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数列を用いた関数の収束判定

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関数の極限と数列の極限の関係

イプシロン・デルタ論法を使って関数が収束することを証明するのは面倒です。関数の極限は数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用したほうが関数が収束することを容易に示すことができます。順を追って説明します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{n}\right) \}\)をつくる。このとき、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束する場合には、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに関数\(f\)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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この命題について注意しなければならないのは、\(a\)とは異なる\(X \)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束することが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、関数の収束という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

上の命題より、関数の収束に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(数列を用いた収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}3x=6
\end{equation*}が成り立つこと数列を用いて示します。具体的には、\(2\)とは異なる実数を項とするとともに\(2\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=2 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}\left( 3x_{n}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\quad \because \left( b\right)
\text{と収束する数列の定数倍} \\
&=&3\cdot 2\quad \because \left( b\right) \\
&=&6
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

例(数列を用いた収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}x^{2}=1
\end{equation*}が成り立つことを数列を用いて示します。\(1\)とは異なる実数を項とするとともに\(1\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=1 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( x_{n}\right) ^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right) ^{2}\quad \because \left(
b\right) \text{と収束する数列の積} \\
&=&1^{2}\quad \because \left( b\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

 

関数が収束しないことの証明

先の命題は、関数が有限な実数へ収束しないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\left(x\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}\frac{1}{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2} \\
&=&\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しないため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\left( x\right) \)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\{x_{n}\},\left\{y_{n}\right\} \)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\left(x\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{1}{n} \\
y_{n} &=&-\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)に注目します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}1\quad \because \left( a\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。一方、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}<0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、数列\(\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}0\quad \because \left( c\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)と\(\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)は異なる極限へ収束することが示されたため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが示されました。

 

演習問題

問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{4}
\end{equation*}が成り立つことを数列を用いて証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{3}-8}{x-2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =12
\end{equation*}が成り立つことを数列を用いて証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{x^{2}+4x-12}{x^{2}-2x} & \left( if\ x\not=2\right) \\
0 & \left( if\ x=2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =4
\end{equation*}が成り立つことを数列を用いて証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}x & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{1}{2}x+1 & \left( if\ x\geq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 1\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明してください。
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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\left\vert x\right\vert }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明してください。
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次回は関数の無限極限について解説します。

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