数列を用いた関数の上極限と下極限の表現

数列を用いた関数の上極限の表現

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)の\(x\rightarrow a\)の場合の上極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}\sup f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( \left( a-\delta ,a\right) \cup \left( a,a+\delta \right)
\right) \cap X\right\}
\end{eqnarray*}と定義されますが、これは有限な実数として定まるとは限りません。ただ、数列を用いて関数の上極限を表現することもできます。順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) =b \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、点\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。点\(a\)は集合\(X\)の集積点であるため、このような数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は必ず存在することに注意してください。

さて、この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対して関数\(f\)は像\(f\left(x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left(x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\begin{equation*}\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。この数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束する場合には、その極限が、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \leq b
\end{equation*}を満たすことが保証されます。加えて、\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の中には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}を満たすものが存在することも保証されます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の上極限が有限な実数として定まるものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ状況を想定するということです。これに対して、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限からなる集合を、\begin{equation*}A=\left\{ \lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) ,\left( d\right)
\text{を満たす数列}\left\{ x_{n}\right\}
\right\}
\end{equation*}で表記します。先の命題より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a \\
&&\left( e\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right)
=\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right)
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が必ず存在するため、集合\(A\)は非空です。加えて、やはり先の命題より、\(\left( a\right) ,\left( b\right),\left( c\right) ,\left( d\right) \)を満たす任意の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \leq \lim_{x\rightarrow
a}\sup f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の要素はいずれも\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\sup f\left(x\right) \)以下であるとともに、集合\(A\)の要素の中には\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) \)と一致する値が含まれるため、以下の関係\begin{equation*}\max A=\lim\limits_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

数列を用いた関数の下極限の表現

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)の\(x\rightarrow a\)の場合の下極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}\inf f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( \left( a-\delta ,a\right) \cup \left( a,a+\delta \right)
\right) \cap X\right\}
\end{eqnarray*}と定義されますが、これは有限な実数として定まるとは限りません。ただ、数列を用いて関数の下極限を表現することもできます。順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) =b \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、点\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。点\(a\)は集合\(X\)の集積点であるため、このような数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は必ず存在することに注意してください。

さて、この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対して関数\(f\)は像\(f\left(x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left(x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\begin{equation*}\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。この数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束する場合には、その極限が、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \geq b
\end{equation*}を満たすことが保証されます。加えて、\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の中には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}を満たすものが存在することも保証されます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の下極限が有限な実数として定まるものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ状況を想定するということです。これに対して、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限からなる集合を、\begin{equation*}A=\left\{ \lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) ,\left( d\right)
\text{を満たす数列}\left\{ x_{n}\right\}
\right\}
\end{equation*}で表記します。先の命題より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a \\
&&\left( e\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right)
=\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right)
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が必ず存在するため、集合\(A\)は非空です。加えて、やはり先の命題より、\(\left( a\right) ,\left( b\right),\left( c\right) ,\left( d\right) \)を満たす任意の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) \leq \lim_{n\rightarrow +\infty
}f\left( x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の要素はいずれも\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\inf f\left(x\right) \)以上であるとともに、集合\(A\)の要素の中には\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) \)と一致する値が含まれるため、以下の関係\begin{equation*}\min A=\lim\limits_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。