点\(0\in \mathbb{R} \)に関して、\begin{equation*}I_{\mathbb{R} }\left( 0\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 0,0\right) \in G\left( I_{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(I_{\mathbb{R} }\)のグラフは原点\(\left( 0,0\right) \)を通過します。\(I_{\mathbb{R} }\)は狭義単調増加関数であり、なおかつ\(I_{\mathbb{R} }\)の値域は\(\mathbb{R} \)であるため、\(I_{\mathbb{R} }\)のグラフは下図のような直線として描かれます。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を通過し傾きが\(1\)であるような途切れる点のない直線です。

恒等関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、恒等関数\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。これらの関数の間には以下の関係\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つため合成関数\begin{equation*}
I_{\mathbb{R} }\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( I_{\mathbb{R} }\circ f\right) \left( x\right) &=&I_{\mathbb{R} }\left( f\left( x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、任意の関数\(f\)と恒等関数\(I_{\mathbb{R} }\)の合成関数\(I_{\mathbb{R} }\circ f\)は\(f\)と一致します。

恒等関数\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。これらの関数の間に以下の関係\begin{equation*}I_{\mathbb{R} }\left( \mathbb{R} \right) \subset X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}\mathbb{R} \subset X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
X=\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ I_{\mathbb{R} }\right) \left( x\right) &=&f\left( I_{\mathbb{R} }\left( x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because I_{\mathbb{R} }\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{equation*}
f\circ I_{\mathbb{R} }=f
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、恒等関数\(I_{\mathbb{R} }\)と任意の関数\(f\)の合成関数\(f\circ I_{\mathbb{R} }\)は\(f\)と一致します。

恒等関数の逆関数

恒等関数\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は狭義単調増加関数であるため単射です。加えて、\(I_{\mathbb{R} }\)の値域は\(\mathbb{R} \)であるため全射であるため\(I_{\mathbb{R} }\)は全単射であり、したがって逆写像\begin{equation*}I_{\mathbb{R} }^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。そこで、点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}y=I_{\mathbb{R} }\left( x\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(y\in \mathbb{R} \)を定義すると、恒等関数の定義より、\begin{equation*}y=x
\end{equation*}を得ます。これを\(x\)について解くと、\begin{equation*}x=y
\end{equation*}となるため、\(I_{\mathbb{R} }^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}I_{\mathbb{R} }^{-1}\left( y\right) =y
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。つまり、恒等関数の逆関数もまた恒等関数です。

演習問題