逆余弦関数
余弦関数\begin{equation*}
\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。余弦関数は周期\(2\pi \)の周期関数であり、その値域は有界閉区間\(\left[ -1,1\right] \)です。つまり、変数\(x\)が定義域\(\mathbb{R} \)上を動くにしたがい\(\cos \left( x\right) \)の値は\(-1\)以上\(1\)以下の範囲で増減を繰り返すため、\(\mathbb{R} \)上に定義された余弦関数は全単射ではなく、したがって、その逆関数は存在しません。ただ、余弦関数の定義域を適当な範囲に制限すれば全単射を得ることができます。具体的には以下の通りです。
余弦関数の定義域を有界閉区間\(\left[ 0,\pi \right] \subset \mathbb{R} \)に制限して、\begin{equation*}\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合、この新たな定義域上で余弦関数は狭義単調減少関数になるとともに、値域は\(\left[ -1,1\right] \)となります。
定義域を有界閉区間\(\left[ 0,\pi \right] \)に制限した余弦関数\begin{equation*}\cos \left( x\right) :\left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は狭義単調減少関数であるとともに、その値域は\(\left[ -1,1\right] \)であることが明らかになりました。狭義単調減少関数は単射です。また、単射の終集合を値域に制限すれば全単射になります。したがって、関数\begin{equation}\cos \left( x\right) :\left[ 0,\pi \right] \rightarrow \left[ -1,1\right]
\quad \cdots (1)
\end{equation}は全単射であるため、その逆関数が存在します。そこで、\(\left(1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}\cos ^{-1}\left( y\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ 0,\pi \right]
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\arccos \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ 0,\pi \right]
\end{equation*}などで表記し、これを逆余弦関数（inverse cosine function）やアークコサイン関数（arccosine function）などと呼びます。順序対\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,\pi \right] \times \left[-1,1\right] \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、\begin{equation*}y=\cos \left( x\right) \Leftrightarrow x=\cos ^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
2つの変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、逆余弦関数を、\begin{equation*}\cos ^{-1}\left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ 0,\pi \right]
\end{equation*}と表現することもできます。逆余弦関数\(\cos ^{-1}\left( x\right) \)の逆関数は余弦関数\begin{equation*}\cos \left( y\right) :\left[ 0,\pi \right] \rightarrow \left[ -1,1\right]
\end{equation*}であるため、順序対\(\left( x,y\right) \in \left[ -1,1\right] \times \left[ 0,\pi \right] \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、\begin{equation*}y=\cos ^{-1}\left( x\right) \Leftrightarrow x=\cos \left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
y（ラジアン） & 0 & \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4} & \frac{\pi }{3} & \frac{\pi }{2} & \pi \\ \hline
\cos \left( y\right) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{1}{2} & 0 & -1 \\ \hline
\end{array}$$
順序対\(\left( x,y\right) \in \left[ -1,1\right] \times \left[ 0,\pi \right] \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、\begin{equation}y=\cos ^{-1}\left( x\right) \Leftrightarrow x=\cos \left( y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。先の表より、\begin{equation*}
\cos \left( 0\right) =1
\end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\cos ^{-1}\left( 1\right) =0
\end{equation*}を得ます。他の順序対\(\left( x,y\right) \)についても同様に考えることにより、逆余弦関数\(\cos ^{-1}\left(x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ 0,\pi \right] \)の値が以下のように定まります。
$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
x（ラジアン） & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -1 \\ \hline
\cos ^{-1}\left( x\right) & 0 & \frac{\pi }{6} & \frac{\pi }{4} & \frac{\pi }{3} & \frac{\pi }{2} & \pi \\ \hline
\end{array}$$
斜辺の長さを\(a>0\)で、底辺の長さを\(b>0\)で、斜辺と底辺がつくる角の大きさ（ラジアン）を\(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)でそれぞれ表記する場合、余弦の定義より以下の関係\begin{equation*}\cos \left( x\right) =\frac{b}{a}
\end{equation*}が成り立ちます。すると、逆余弦関数の定義より、\begin{equation*}
\cos ^{-1}\left( \frac{b}{a}\right) =x
\end{equation*}を得ます。つまり、逆余弦関数を利用することにより、斜辺の長さと底辺の長さの比\(\frac{b}{a}\in \left( 0,1\right) \)から、斜辺と底辺が作る角の大きさ\(x\)を特定できるということです。
逆余弦関数のグラフ（逆余弦曲線）
逆余弦関数\(\cos ^{-1}\left( x\right) :\left[-1,1\right] \rightarrow \left[ 0,\pi \right] \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \cos ^{-1}\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \left[ -1,1\right]
\times \left[ 0,\pi \right] \ |\ y=\cos ^{-1}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これを逆余弦曲線（inverse cosine curve）と呼びます。逆余弦関数を図示すると以下のようになります。
上図から明らかであるように、逆余弦曲線のグラフは定義域\(\left[ -1,1\right] \)上で狭義単調減少であるとともに、値域は\(\left[ 0,\pi \right] \)です。後ほど厳密に証明します。
逆正弦関数は狭義単調減少関数
逆余弦関数は狭義単調減少関数です。
逆余弦関数の値域
逆余弦関数の値域は\(\left[ 0,\pi \right] \)です。
逆余弦関数との合成関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、逆余弦関数\begin{equation*}
\cos ^{-1}\left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ 0,\pi \right]
\end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の値域が\(\cos ^{-1}\left( x\right) \)の定義域\(\left[-1,1\right] \)の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \left[ -1,1\right]
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\cos ^{-1}\left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆余弦関数\(\cos ^{-1}\left( x\right) \)の合成関数です。\(\cos^{-1}\left( x\right) \)の定義域は\(\left[ -1,1\right] \)であるため、\(f\)の定義域\(X\)は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1\leq x+1\leq 1\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -2\leq x\leq 0\right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{1}{x+1}\)と逆余弦関数\(\cos ^{-1}\left( x\right) \)の合成関数です。\(\cos^{-1}\left( x\right) \)の定義域は\(\left[ -1,1\right] \)であるため、\(f\)の定義域\(X\)は、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \ |\ -1\leq \frac{1}{x+1}\leq 1\right\}
\end{equation*}となります。\(x+1>0\)の場合には、\begin{eqnarray*}x+1>0\wedge -1\leq \frac{1}{x+1}\leq 1 &\Leftrightarrow &x>-1\wedge -\left(
x+1\right) \leq 1\wedge 1\leq x+1 \\
&\Leftrightarrow &x>-1\wedge -1-1\leq x\wedge 1-1\leq x \\
&\Leftrightarrow &x>-1\wedge -2\leq x\wedge 0\leq x \\
&\Leftrightarrow &0\leq x
\end{eqnarray*}であり、\(x+1<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}x+1<0\wedge -1\leq \frac{1}{x+1}\leq 1 &\Leftrightarrow &x<-1\wedge -\left(
x+1\right) \geq 1\wedge 1\geq x+1 \\
&\Leftrightarrow &x<-1\wedge -1-1\geq x\wedge 1-1\geq x \\
&\Leftrightarrow &x<-1\wedge -2\geq x\wedge 0\geq x \\
&\Leftrightarrow &-2\geq x
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \ |\ -2\geq x\vee 0\leq x\right\} \\
&=&(-\infty ,-2]\cup \lbrack 0,+\infty )
\end{eqnarray*}となります。
逆余弦関数\begin{equation*}
\cos ^{-1}\left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ 0,\pi \right]
\end{equation*}が与えられているものとします。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\cos ^{-1}\left( x\right) \)の値域\(\left[ 0,\pi \right] \)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left[ 0,\pi \right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \cos ^{-1}\left( x\right) \right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は逆余弦関数\(\cos^{-1}\left( x\right) \)と多項式関数\(x+1\)の合成関数です。\(x+1\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であるため、\(f\)の定義域\(X\)は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \left[ -1,1\right] \ |\ \cos ^{-1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は逆余弦関数\(\cos^{-1}\left( x\right) \)と有理関数\(\frac{1}{x+1}\)の合成関数です。\(\frac{1}{x+1}\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)であるため、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \left[ -1,1\right] \ |\ \cos ^{-1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ -1,1\right] \ |\ \cos ^{-1}\left( x\right)
\not=-1\right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ -1,1\right] \ |\ x\not=\cos \left( -1\right) \right\}
\\
&=&[-1,\cos \left( -1\right) )\cup (\cos \left( -1\right) ,1] \end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を求めてください。
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