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恒等関数

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恒等関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるとき、\(f\)を恒等関数(identity function)と呼びます。つまり、恒等関数とは入力した値と同じ値を返す関数です。特に、与えられた関数が集合\(X\subset \mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であることを明示したい場合には、それを、\begin{equation*}I_{X}:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記することもあります。

例(恒等関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるとき、この\(f\)は恒等関数です。つまり、恒等関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能です。
例(恒等関数)
ある交通機関を利用すると走行距離に等しい値が料金として課されるものとします。走行距離が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)であるとき、課される料金は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は恒等関数です。
例(恒等関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&1 \\
f\left( 2\right) &=&2 \\
f\left( 3\right) &=&3 \\
f\left( 4\right) &=&4 \\
f\left( 5\right) &=&5
\end{eqnarray*}を満たすとき、この関数\(f\)は恒等関数です。
例(恒等関数)
関数\(f:\mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}であるとき、この関数\(f\)は恒等関数です。なぜなら、任意の非負の実数\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =x
\end{equation*}という関係が成り立つからです。

例(恒等関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は恒等関数ではありませんが、\(f\)の定義域を縮小して得られる関数\begin{equation*}f:\left( 3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は恒等関数です。

 

恒等関数の値域

恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{eqnarray*}I_{X}\left( X\right) &=&\left\{ I_{X}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \quad \because \text{集合の像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \quad \because I_{X}\text{の定義} \\
&=&X
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
I_{X}\left( X\right) =X
\end{equation*}となります。恒等関数の定義域と値域は一致するということです。

命題(恒等関数の値域)

恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}I_{X}\left( X\right) =X
\end{equation*}が成り立つ。

例(恒等関数は全射)
全区間上に定義された恒等関数\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に関しては、上の命題より、\begin{equation*}I_{\mathbb{R} }\left( \mathbb{R} \right) =\mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数の値域もまた\(\mathbb{R} \)です。

 

恒等関数は狭義単調増加関数

恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x^{\prime }>x\)を満たす\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}I_{X}\left( x^{\prime }\right) -I_{X}\left( x\right) &=&x^{\prime }-x\quad
\because \text{恒等関数の定義} \\
&>&0\quad \because x^{\prime }>x
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
I_{X}\left( x^{\prime }\right) >I_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(I_{X}\)は狭義単調増加関数です。

命題(恒等関数は狭義単調増加関数)
恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は狭義単調増加関数である。
例(恒等関数は狭義単調増加関数)
上の命題より、全区間上に定義された恒等関数\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は狭義単調増加関数です。

 

恒等関数のグラフ

恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( I_{X}\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=x\right\}
\end{equation*}となります。特に、定義域が\(X=\mathbb{R} \)である場合には、\begin{equation*}G\left( I_{\mathbb{R} }\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x\right\}
\end{equation*}となります。点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{equation*}I_{\mathbb{R} }\left( 0\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 0,0\right) \in G\left( I_{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}となるため、\(I_{\mathbb{R} }\)のグラフは原点\(\left( 0,0\right) \)を通過します。\(I_{\mathbb{R} }\)は狭義単調増加関数であり、なおかつ\(I_{\mathbb{R} }\)の値域は\(\mathbb{R} \)であるため、\(I_{\mathbb{R} }\)のグラフは下図のような直線として描かれます。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を通過し傾きが\(1 \)であるような途切れる点のない直線です。

図:恒等関数のグラフ
図:恒等関数のグラフ

 

恒等関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。恒等関数は\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、これを\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(f\)の終集合は\(I_{\mathbb{R} }\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\(I_{\mathbb{R} }\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( I_{\mathbb{R} }\circ f\right) \left( x\right) &=&I_{\mathbb{R} }\left( f\left( x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&I_{\mathbb{R} }\left( x\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
I_{\mathbb{R} }\circ f=I_{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(g\circ f\)は\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数です。

例(恒等関数との合成関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&2x+1 \\
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \\
&=&2x+1\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{equation*}
g\circ f=g
\end{equation*}が成り立ちます。

恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(X\)であるため、関数\(f:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域が\(X\subset Y\)を満たす場合には合成関数\(f\circ I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ I_{X}\right) \left( x\right) &=&f\left( I_{X}\left( x\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because I_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{equation*}
f\circ I_{X}=f
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\circ I_{X}\)もまた\(X\)上に定義された恒等関数です。

例(恒等関数との合成関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g\left( x\right) &=&2x+1
\end{eqnarray*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&2x+1\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{equation*}
g\circ f=f
\end{equation*}が成り立ちます。

 

恒等関数の逆関数

恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は狭義単調増加関数であるため、その終集合を値域\(f\left( X\right) \)である\(X\)に制限して得られる\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow X\)は全単射であり、したがって逆関数\(I_{X}^{-1}:X\rightarrow X\)が存在します。点\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}y=I_{X}\left( x\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(y\in X\)をおくと、恒等関数の定義より、\begin{equation*}y=x
\end{equation*}を得ます。これを\(x\)について解くと、\begin{equation*}x=y
\end{equation*}となるため、逆関数\(I_{X}^{-1}:X\rightarrow X\)はそれぞれの\(y\in X\)に対して、\begin{equation*}I_{X}^{-1}\left( y\right) =y
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。つまり、恒等関数の逆関数もまた恒等関数です。

命題(恒等関数の逆関数)
恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の終集合を値域に制限して\(I_{X}:X\rightarrow X\)としたとき、その逆関数\(I_{X}^{-1}:X\rightarrow X\)が存在し、これはそれぞれの\(y\in X\)に対して、\begin{equation*}I_{X}^{-1}\left( y\right) =y
\end{equation*}を定める。

例(恒等関数の逆関数)
全区間上に定義された恒等関数\(I_{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(\mathbb{R} \)であるため、上の命題より逆関数\(I_{\mathbb{R} }^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}I_{\mathbb{R} }^{-1}\left( y\right) =y
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数の逆関数もまた\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるということです。

 

演習問題

問題(恒等関数)
2つの非負の整数\(a,n\)が与えられたとき、\(a\)で\(n \)で割った余りを、\begin{equation*}a\ \mathrm{mod}\ n
\end{equation*}で表記することとします。例えば、\begin{eqnarray*}
10\ \mathrm{mod}\ 5 &=&0 \\
10\ \mathrm{mod}\ 4 &=&2 \\
10\ \mathrm{mod}\ 3 &=&1 \\
10\ \mathrm{mod}\ 2 &=&0 \\
10\ \mathrm{mod}\ 1 &=&0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。以上を踏まえた上で、それぞれの\(x\in \left\{0,1,2,3,4\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\ \mathrm{mod}\ 5
\end{equation*}を定める関数\(f:\left\{ 0,1,2,3,4\right\}\rightarrow \mathbb{R} \)が恒等関数であることを示してください。
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問題(恒等関数)
関数\(f,g:\mathbb{Z} _{+}\rightarrow \mathbb{Z} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{Z} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&2x \\
g\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x}{2} & \left( if\ x\text{は偶数}\right) \\
0 & \left( if\ x\text{は奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし\(\mathbb{Z} _{+}\)はすべての非負の整数からなる集合です。このとき、合成関数である\(f\circ g:\mathbb{Z} _{+}\rightarrow \mathbb{Z} _{+}\)と\(g\circ f:\mathbb{Z} _{+}\rightarrow \mathbb{Z} _{+}\)はそれぞれ恒等関数ですか。議論してください。
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問題(恒等関数による逆像)
恒等関数\(I_{X}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その逆像\(I_{X}^{-1}\left( y\right) \)を求めてください。また、終集合の部分集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その逆像\(I_{X}^{-1}\left( Y\right) \)を求めてください。
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次回は多項式関数について解説します。

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