恒等関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるとき、\(f\)を恒等関数(identity function)と呼びます。つまり、恒等関数とは入力した値と同じ値を返す関数です。特に、与えられた関数が集合\(X\subset \mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であることを明示したい場合には、それを、\begin{equation*}I_{X}:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記することもあります。
\end{equation*}であるとき、この\(f\)は恒等関数です。つまり、恒等関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能です。
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は恒等関数です。
f\left( 2\right) &=&2 \\
f\left( 3\right) &=&3 \\
f\left( 4\right) &=&4 \\
f\left( 5\right) &=&5
\end{eqnarray*}を満たすとき、この関数\(f\)は恒等関数です。
\end{equation*}であるとき、この関数\(f\)は恒等関数です。なぜなら、任意の非負の実数\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =x
\end{equation*}という関係が成り立つからです。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は恒等関数ではありませんが、\(f\)の定義域を縮小して得られる関数\begin{equation*}f:\left( 3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は恒等関数です。
恒等関数の値域
恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{eqnarray*}I_{X}\left( X\right) &=&\left\{ I_{X}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \quad \because \text{集合の像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \quad \because I_{X}\text{の定義} \\
&=&X
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
I_{X}\left( X\right) =X
\end{equation*}となります。恒等関数の定義域と値域は一致するということです。
恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}I_{X}\left( X\right) =X
\end{equation*}が成り立つ。
恒等関数は狭義単調増加関数
恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x^{\prime }>x\)を満たす\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}I_{X}\left( x^{\prime }\right) -I_{X}\left( x\right) &=&x^{\prime }-x\quad
\because \text{恒等関数の定義} \\
&>&0\quad \because x^{\prime }>x
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
I_{X}\left( x^{\prime }\right) >I_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(I_{X}\)は狭義単調増加関数です。
恒等関数のグラフ
恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( I_{X}\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=x\right\}
\end{equation*}となります。特に、定義域が\(X=\mathbb{R} \)である場合には、\begin{equation*}G\left( I_{\mathbb{R} }\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x\right\}
\end{equation*}となります。点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{equation*}I_{\mathbb{R} }\left( 0\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 0,0\right) \in G\left( I_{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}となるため、\(I_{\mathbb{R} }\)のグラフは原点\(\left( 0,0\right) \)を通過します。\(I_{\mathbb{R} }\)は狭義単調増加関数であり、なおかつ\(I_{\mathbb{R} }\)の値域は\(\mathbb{R} \)であるため、\(I_{\mathbb{R} }\)のグラフは下図のような直線として描かれます。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を通過し傾きが\(1 \)であるような途切れる点のない直線です。
恒等関数との合成関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。恒等関数は\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、これを\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(f\)の終集合は\(I_{\mathbb{R} }\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\(I_{\mathbb{R} }\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( I_{\mathbb{R} }\circ f\right) \left( x\right) &=&I_{\mathbb{R} }\left( f\left( x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&I_{\mathbb{R} }\left( x\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
I_{\mathbb{R} }\circ f=I_{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(g\circ f\)は\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数です。
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \\
&=&2x+1\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{equation*}
g\circ f=g
\end{equation*}が成り立ちます。
恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(X\)であるため、関数\(f:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域が\(X\subset Y\)を満たす場合には合成関数\(f\circ I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ I_{X}\right) \left( x\right) &=&f\left( I_{X}\left( x\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because I_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{equation*}
f\circ I_{X}=f
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\circ I_{X}\)もまた\(X\)上に定義された恒等関数です。
g\left( x\right) &=&2x+1
\end{eqnarray*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&2x+1\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{equation*}
g\circ f=f
\end{equation*}が成り立ちます。
恒等関数の逆関数
恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は狭義単調増加関数であるため、その終集合を値域\(f\left( X\right) \)である\(X\)に制限して得られる\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow X\)は全単射であり、したがって逆関数\(I_{X}^{-1}:X\rightarrow X\)が存在します。点\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}y=I_{X}\left( x\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(y\in X\)をおくと、恒等関数の定義より、\begin{equation*}y=x
\end{equation*}を得ます。これを\(x\)について解くと、\begin{equation*}x=y
\end{equation*}となるため、逆関数\(I_{X}^{-1}:X\rightarrow X\)はそれぞれの\(y\in X\)に対して、\begin{equation*}I_{X}^{-1}\left( y\right) =y
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。つまり、恒等関数の逆関数もまた恒等関数です。
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数の逆関数もまた\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるということです。
演習問題
\end{equation*}で表記することとします。例えば、\begin{eqnarray*}
10\ \mathrm{mod}\ 5 &=&0 \\
10\ \mathrm{mod}\ 4 &=&2 \\
10\ \mathrm{mod}\ 3 &=&1 \\
10\ \mathrm{mod}\ 2 &=&0 \\
10\ \mathrm{mod}\ 1 &=&0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。以上を踏まえた上で、それぞれの\(x\in \left\{0,1,2,3,4\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\ \mathrm{mod}\ 5
\end{equation*}を定める関数\(f:\left\{ 0,1,2,3,4\right\}\rightarrow \mathbb{R} \)が恒等関数であることを示してください。
g\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x}{2} & \left( if\ x\text{は偶数}\right) \\
0 & \left( if\ x\text{は奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし\(\mathbb{Z} _{+}\)はすべての非負の整数からなる集合です。このとき、合成関数である\(f\circ g:\mathbb{Z} _{+}\rightarrow \mathbb{Z} _{+}\)と\(g\circ f:\mathbb{Z} _{+}\rightarrow \mathbb{Z} _{+}\)はそれぞれ恒等関数ですか。議論してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】