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指数関数の連続性

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指数関数の連続性

正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、\(a\)を底とする指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について考えます。\(a^{x}\)が定義域上の点\(b\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(b\)において連続であることが保証されます。

命題(指数関数の連続性)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(a^{x}\)が定義域上の点\(b\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(a^{x}\)は点\(b\)において連続である。
証明

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例(指数関数の連続性)
指数関数は全区間上に定義可能であるため、正の実数\(a>0\)を任意に選んだとき、以下の関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(a^{x}\)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より\(a^{x}\)は点\(b\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(a^{x}\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(自然指数関数の連続性)
自然指数関数\(e^{x}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は指数関数であるため、\(e^{x}\)が点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、上の命題より\(e^{x}\)は点\(a\)において連続です。特に、\(X=\mathbb{R} \)である場合、\(e^{x}\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(指数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3^{x+2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x+2\)と指数関数\(3^{x}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(x+2\)は点\(a\)において連続です。指数関数の連続性より、\(3^{x}\)は点\(a+2\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(指数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{\frac{2x+1}{x-1}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{x-1}\)と指数関数\(e^{x}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の連続性より、\(\frac{2x+1}{x-1}\)は点\(a\)において連続です。指数関数の連続性より、\(e^{x}\)は点\(\frac{2a+1}{a-1}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で連続です。

 

指数関数の片側連続性

片側連続性についても同様の命題が得られます。

命題(指数関数の片側連続性)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(a^{x}\)が定義域上の点\(b\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(a^{x}\)は点\(b\)において右側連続である。また、\(a^{x}\)が定義域上の点\(b\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(a^{x}\)は点\(b\)において左側連続である。
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例(指数関数の連続性)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、有界閉区間上に指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。定義域の内点\(b\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、指数関数の連続性より、\(a^{x}\)は点\(b\)において連続です。定義域の端点\(0\)に注目したとき、指数関数の右側連続性より、\(a^{x}\)は点\(0\)において右側連続です。定義域の端点\(1\)に注目したとき、指数関数の左側連続性より、\(a^{x}\)は点\(1\)において左側連続です。したがって、\(a^{x}\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。
例(指数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{5x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(5x\)と指数関数\(e^{x}\)の合成関数であることに注意してください。定義域の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(5x\)は点\(a\)において連続です。指数関数の連続性より、\(e^{x}\)は点\(5a\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)もまた点\(a\)において連続です。定義域の左側の端点\(0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}e^{5x}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{5x\rightarrow 0+}e^{5x}\quad \because x\rightarrow 0+\Rightarrow
5x\rightarrow 0+ \\
&=&e^{0}\quad \because \text{指数関数の右側極限} \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。定義域の右側の端点\(1\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}e^{5x}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{5x\rightarrow 5-}e^{5x}\quad \because x\rightarrow 1-\Rightarrow
5x\rightarrow 5- \\
&=&e^{0}\quad \because \text{指数関数の左側極限} \\
&=&f\left( 1\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(1\)において左側連続です。したがって、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。

 

演習問題

問題(指数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{\frac{x-3}{x-2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が連続であるような点をすべて明らかにしてください。
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問題(指数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2}-e^{x} & \left( if\ x<0\right) \\
x-1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が連続であるような点をすべて明らかにしてください。
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次回は対数関数の連続性について解説します。

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