正弦関数の極限公式
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。
この関数\(f\)は点\(0\)において定義されていませんが、点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができます。上のグラフより、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となることが予想されますが、実際、これは正しい主張です。証明でははさみうちの定理を利用します。
命題（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとする。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。
後ほど様々な具体例を提示しますが、この命題を利用することにより正弦関数に関する様々な関数の極限を容易に導出できるようになります。加えて、三角関数の微分について考える際にもこの命題は重要な役割を果たします。詳細は場を改めて解説します。
例（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{\sin \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sin \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin
\left( x\right) }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\sin \left( x\right) }{x}} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}}\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{1}\quad \because \left( 1\right) \text{および定数関数の極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sin \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin
\left( x\right) }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\sin \left( x\right) }{x}} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}}\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{1}\quad \because \left( 1\right) \text{および定数関数の極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
例（余弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1-\cos \left( x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos
\left( x\right) }{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{1-\cos \left( x\right) }{x}\cdot \frac{1+\cos \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) }\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos ^{2}\left( x\right) }{x\left[ 1+\cos
\left( x\right) \right] } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{2}\left( x\right) }{x\left[ 1+\cos
\left( x\right) \right] } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot \frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) }\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) }\quad \because \text{積の法則} \\
&=&1\cdot \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin \left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left[ 1+\cos \left( x\right) \right] }\quad
\because \left( 1\right) \text{および商の法則} \\
&=&\frac{\sin \left( 0\right) }{1+\cos \left( 0\right) } \\
&=&\frac{0}{1+1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos
\left( x\right) }{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{1-\cos \left( x\right) }{x}\cdot \frac{1+\cos \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) }\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos ^{2}\left( x\right) }{x\left[ 1+\cos
\left( x\right) \right] } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{2}\left( x\right) }{x\left[ 1+\cos
\left( x\right) \right] } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot \frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) }\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) }\quad \because \text{積の法則} \\
&=&1\cdot \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin \left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left[ 1+\cos \left( x\right) \right] }\quad
\because \left( 1\right) \text{および商の法則} \\
&=&\frac{\sin \left( 0\right) }{1+\cos \left( 0\right) } \\
&=&\frac{0}{1+1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
例（正接関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\tan \left( x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\not=0\wedge \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan
\left( x\right) }{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\sin \left( x\right) }{\cos \left(
x\right) }\cdot \frac{1}{x}\right] \quad \because \tan \left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{\cos \left( x\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot \frac{1}{\cos \left( x\right) }\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos \left( x\right) }\quad \because \text{積の法則} \\
&=&1\cdot \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0}\cos \left( x\right) }\quad \because \left( 1\right) \text{および商の法則} \\
&=&\frac{1}{\cos \left( 0\right) }\quad \because \text{定数関数および余弦関数の極限} \\
&=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\not=0\wedge \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan
\left( x\right) }{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\sin \left( x\right) }{\cos \left(
x\right) }\cdot \frac{1}{x}\right] \quad \because \tan \left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{\cos \left( x\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot \frac{1}{\cos \left( x\right) }\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos \left( x\right) }\quad \because \text{積の法則} \\
&=&1\cdot \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0}\cos \left( x\right) }\quad \because \left( 1\right) \text{および商の法則} \\
&=&\frac{1}{\cos \left( 0\right) }\quad \because \text{定数関数および余弦関数の極限} \\
&=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
例（正弦関数の極限公式）
関数\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}f\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\sin
\left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\quad \because x>0 \\
&=&1\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{\sin
\left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{\sin \left( x\right) }{-x}\quad \because x<0
\\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\quad \because
\text{左側収束する関数の定数倍の左側極限} \\
&=&-1\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}であることが示されました。したがって、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}f\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\sin
\left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\quad \because x>0 \\
&=&1\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{\sin
\left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{\sin \left( x\right) }{-x}\quad \because x<0
\\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\quad \because
\text{左側収束する関数の定数倍の左側極限} \\
&=&-1\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}であることが示されました。したがって、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。
正弦関数の極限公式の一般化
上の命題をもう少し一般化します。値として\(0\)をとらない関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{\sin \left( f\left( x\right) \right) }{f\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは\(f\left( x\right) \)と\(\frac{\sin \left( x\right) }{x}\)の合成関数であることに注意すると、先の命題より以下を得ます。
命題（正弦関数の極限公式の一般化）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{\sin \left( f\left( x\right) \right) }{f\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。
x\right) }
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。
例（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( 3x\right) }{3x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。\(f\)は多項式関数\(3x\)と関数\(\frac{\sin\left( x\right) }{x}\)の合成関数であることに注意してください。関数\(3x\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( 3x\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( 3x\right) }{3x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。\(f\)は多項式関数\(3x\)と関数\(\frac{\sin\left( x\right) }{x}\)の合成関数であることに注意してください。関数\(3x\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( 3x\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( 3x\right) }{3x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
例（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( 2x\right) }{3x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( 2x\right) }{2x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( 2x\right) }{3x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{2}{3}\cdot \frac{\sin \left( 2x\right)
}{2x}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{3}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( 2x\right) }{2x}\quad \because \text{積の法則}
\\
&=&\frac{2}{3}\cdot 1\quad \because \left( 1\right) \text{および定数関数の極限} \\
&=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( 2x\right) }{2x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( 2x\right) }{3x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{2}{3}\cdot \frac{\sin \left( 2x\right)
}{2x}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{3}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( 2x\right) }{2x}\quad \because \text{積の法則}
\\
&=&\frac{2}{3}\cdot 1\quad \because \left( 1\right) \text{および定数関数の極限} \\
&=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}となります。
例（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( x-2\right) }{x^{2}-x-2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 2\)のときの極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin \left( x-2\right) }{x-2}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin
\left( x-2\right) }{x^{2}-x-2}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin \left( x-2\right) }{\left( x-2\right)
\left( x+1\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 2}\left[ \frac{\sin \left( x-2\right) }{x-2}\cdot
\frac{1}{x+1}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin \left( x-2\right) }{x-2}\cdot
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x+1}\quad \because \text{積の法則} \\
&=&1\cdot \frac{1}{2+1}\quad \because \left( 1\right) \text{および有理関数の極限} \\
&=&\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 2\)のときの極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin \left( x-2\right) }{x-2}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin
\left( x-2\right) }{x^{2}-x-2}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin \left( x-2\right) }{\left( x-2\right)
\left( x+1\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 2}\left[ \frac{\sin \left( x-2\right) }{x-2}\cdot
\frac{1}{x+1}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin \left( x-2\right) }{x-2}\cdot
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x+1}\quad \because \text{積の法則} \\
&=&1\cdot \frac{1}{2+1}\quad \because \left( 1\right) \text{および有理関数の極限} \\
&=&\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}となります。
以下の命題もまた成り立ちます。
命題（正弦関数の極限公式の一般化）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{\sin \left( f\left( x\right) \right) }{f\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。また、関数\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。
x\right) }
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。また、関数\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。
例（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\sin \left( \frac{2}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( \frac{2}{x}\right) }{\frac{2}{x}}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ x\sin \left( \frac{2}{x}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ 2\cdot \frac{\sin \left( \frac{2}{x}\right) }{\frac{2}{x}}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }2\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin
\left( \frac{2}{x}\right) }{\frac{2}{x}}\quad \because \text{積の法則} \\
&=&2\cdot 1\quad \because \left( 1\right) \text{および定数関数の極限} \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( \frac{2}{x}\right) }{\frac{2}{x}}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ x\sin \left( \frac{2}{x}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ 2\cdot \frac{\sin \left( \frac{2}{x}\right) }{\frac{2}{x}}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }2\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin
\left( \frac{2}{x}\right) }{\frac{2}{x}}\quad \because \text{積の法則} \\
&=&2\cdot 1\quad \because \left( 1\right) \text{および定数関数の極限} \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。
無限大における正弦関数の極限公式
無限大における極限については以下が成り立ちます。証明でははさみうちの定理を用います。
命題（無限大における正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}などが成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}などが成り立つ。
例（正弦関数の極限公式）
関数\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x\right) }{x}=0
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x\right) }{x}\quad \because
x>0 \\
&=&0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x\right) }{x}=0
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x\right) }{x}\quad \because
x>0 \\
&=&0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。
無限大における正弦関数の極限公式の一般化
先の命題を一般化すると以下が得られます。
命題（無限大における正弦関数の極限公式の一般化）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{\sin \left( f\left( x\right) \right) }{f\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。また、関数\(f\)は限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
x\right) }
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。また、関数\(f\)は限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
例（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( x^{2}\right) }{x^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めます。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(x^{2}\rightarrow+\infty \)となるため、先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x^{2}\right) }{x^{2}}=0
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x^{2}\right) }{x^{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x\cdot \frac{\sin \left( x^{2}\right)
}{x^{2}}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin
\left( x^{2}\right) }{x^{2}} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めます。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(x^{2}\rightarrow+\infty \)となるため、先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x^{2}\right) }{x^{2}}=0
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin \left( x^{2}\right) }{x^{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x\cdot \frac{\sin \left( x^{2}\right)
}{x^{2}}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin
\left( x^{2}\right) }{x^{2}} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
以下も成り立ちます。
命題（無限大における正弦関数の極限公式の一般化）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{\sin \left( f\left( x\right) \right) }{f\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
x\right) }
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
例（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( \frac{1}{x^{2}}\right) }{\frac{1}{x^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\frac{1}{x^{2}}\rightarrow +\infty \)となるため、先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( \frac{1}{x^{2}}\right) }{\frac{1}{x^{2}}}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\frac{1}{x^{2}}\rightarrow +\infty \)となるため、先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( \frac{1}{x^{2}}\right) }{\frac{1}{x^{2}}}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。
演習問題
問題（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{4x}{\sin \left( 3x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めてください。
問題（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cos \left( 3x\right) -\cos \left( x\right) }{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めてください。
問題（正弦関数の極限公式）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\sin \left( \frac{1}{x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めてください。
問題（正弦関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sin \left( 4x\right) }{\sin \left( 3x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
問題（正弦関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cos \left( x+\frac{\pi }{2}\right) -\cos \left( x-\frac{\pi }{2}\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
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